WikiDer > Russo-Vallois integrali

Yilda matematik tahlil, Russo-Vallois integrali uchun kengaytma stoxastik jarayonlar klassik Riemann-Stieltjes integral

${displaystyle int f, dg = int fg ', ds}$

mos funktsiyalar uchun ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$. Ushbu fikrni almashtirish lotin ${displaystyle g '}$ farq miqdori bo'yicha

${displaystyle g (s + varepsilon) -g (s) ustidan varepsilon}$ va integralni chegarasini tortib olish uchun. Bundan tashqari, konvergentsiya turini o'zgartiradi.

Ta'riflar

Ta'rif: Ketma-ketlik ${displaystyle H_ {n}}$ ning stoxastik jarayonlar yaqinlashadi bir xilda ixcham to'plamlar jarayonga ehtimolligi ${displaystyle H,}$

${displaystyle H = {ext {ucp -}} lim _ {nightarrow infty} H_ {n},}$

agar, har bir kishi uchun ${displaystyle varepsilon> 0}$ va ${displaystyle T> 0,}$

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} mathbb {P} (sup _ {0leq tleq T} | H_ {n} (t) -H (t) |> varepsilon) = 0.}$

Bir to'plam:

${displaystyle I ^ {-} (varepsilon, t, f, dg) = {1 ustidan varepsilon} int _ {0} ^ {t} f (s) (g (s + varepsilon) -g (s)), ds }$

${displaystyle I ^ {+} (varepsilon, t, f, dg) = {1 ustidan varepsilon} int _ {0} ^ {t} f (s) (g (s) -g (s-varepsilon)), ds }$

va

${displaystyle [f, g] _ {varepsilon} (t) = {1 varepsilon ustiga} int _ {0} ^ {t} (f (s + varepsilon) -f (s)) (g (s + varepsilon)) - g (s)), ds.}$

Ta'rif: Oldinga integral integralning ucp-limiti sifatida aniqlanadi

${displaystyle I ^ {-}}$: ${displaystyle int _ {0} ^ {t} fd ^ {-} g = {ext {ucp -}} lim _ {varepsilon tightarrow infty (0?)} I ^ {-} (varepsilon, t, f, dg) .}$

Ta'rif: Orqaga integral integralning ucp-limiti sifatida aniqlanadi

${displaystyle I ^ {+}}$: ${displaystyle int _ {0} ^ {t} f, d ^ {+} g = {ext {ucp -}} lim _ {varepsilon ightarrow infty (0?)} I ^ {+} (varepsilon, t, f, dg).}$

Ta'rif: Umumiy qavs ucp-limit sifatida belgilanadi

${displaystyle [f, g] _ {varepsilon}}$: ${displaystyle [f, g] _ {varepsilon} = {ext {ucp -}} lim _ {varepsilon ightarrow infty} [f, g] _ {varepsilon} (t).}$

Uzluksiz uchun yarim timsollar ${displaystyle X, Y}$ va a cdlàg funktsiyasi H, Russo-Valloisning ajralmas tasodiflari bilan odatiy Bu ajralmas:

${displaystyle int _ {0} ^ {t} H_ {s}, dX_ {s} = int _ {0} ^ {t} H, d ^ {-} X.}$

Bu holda umumlashtirilgan qavs klassik kovaryatsiyaga teng. Maxsus holatda, bu jarayon degan ma'noni anglatadi

${displaystyle [X]: = [X, X],}$

ga teng kvadratik o'zgarish jarayoni.

Shuningdek, Russo-Vallois uchun ajralmas an Ito formulasi ushlaydi: Agar ${displaystyle X}$ doimiy semimartingale va

${displaystyle fin C_ {2} (mathbb {R}),}$

keyin

${displaystyle f (X_ {t}) = f (X_ {0}) + int _ {0} ^ {t} f '(X_ {s}), dX_ {s} + {1 dan 2} gacha int _ {0 } ^ {t} f '' (X_ {s}), d [X] _ {s}.}$

Ikkilik natijasi bo'yicha Triebel ning optimal sinflarini ta'minlash mumkin Besov bo'shliqlari, bu erda Russo-Valuaz integralini aniqlash mumkin. Besov makonidagi norma

${displaystyle B_ {p, q} ^ {lambda} (mathbb {R} ^ {N})}$

tomonidan berilgan

${displaystyle || f || _ {p, q} ^ {lambda} = || f || _ {L_ {p}} + left (int _ {0} ^ {infty} {1 over | h | ^ { 1 + lambda q}} (|| f (x + h) -f (x) || _ {L_ {p}}) ^ {q}, dhight) ^ {1 / q}}$

uchun taniqli modifikatsiya bilan ${displaystyle q = yaroqsiz}$. Keyin quyidagi teorema mavjud:

Teorema: Aytaylik

${displaystyle fin B_ {p, q} ^ {lambda},}$

${displaystyle gin B_ {p ', q'} ^ {1-lambda},}$

${displaystyle 1 / p + 1 / p '= 1 {ext {and}} 1 / q + 1 / q' = 1.}$

Keyin Russo-Valuaz integrali

${displaystyle int f, dg}$

mavjud va bir muncha doimiy uchun ${displaystyle c}$ bittasi bor

${displaystyle left | int f, dgight | leq c || f || _ {p, q} ^ {alfa} || g || _ {p ', q'} ^ {1-alfa}.}$

E'tibor bering, bu holda Russo-Vallois integrali bilan mos keladi Riemann-Stieltjes integral va bilan Yosh integral bilan funktsiyalar uchun cheklangan p-variatsiya.

Ushbu maqolada a foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, tegishli o'qish yoki tashqi havolalar, ammo uning manbalari noma'lum bo'lib qolmoqda, chunki u etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2012 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Adabiyotlar

• Russo, Franchesko; Vallois, Per (1993). "Oldinga, orqaga va nosimmetrik integratsiya". Prob. Th. va Rel. Maydonlar. 97: 403–421. doi:10.1007 / BF01195073.
• Russo, F.; Vallois, P. (1995). "Umumlashtirilgan kovaryatsiya jarayoni va Ito-formulasi". Stoch. Proc. va Appl. 59 (1): 81–104. doi:10.1016 / 0304-4149 (95) 93237-A.
• Zahle, Martina (2002). "Oldinga integrallar va stoxastik differentsial tenglamalar". In: Stoxastik tahlil, tasodifiy maydonlar va ilovalar bo'yicha seminar III. Probda rivojlanish. Vol. 52. Birkxauzer, Bazel. 293-302 betlar. doi:10.1007/978-3-0348-8209-5_20.
• Adams, Robert A.; Fournier, John J. F. (2003). Sobolev bo'shliqlari (ikkinchi nashr). Elsevier.