WikiDer > Primzahlsatz

In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, beschreibt die Primzahlsatz das asymptotisch Verteilung der Primzahlen. Der Primzahlensatz beschreibt grob, wie weit große Primzahlen „im Durchschnitt“ voneinander entfernt sind. Grob gesagt besagt der Primzahlensatz, dass für a zufälligNummer in der Nähe einer großen Zahl ${Displaystil N}$ ausgewählt ist, dann wird die Gelegenheit dass diese gewählte Zahl eine Primzahl ist, ungefähr gleich ¹⁄_{${Anzeigestil ln(N)}$}, in welchem ${Anzeigestil ln(N)}$ steht für die natürlicher Logarithmus von ${displaystyle N.}$ in der Nähe von ${Anzeigestil N=10{.}000}$ ist die Wahrscheinlichkeit ca ¹⁄₉, solange das in der Nähe ist ${Displaystil N=1{.}000{.}000{.}000}$ Über ¹⁄₂₁ ist.

Formale Beschreibung

Tatsächliche Anzahl der Primzahlen (violett) und ${Anzeigestil x/ln(x)}$ (Grün)

spät ${displaystyle pi(x)}$ das Primzahlenzählfunktion prime sind die für alle reelle Zahl${Anzeigestil x}$ die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich ${Anzeigestil x}$ gibt. Ein Beispiel ist ${Anzeigestil pi(10)=4;}$ Dies liegt daran, dass es genau vier Primzahlen gibt, nämlich 2, 3, 5 und 7, die kleiner oder gleich 10 sind. Der Primzahlsatz besagt dann, dass die Grenze von dem Quotient von den beiden Funktionen${displaystyle pi(x)}$ und ${Anzeigestil x/ln(x)}$ gleich 1 wenn ${Anzeigestil x}$ bis um unendlich Annäherung. In Formel:

${displaystyle lim _{x o infty }{frac {pi (x)}{x/ln(x)}}=1}$

Diese Formel ist als bekannt asymptotisches Verteilungsgesetz der Primzahlen. Dies wird auch ausgedrückt als:

${displaystyle pi(x)sim {frac {x}{ln x}}}$

Diese Notation und auch die Gestell sagen nichts über die Grenze der Unterschied der beiden Funktionen als ${Anzeigestil x}$ nähert sich der Unendlichkeit. Der Unterschied verhält sich sehr kompliziert und der Unterschied ist eng mit dem Riemann-Hypothese. Der Primzahlensatz besagt, dass ${Anzeigestil x{}ln(x)}$ Annäherung ${displaystyle pi(x)}$ in dem Sinne, dass die relativer Fehler dieser Näherung geht gegen 0, wenn ${Anzeigestil x}$ nähert sich der Unendlichkeit.

Der Primzahlensatz ist äquivalent zu der Aussage, dass die ${displaystyle n}$-die Primzahl ${displaystyle p_{n}}$ ist ungefähr gleich ${Anzeigestil n{}ln(n)}$, wobei der relative Fehler dieser Näherung wieder gegen 0 geht, da ${displaystyle n}$ nähert sich der Unendlichkeit.

Geschichte des asymptotischen Verteilungsgesetzes der Primzahlen

Basierend auf den Primzahlentabellen von Anton Felkel und Jurij Vega geäußert Adrien-Marie Legendre 1796 ist es Verdacht Welche ${displaystyle pi(x)}$ wird angenähert durch die Funktion ${Anzeigestil x{}ln(x)-B}$, in welchem ${Displaystil B=1{,}08ldots}$ ein Konstante ist kurz vor 1. Carl Friedrich Gauß betrachtete das gleiche Thema etwa zur gleichen Zeit wie Legendre. Auf der Grundlage der vorliegenden Berechnungen und einiger heuristischer Überlegungen entwickelte er seine eigene Näherungsfunktion, die logarithmisches Integral${displaystyle mathrm {li} (x).}$ Gauß veröffentlichte seine Ergebnisse jedoch nicht. Die Formeln von Legendre und Gauss implizieren, wie oben erläutert, die gleiche asymptotische Äquivalenz von ${displaystyle pi(x)}$ und ${Anzeigestil x{}ln(x).}$ Die Gaußsche Approximation erweist sich als wesentlich besser, wenn man statt der Quotienten die Differenzen betrachtet.

In zwei Artikeln von 1848 und 1850 wird die Russisch Mathematiker Pafnuti Chebyshevi versucht, das asymptotische Verteilungsgesetz der Primzahlen zu testen beweisen. Seine Arbeit zeichnet sich durch die Verwendung der Zeta-Funktion${Anzeigestil-Zeta(s),}$ noch vor der berühmten Abhandlung von Riemann von 1859. Chebyshev gelang es, eine etwas schwächere Form des asymptotischen Verteilungsgesetzes zu beweisen, nämlich dass, wenn der Grenzwert von ${Anzeigestil pi(x)/(x{}ln(x))}$ vor dem ${Anzeigestil x}$ ins Unendliche, existiert, diese Grenze Notwendig gleich 1. Er konnte vorbehaltlos beweisen, dass dieser Quotient für alle ${Anzeigestil x}$ durch zwei explizit angegebene Konstanten begrenzt. Obwohl Chebyshev den Primzahlsatz in seinem Artikel nicht vollständig bewiesen hat, verwendete er seine Schätzungen für ${displaystyle pi(x)}$ zu Postulat von Bertrand, dafür ${displaystyle ngeq 2}$ eine Primzahl zwischen ${displaystyle n}$ und ${Displaystil 2n}$ existiert zu beweisen.

Die wohl wichtigste Arbeit über die Verteilung von Primzahlen war Riemanns Abhandlung von 1859, Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Menge, der einzige Artikel, den Riemann jemals zu diesem Thema geschrieben hat. Riemann brachte zu diesem Thema revolutionäre Ideen ein. Die wichtigste davon ist die Idee, dass die Verteilung der Primzahlen eng mit der Nullen der analytischen Erweiterung Riemann-Zeta-Funktion von a KomplexVariable. Insbesondere in dieser Abhandlung setzt Riemann seine Idee um, Methoden aus der komplexe Analyse beim studium echte Funktion${displaystyle pi(x)}$ benutzen. Aufbauend auf diesen tiefen Ideen von Riemann successmann succeeded Hadamard und De la Vallée Poussin unabhängig voneinander, fast vierzig Jahre nach Riemann und beide 1896, um das asymptotische Verteilungsgesetz der Primzahlen zu beweisen. Beide verwendeten Methoden aus dem komplexe Analyse, was einen wichtigen Schritt im Beweis darstellt, dass die Riemannsche Zetafunktion ${Anzeigestil-Zeta(s)}$ ist für alle komplexen Werte der Variablen ungleich Null ${displaystyle s}$ das der Form ${displaystyle s=1 es}$ mit ${Anzeigestil t>0}$ sein.^[1]

Im 20. Jahrhundert waren die Sätze von Hadamard und De la Vallée Poussin auch als de . bekannt Primzahlsatz. Es wurden auch mehrere neue Beweise des Primzahlsatzes gefunden, einschließlich der "elementaren" Beweise von Atle Selberg und Paul Erdes (1949).

Fußnoten

Einführungsliteratur

• (und) John Derbyshire, Prime Obsession, Bernhard Riemann und das größte ungelöste Problem der Mathematik, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9
• (und) Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen, warum ein ungelöstes Problem in der Mathematik wichtig ist, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2
• (NL) Roland van der Veen, Jan van de Craats, Die Riemann-Hypothese: ein Multi-Millionen-Dollar-Problem, Epsilon, 2011, ISBN 978-90-5041-126-4