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Programma van Hilbert

In dem Mathematik war es Hilberts Programm, vorbereitet von der Deutsche Mathematiker David Hilbert in den 1920er Jahren ein Lösungsvorschlag für die Grundlagenkrise in der Mathematik, als frühere Versuche, die Grundlagen der Mathematik aufzuklären, sich als gelitten erwiesen Paradoxe und Widersprüche.

Als Lösung schlug Hilbert vor, alle existierenden Theorien auf a endlich, KomplettSammlung von Axiom's gegründet werden, und zusätzlich a Beweis um sicherzustellen, dass diese Axiome konsistent Waren. Hilbert schlug vor, dass die Konsistenz komplizierterer Systeme, wie z echte Analyse, an einfacheren Systemen nachgewiesen werden könnte. Letztlich könnte die Frage nach der Konsistenz aller Mathematik damit auf eine Frage nach der Konsistenz des Elementaren reduziert werden Arithmetik.

Das Unvollständigkeitssätze von Gödel zeigte 1931, dass Hilberts Programm nicht durchführbar war. In seinem ersten Theorem Kurt Gödel zeigt, dass jedes konsistente System mit a berechenbare Menge, die Arithmetik ausdrücken kann, kann niemals vollständig sein: Es ist möglich, eine Äußerung zu konstruieren, die als wahr nachgewiesen, aber nicht aus den formalen Regeln des Systems abgeleitet werden kann. In seinem zweiten Satz zeigte er, dass ein solches System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann, so dass es sicherlich nicht zum Beweis der Konsistenz eines komplizierteren Systems verwendet werden kann. Dies widerlegte Hilberts Annahme, dass ein finitistisches System verwendet werden könnte, um die Konsistenz einer komplexeren Theorie zu beweisen.

Verweise

  • (das) Gerhard Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. (Die Konsistenz der reinen Zahlentheorie) Mathematische Annalen 112:493–565. Übersetzt ins Englische als "Die Konsistenz der Arithmetik", in der in Die gesammelten Papiere von Gerhard Gentzen (Die gesammelten Artikel von Gerhard Gentzen, M. E. Szabo (Hrsg.), 1969.
  • (das) David Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie' (Die Grundlagen der elementaren Zahlentheorie). Mathematische Annalen 104:485-94. Übersetzt ins Englische von W. Ewald als 'The Grounding of Elementary Number Theory', pp. 266-273 in Mancosu (Hrsg., 1998) Von Brouwer bis Hilbert: Die Debatte um die Grundlagen der Mathematik in den 1920er Jahren (From Brouwer to Hilbert: The Foundations of Mathematics in the Twenties of the Twentieth Century, Oxford University Press. New York.
  • (und) S.G. Simpson, 1988. Teilrealisierungen von Hilberts Programm. Zeitschrift für symbolische Logik 53:349-363.
  • (und) R. Zach, 2005. Hilberts Programm damals und heute (Hilberts Programm – damals und heute). Manuskript, arXiv:math/0508572v1.

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