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Mit CFD berechneter Druck des Strömungsfeld um den Bug des DDG-51 mit und ohne Bauchiger Bogen, bei 20 Knoten

Schiffswiderstand ist der Widerstand, auf den ein Schiff bei seiner Bewegung stößt. Bei niedrigerer Geschwindigkeit wird dieser Widerstand hauptsächlich durch die Druck- oder Schimmelbeständigkeit und Reibungswiderstand von dem nasse Oberfläche des Schiffes, die Oberfläche des Carene. Bei höherer Geschwindigkeit wird die Wellenwiderstand höher.

Der hydrodynamische Widerstand besteht aus mehreren, oft miteinander verbundenen Komponenten. Neben dem hydrodynamischen Widerstand gibt es den Luftwiderstand. Der hydrodynamische Widerstand R_t wird oft in Reibungswiderstand und Restwiderstand unterteilt. Der Restwiderstand umfasst den Kompressions- oder Formwiderstand und den Wellenwiderstand. Dies ist die Flachwasserbeständigkeit. Wind und Wellen sorgen ebenso für zusätzlichen Widerstand wie das Manövrieren.

Der gesamte Schiffswiderstand wird angenähert durch Schraubengesetz. Bei diesem Ansatz mit dem hohen reynolds zahlen Schiffswiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit zunehmen. Da die zur Überwindung dieses Widerstands erforderliche Leistung mit der Geschwindigkeit zunimmt, steigt die Leistung mit dritte Macht.

Gesamtwiderstand

Gesamtwiderstand${displaystyle R_{T}}$

Restwiderstand ${displaystyle R_{R}}$

Hautreibungswiderstand${displaystyle R_{FO}}$

Formeffekt auf Hautreibung

Druckfestigkeit${displaystyle R_{P}}$

Reibungswiderstand${displaystyle R_{F}}$

Wellenwiderstand${displaystyle R_{W}}$

Viskose Druckbeständigkeit${displaystyle R_{PV}}$

Wellenbildungswiderstand${displaystyle R_{WM}}$

Wellenbrechender Widerstand${displaystyle R_{WB}}$

Viskose Beständigkeit${displaystyle R_{V}}$

Gesamtwiderstand${displaystyle R_{T}}$

Der Gesamtwiderstand R_t ist definiert als der Widerstand des Rumpfes ohne Propeller. Bis zum Schraube-Rumpf-Interaktion ist das nicht gleich dem geforderten? Schubt. Die Wirkung des Propellers bewirkt eine höhere Geschwindigkeit vor Ort, was zu einem höheren Reibungswiderstand und Druckabbau am Heck führt. Dieser Widerstand erhöht sich R relativ zum Schub und zum Schiffswiderstand ist die Nachlaufzahl t:

${displaystyle t={frac {Delta R}{T}}={frac {T-R_{T}}{T}}}$

Der Gesamtwiderstandsbeiwert beträgt:

${displaystyle C_{T}={frac {R_{T}}{0{,}5cdot ho cdot Scdot V^{2}}}}$

Schraubengesetz

Verhältnis Geschwindigkeit/Zeitverbrauch = v³

Verhältnis Geschwindigkeit/Verbrauch im Abstand = v²

Die blaue Linie als Referenz. Der Verbrauch verschlechtert sich aufgrund des schlechten Wetters auf die rote Linie (Wellenwiderstand), Verschmutzung oder groß Entwurf. Durch Optimierung von Motoren, Propellern, Tiefgang oder Rumpf kann der Verbrauch in Richtung der grünen Linie sinken. Sie können den Verbrauch entlang der blauen Linie reduzieren, indem Sie langsamer segeln, langsames Dämpfen
Die Grafik beginnt nicht bei einem Verbrauch von 0, da die Hotellerie ob Hilfsenergie enthalten ist

Reibungswiderstand

Grenzschicht

Laminare Grenzschicht Überleitung Laminare oder viskose Unterschicht Freigabepunkt ${displaystyle S={frac {partial v}{partial y}}=0}$ Freigegebene Grenzschicht Turbulente Grenzschicht

Reibungswiderstand R_f ist die Kraft, die der Schiffsrumpf durch das vorbeifließende Wasser erfährt. Dies liegt daran, dass das Wasser in Bezug auf den Schiffsrumpf in der Nähe des Schiffsrumpfs stationär ist. Wenn Wasser als a . betrachtet wird Newtonsche Flüssigkeit, dann die Schubspannung direkt proportional zum Gradient der Strömungsgeschwindigkeit senkrecht zum Gleitebene:

${displaystyle au=mu {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} y}}}$

bei welchem:

${displaystyle au }$ ist die Schubspannung auf das Gewebe, sie entsteht durch den Fließwiderstand des Gewebes, die Strömungswiderstand;

${Anzeigestil mu}$, für die auch ${displaystyle eta }$ wird verwendet für, die Dynamik Viskosität der Substanz, die in einer Newtonschen Flüssigkeit a Konstante;

${displaystyle {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} y}}}$ ist die Steigung (Änderung) der Durchflussmenge aufrecht auf der Gleitfläche. Die Gleitebene ist die Ebene, über die rutschen stattfinden.

Die Reibungskraft ist abhängig von der Reibfläche, der nassen Fläche, wobei nur die zur Relativbewegung parallele Komponente zählt:

${displaystyle R_{F}=int au cdot dAcdot cos alpha }$

Reynolds Nummer

Beim Fließen, a GrenzschichtVerfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Relativgeschwindigkeit direkt am Schiffsrumpf Null ist und mit zunehmender Entfernung auf schließlich die ungestörte Geschwindigkeit ansteigt. Die Grenzschicht ist teils laminar und teils turbulent. Wo im Vorschiff gibt es laminare Strömung, entwickelt sich weiter zurück a turbulente Strömung. Nach einem Übergang liegt noch eine sehr dünne laminare oder viskose Unterschicht vor. Bei großer Rauheit oder aufgrund der Schiffsform, Veröffentlichung auftreten, was zu einem Widerstandsanstieg führt. Hinter dem Auslösepunkt gibt es eine gegenläufige Strömung.

Der Einfluss der Rauheit ist:

${displaystyle R_{F}=C_{F}cdot 0{,}5cdot ho cdot v^{2}cdot A}$

Es ITTC hat den Reibungskoeffizienten im Jahr 1957 C_f für die Korrelation zwischen Modell und Schiff bestimmt als:

${displaystyle C_{F}={frac {0{,}075}{(log _{10}R_{e}-2)^{2}}}}$

Froude . Nummer

Da die Reynolds-Zahl durch die Viskosität des Mediums (normalerweise Wasser) ist es Froudes Nummer in Funktion der Langsamkeit und der Schwere.

Dünne Bretter

Im Jahr 1870, William Froude empirisch festgestellt, dass dünne Planken, die über Wasser gezogen wurden, Reibungswiderstand erfuhren.

${displaystyle R_{F}={frac {gamma cdot Ccdot Acdot v^{n}}{1000}}}$

Darin ist

${Displaystil-Gamma }$ es bestimmtes Gewicht aus Wasser

${Anzeigestil C}$ das Reibungskoeffizient je nach Rauheit

${Anzeigestil A}$ die untergetauchte Oberfläche

${Anzeigestil v}$ die Schleppgeschwindigkeit

${displaystyle n}$ ein Rauheitskoeffizient

Schiffe

Die vorherige Formel gilt nur für dünne Bretter. Für Schiffe lautet die Formel wie folgt:

${displaystyle R_{F0}=left(0{,}1392 {frac {0{,}258}{2{,}68 L}}ight)cdot {frac {gamma cdot Acdot v^{1{,}825} }{1000}}}$

in welchem:

${Anzeigestil L}$ die Länge des Schiffes ist und

${displaystyle Aapprox C_{1}cdot {sqrt {VL}}}$ die untergetauchte Oberfläche,

mit

${displaystyle C_{1}=fleft({frac {V}{LBT}},{frac {B}{T}}ight)(ca. 2{,}6)}$,

${Anzeigestil B}$ die Breite des Schiffes

${Anzeigestil T}$ das Entwurf vom Schiff

${Anzeigestil V}$ das Volumen der Wanne

Korrekturen

Dabei sind eine Reihe von Faktoren zu berücksichtigen, wie zum Beispiel:

• Temperatur, die Viskosität von Wasser ändert sich mit der Temperatur. Eine höhere Temperatur bedeutet eine niedrigere Viskosität. So ist ${displaystyle C_{2}=1{,}80 (0^{circ }{ ext{C}})}$, und ${displaystyle C_{2}=0{,}43 (70^{circ }{ ext{C}})}$
• Rauheit, durch Gebrauch, aber vor allem im Liegen, wird die Haut weniger glatt. Das liegt zum Teil am Algenwachstum

${displaystyle C_{3}=1 { ext{term}}}$,

mit

${displaystyle { ext{term}}in [0{,}0001;0{,}0004]}$

• Form, bei schnellen Schiffen ist dieser Faktor weniger wichtig, bei schweren Tankern kann der Formfaktor Werte bis 0,2 . erreichen

${displaystyle C_{4}=1 phi}$,

mit ${Anzeigestil phi}$ der Formfaktor.

Benutzerdefinierte Formel

Die Addition der Korrekturfaktoren ${Anzeigestil C_{2},C_{3},C_{4}}$ zur Originalformel für ${displaystyle R_{F0}}$ liefert folgendes Ergebnis:

${displaystyle R_{F}=C_{2}cdot C_{3}cdot C_{4}cdot R_{F0}}$ (Einheit kgf)

Restwiderstand

Der Restwiderstand R_R wird durch Subtrahieren des Reibungswiderstands vom Gesamtwiderstand bestimmt, der während der Widerstandstests gefunden wurde. Der Restwiderstandsbeiwert beträgt:

${displaystyle C_{R}=C_{TM}-C_{FM}cdot (1k)}$

in welchem ${Anzeigestil (1k)}$ ist der Formfaktor.

Druckfestigkeit

Druck- und Reibungswiderstandsverhältnis

Körper	Druck- Widerstand	Reibungs Widerstand
	0%	100%
	~10%	~90%
	~90%	~10%
	100%	0%

Druckfestigkeit R_p wird durch innere Reibung einer Flüssigkeit beim Umströmen eines Körpers verursacht. Obwohl es sich um eine inkompressible und nicht viskose Flüssigkeit handelt, d'Alemberts Paradoxon kein Druckwiderstand wäre, da der Druck vor dem Körper gleich dem hinter dem Körper ist, geht Strömungsenergie durch innere Reibung verloren, so dass die Bernoullis Konstante nimmt ab. Dadurch sinkt der Druck weiter nach hinten und es entsteht ein Druckunterschied zwischen vorne und hinten.

Daraus folgt, dass die Druckfestigkeit nur vom Querschnitt des Körpers quer zur Strömungsrichtung abhängt:

${displaystyle R_{P}=int pcdot dAcdot sin alpha }$

Die Druckfestigkeit ist abhängig von der Form – Formbeständigkeit – und von der Trennung der Grenzschicht – Wirbelbeständigkeit.

Wellenwiderstand

Wellenwiderstand tritt auf, wenn sich ein Körper in der Grenzfläche zwischen zwei Stoffen unterschiedlicher Dichte, wie Wasser und Luft, oder Wasserschichten mit unterschiedlicher Temperatur oder Salzgehalt bewegt. Ein sich bewegendes Schiff verursacht eine Druckstörung, die Wellen erzeugt. Diese werden durch das Gleichgewicht zwischen Druckkräften, Trägheitskräften und Schwerkraft bestimmt. Ist die Masse der oberen Flüssigkeit im Verhältnis zur darunter liegenden Flüssigkeit vernachlässigbar, wie bei Luft und Wasser, dann Froude-Nummerfr:

${displaystyle Fr={frac {V}{sqrt {gL}}}}$

Die Froude-Zahl in Wassertiefe ist:

${displaystyle Fr_{h}={frac {V}{sqrt {gh}}}}$

Darin steht:

${Anzeigestil V}$ die Geschwindigkeit

${displaystyle g}$ Schwere

${Anzeigestil L}$ die charakteristische Länge (z.B. Länge eines Schiffes)

${displaystyle h}$ die Tiefe des fließenden Wassers

Die Veröffentlichung Der Wellenwiderstand eines Schiffes von John Henry Michell war von großer Bedeutung für die Bestimmung des Wellenwiderstandes, obwohl dieser von schlanken Schiffen ausgeht, so dass bei abweichenden Schiffsformen die Ergebnisse zu stark abweichen und für die meisten Schiffskonstruktionen nicht brauchbar sind.

Michell drückte den Wellenwiderstand eines schlanken Schiffes wie folgt aus:

${displaystyle R_{W}={frac {4}{pi }}cdot ho cdot V^{2}cdot v^{2}int _{0}^{infty }{frac {lambda ^{2}}{sqrt {Lambda ^{2}-1}}}Mitte A(Lambda)Mitte ^{2}Dlambda}$

Seegangswiderstand

Neben der Flachwasserbeständigkeit treten bei Wind und Wellen zusätzliche widerstandserhöhende Effekte auf. Diese können die Folge sein von:^[2]

• Wellen;
• der evozierte Trimm-, Listen- und Driftwinkel;
• das dynamische Funktionieren der Anhängsel wie rühren, Asche Hose, Bilgenkiele, Rippen, Kühlwassereinlässe;
• der Einfluss des Bodens;
• der Windwiderstand;
• stark schwanken oder den Propeller überlasten.

Luftwiderstand

Der Luftwiderstand ist ein Widerstand, der mit zunehmender Geschwindigkeit zunimmt, der Luftwiderstand hängt von der Geschwindigkeit und der Aerodynamik des Schiffes ab.

${displaystyle C_{AA}={frac {R_{AA}}{0.5cdot ho cdot V_{R}^{2}cdot S}}}$

Induzierter Widerstand

Induzierter Widerstand

Induzierter Widerstand tritt auf, wenn eine Strömung abgelenkt wird. Senkrecht zur Strömungsrichtung, die durch die Umlenkung geneigt ist, entsteht eine Kraft. Dies kann aufgelöst werden in Auftriebskraft und induzierten Widerstand. Der Widerstand ist also notwendig, um Auftrieb zu erhalten. Bei Schiffen tritt dieser Widerstand an Rudern, Propellern und Stabilisierungsflossen auf. Beim Manövrieren entsteht auch ein induzierter Widerstand am Rumpf, wenn er schräg angefahren wird. Darüber hinaus tritt Widerstand bei Tragflügelbooten und Gleitschiffen auf, die Auftrieb benötigen, um sich aus dem Wasser zu heben, und bei Segelschiffen.

Widerstand reduzieren

Es gibt mehrere Methoden, um den Schiffswiderstand zu reduzieren.

Bauchiger Bogen

Ein bekannter ist der Bauchiger Bogen was die Strömung um den Bug beeinflusst. Dadurch verringert sich je nach Geschwindigkeit der Wellenwiderstand des Schiffes. Mit einem konventionellen Bug direkt vor dem Bug entsteht eine Bugwelle. Wird eine Zwiebel knapp unter der Wasseroberfläche platziert, muss kurz vor dieser Welle das Wasser zuerst darüber fließen. Wenn das resultierende Wellental mit der Bugwelle zusammenfällt, heben sie sich teilweise auf – sogenannte destruktiv Interferenz - weshalb es aufwachen nimmt deutlich ab.

Obwohl die Erzeugung einer Welle dem Schiff Energie entzieht, bewirkt die Aufhebung der Bugwelle eine Änderung der Druckverteilung über das Schiff. Kofferraum, was den Wellenwiderstand verringert. Die Wirkung der Druckverteilung auf eine Fläche heißt Schimmelresistenz.

Trotz der Vorteile haben Wulstbögen nur in einem engen Geschwindigkeitsbereich maximale Wirkung, bei einem Minimum von 6 Knoten. Bei anderen Geschwindigkeiten kann ein Wulstbogen sogar den gegenteiligen Effekt haben. Der Effekt zeigt sich am stärksten auf großen Schiffen.

trimmen

Einige Schiffe, insbesondere Containerschiffe, sind nach vorne geneigt getrimmt, so dass der Wulstbug gut eingetaucht ist – in Verbindung mit der Anströmung – und das Heck aus dem Wasser kommt, so dass die nasse Oberfläche und damit der Widerstand abnimmt, was die Geschwindigkeit verbessert.

Tragflügelboote

Unter Verwendung von Tragflügelboote kann das Kofferraum von a Tragflügelboot aus dem Wasser kommen, wenn die Geschwindigkeit des Bootes zunimmt, den Widerstand verringert und es schneller macht als das Boot Rumpfgeschwindigkeit Segel.

Luftschmierung

Eine andere Technik, die verwendet wird, um den Widerstand zu reduzieren, ist Luftschmierung.

Theoriebau

Vorläufer

Aristoteles beschäftigte sich bereits mit dem Widerstand von Körpern, die sich durch eine Flüssigkeit bewegen, obwohl seine Lösung nicht die richtige war. Galilei weckte daraufhin erneut das Interesse. Bewerbungen im Ballistik und hydraulische Maschinen wie Wind- und Wassermühlen und Pumpen sowie Schiffsschlepp- und Segelantriebe machten dies zu einem prestigeträchtigen Gegenstand der frühen Neuzeit.

Christian Huygens und Edme Mariotte — beide Mitglieder der Akademie der Wissenschaften — arbeitete einige Zeit in diesem Bereich zusammen. Huygens führte 1669 Schleppversuche mit einfachen Schiffsformen durch, die von einem fallenden Gewicht angetrieben wurden. Er fand heraus, dass der Widerstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Seine Ergebnisse wurden nicht weit verbreitet und erst nach seinem Tod 1698 veröffentlicht.^[3]

Mariotte führte Experimente mit ruhenden Objekten durch, die in eine sich bewegende Flüssigkeit eingetaucht waren. Er maß den Widerstand mit einer Waage und kam zu dem gleichen Ergebnis wie Huygens. Außerdem machte er seine Beobachtungen in Luft und stellte fest, dass der Widerstand proportional zum Dichte der Flüssigkeit:

${displaystyle Rsim ho V^{2}}$

Er vollendete seine Korrekturen 1684 und sie wurden 1686 posthum veröffentlicht.^[4]

Newton

Newton war sich dieser Erkenntnisse wahrscheinlich nicht bewusst, kam aber in seine Prinzip zum gleichen Schluss. In Kapitel VII von Buch II gelangte er zu einer Herleitung ähnlich der von Mariotte, jedoch mit einem quadratischen Verhältnis zum Durchmesser des Körpers erweitert:

${displaystyle Rsim ho v^{2}D^{2}}$ oder ${displaystyle R=C_{D}ho v^{2}A}$

Das Bemerkenswerte daran war, dass nach diesen Annahmen die Luftwiderstandsbeiwert${Anzeigestil C_{D}}$ ist geschwindigkeitsunabhängig ${Anzeigestil v}$ und Oberfläche ${Anzeigestil A}$.

Newton ging von einer Flüssigkeit geringer Dichte (seltsames Medium) wo die Flüssigkeitspartikel nicht miteinander wechselwirken und perfekt elastisch kollidieren gegen einen Körper. Er nahm an, dass der Luftwiderstand nur durch flüssige Partikel verursacht wurde, die auf die Stirnfläche trafen, ohne mit den anderen Partikeln zu interagieren, und dass auch die Seiten und das Heck keinen Einfluss auf den Widerstand hatten.

Bei einer flachen Platte in einem Winkel könnte der Widerstand dann ausgedrückt werden als:

${displaystyle R=ho Av^{2}sin^{2}alpha }$

Der Widerstand würde also vom Quadrat des Sinus der abhängen Betrachtungswinkel${displaystyle alpha }$.

Newton hat nie behauptet, dass eine solche Flüssigkeit mit niedriger Dichte tatsächlich existiert, und es ist klar, dass er davon ausgeht, dass existierende Flüssigkeiten miteinander wechselwirken (Viskosität) und wurden von der Schwerkraft beeinflusst.

Kollisionstheorie

Spätere Entwicklungen zeigten deutlich, dass in flüssigen Bewegungen, wo Langsamkeit und Schwerkraft oder Viskosität eine Rolle spielten, der Luftwiderstandsbeiwert ${Anzeigestil C_{D}}$ konnte nicht konstant bleiben. In diesem Fall hängen sie von einem Parameter von Gleichmäßigkeit mag ich Froude-Nummer wenn es Reynolds Nummer. Trotzdem haben einige Wissenschaftler versucht, eine "Kollisionstheorie" (Schocktheorie) mit konstantem Luftwiderstandsbeiwert, wobei die Annahmen weit außerhalb des Gültigkeitsbereichs der seltsames Medium der Newtonschen Schichten.

Es Rotationskörper des geringsten Widerstands gemäß Newton

Newton selbst hatte auf der Grundlage seiner Theorie die Rotationskörper des geringsten Widerstands, was seiner Meinung nach auch für Schiffe nützlich sein sollte. Mit seiner Kollisionstheorie sollte dies ein Jahrhundert lang die Grundlage der Schiffshydrodynamik bilden.

Reyneau war der erste, der den Rotationskörper mit dem geringsten Widerstand an eine Schiffsform koppelte. Er entwickelte eine Form, die von den Arbeiten von l'Hôpital und Bernoulli abgeleitet war, aber mit einer spitzen Schleife leicht modifiziert wurde.^[5]

1725 verlieh die Académie des Sciences einen Preis für die beste Publikation über Platzierung, Höhe und Anzahl der Masten. Pierre Bouguere gewann den Preis 1727 und teilte in seinem Werk den Bogen in Tafeln um die schlagen um das Wasser zu berechnen.^[6] Der zweite Preis war für Leonhard Euler.^[7] Beide Autoren haben in diesen Werken große Vereinfachungen vorgenommen, aber Jahre später werden sie einen wesentlichen Beitrag zur Theorie für Schiffe leisten.

Wo Reyneau mit einer Verbeugung kam, die a Halbkreis Im Jahr 1733 entwickelte Bouguer einen parabelförmigen Bogen des geringsten Widerstands.^[8] Dieser Bug berücksichtigte mehr die praktischen Einschränkungen beim Bau eines echten Schiffes und die Tatsache, dass ein Bug aufgrund von Drift nicht gerade angefahren wird.

Strömungsmechanik

Auf dem Gebiet der allgemeinen Strömungsmechanik wurden inzwischen Fortschritte gemacht von Daniel Bernoullic mit Hydrodynamik ab 1738 und sein Vater Johan Bernoullic mit Hydraulik.^[9][10] Während bisher hydrostatisch vorgegangen wurde, stellte Daniel einen Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit her. Sein Vater führte das Konzept des inneren Drucks ein. Beide Arbeiten hatten viele Überschneidungen und führten zusammen zu dem Bernoullics Gesetz. Von einem Modell mit Partikeln, die von einem Körper reflektiert werden, war nun endgültig auf ein Modell umgestiegen, bei dem die Flüssigkeit mit gekrümmten Oberflächen abgelenkt wird. rationalisieren.

Dies wurde auch durch Versuche unter anderem von Benjamin Robins. In seinem Neue Prinzipien in der Schießerei ab 1742 gelangte er zu Ergebnissen, die Newtons Theorie widersprachen.^[11] Diese wurde von Euler mit entsprechenden Anmerkungen von ihm ins Deutsche übersetzt.^[12] Darin stellt Euler zum ersten Mal fest, dass es keine seltsames Medium existiert.

Nach seiner Rückkehr aus Peru aus dem geodätische Mission er schrieb zwei Werke am Bogen des geringsten Widerstands.^[13][14] Während Bouguer an seinem . arbeitete Traité du Navire schrieb Euler Scientia Navalis Über Strömungsmechanik.^[15] Während Bouguer praktische numerische Ergebnisse für reale Schiffe lieferte, entwickelte Euler eine allgemeine hydrodynamische Theorie. Beide kamen mit unterschiedlichen Bogenformen des geringsten Widerstands, wobei sich Bouguer auch von Bogenformen der höchsten Geschwindigkeit unterschied. Bouguer war auch der erste, der die Wirkung der Stern um den Widerstand zu bestimmen. Er nahm an, dass ein fahrendes Schiff eine Lücke hinterlässt, die durch einströmendes Wasser gefüllt wird. Die Kraft, mit der dies geschieht, sollte das Schiff vorwärts treiben. Durch die Kombination seines resultierenden „Hecks des größten Impulses“ mit dem Bug des geringsten Widerstands konnte das schnellstmögliche Schiff gebaut werden.

Beide machten sich noch teilweise die Kollisionstheorie zunutze. Obwohl die französische Marine die Plattenmethode einführte, war ihre Grundlage nicht realistisch genug, um konstruktive Verbesserungen zu erzielen. Jorge Juan und Santacilia – der mit Bouguer in Peru war – lehnte die Kollisionstheorie in seiner aus den gleichen Gründen ab wie Robinss Prüfung marítimo teórico-práctico von 1771.^[16] Darin wies er auf die Bedeutung der Wellenbildungswiderstand vom Bogen. Dabei verließ er sich zu sehr auf hydrostatische Gesetze, war aber in vielen Bereichen seiner Zeit weit voraus.

Feldtheorie

Um 1750 gab es keine allgemeine Theorie für Flüssigkeitsdynamik. Das Partikelmodell basierte auf dem Dynamik von Punktmasses und war nicht für verformbare Flüssigkeiten geeignet. Wenn eine Theorie diese Anforderung erfüllen würde, wäre sie Kontinuum muss den Prinzipien der Dynamik entsprechen (die Newtonsche Gesetze). Es sollte außerdem Gleichungen enthalten, die die Eigenschaften der Flüssigkeit beschreiben – zum Beispiel wenn ideale Flüssigkeit - und der Bedingungen. Auch der Naturschutzgesetz berücksichtigt werden, insbesondere die Gesetz der Erhaltung der Masse.

Das hydrodynamisches Paradox

Ein solches Feld müsste durch eine Reihe von Variablen beschrieben werden, hauptsächlich Druck und Geschwindigkeit. Dies geschah mitpartielle Differentialgleichungen, die zuerst entworfen wurden von Alexis Claude Clairaut.^[17]Jean Le Rond d'Alembert und Euler leistete Pionierarbeit bei diesem neuen Ansatz. D'Alembert näherte sich dem zuerst vom Gleichgewicht und der Bewegung von Flüssigkeiten.^[18] Obwohl er in seiner ersten Arbeit dazu mehr oder weniger zu den gleichen Ergebnissen kam wie andere Wissenschaftler mit einer anderen Methode, hat er seine Arbeit zur Resistenz in Flüssigkeiten darauf aufgebaut.^[19] Dieser wurde zunächst im Wettbewerb um einen Preis zur Beständigkeit von Flüssigkeiten der Berliner Akademie der Wissenschaften 1749, aber Euler als Vorsitzender schickte alle Eingaben zurück und forderte sie auf, die Ergebnisse mit experimentellen Ergebnissen zu vergleichen. D'Alembert mochte Experimente nicht, zog seinen Beitrag zurück und veröffentlichte ihn einige Jahre später. Wo er in seinen früheren Arbeiten noch von derselben Teilchentheorie wie Newton ausging, stellte er nun fest, dass Teilchen nicht mit einem Körper kollidieren, sondern ihn umströmen, wobei die durch die ständige Richtungsänderung entstehende Beschleunigung einen Druck auf den Körper ausübt, wobei die Dynamik beschrieben werden kann, ist wie ein Feld. Das Werk ist am besten bekannt für seine hydrodynamisches Paradoxon das besagt, dass es für ein vollständig untergetauchtes Objekt, das sich durch eine ideale Flüssigkeit bewegt, keinen Widerstand gibt. Während seine Schlussfolgerungen weitgehend richtig waren, wurde Eulers Linie aufgrund seiner ansprechenderen Axioms.

1752 hatte Euler das Werk von d'Alembert und seinen Vorgängern in Principia motus fluidorum.^[20][21] Dies führte er 1755 in drei Veröffentlichungen für die Berliner Akademie der Wissenschaften aus.^[22][23][24] Darin erarbeitete er die Grundgleichungen der Strömungsmechanik, die als der brillanteste Beitrag dieses Jahrhunderts auf diesem Gebiet gilt. Er definierte ein infinitesimales flüssiges Element als parallelepiped, die einfachste Form, die er verwenden konnte. Seine Analyse unterschied zwischen Kinematik — auch Kinematik genannt — und Dynamik – auch Machttheorie genannt. Im kinematischen Teil drückte er die Kontinuitätsgleichung der Massenerhaltung in Form einer partiellen Differentialgleichung. Für ein ideales Fluid wären die Variablen Dichte, Volumen und Druck. Im Dynamikteil formulierte er drei Gleichungen, die zeigten, dass die Beschleunigung eines Fluids von der Druckdifferenz über dem Fluidelement abhängt. Obwohl Euler die Kollisionstheorie ablehnte, bediente er sich mangels Besserung in seinen späteren Arbeiten speziell über den Widerstand.^[25] Da ein ideales Fluid keine Reibung erfährt, gelangt es ohne die Kollisionstheorie zu keinem resultierenden Widerstand, genau wie seine Vorgänger.

Eulers Arbeit wurde weiter ausgearbeitet von Lagrange.^[26] Bedienung Mechanique analytique war die umfassendste Behandlung der klassischen Mechanik seit Newton und fasste bestehende Arbeiten unter anderem auf dem Gebiet der Strömungsmechanik zusammen. Er stellte auch das Konzept vor Potenzialfluss.

borda und Laplace würde Eulers Theorie weiter ergänzen, aber es war klar, dass fehlende Kenntnisse über Reibung in realen Flüssigkeiten einer praktischen Anwendung der Theorie im Wege standen. Das würde nur gehen Coulomb werden untersucht. Bis dahin verlagerte sich der Schwerpunkt auf Prüfungen.

Experimentelle Forschung

Da die Kollisionstheorie nicht zu brauchbaren Anwendungen führte und der neue Ansatz noch nicht ausreichend entwickelt war, suchten Marinearchitekten nach einer anderen Möglichkeit, gezielt an Verbesserungen des Schiffsdesigns zu arbeiten. Es wurden sehr praktikable Lösungen gesucht, insbesondere zur Optimierung der Rumpfform, aber auch grundlegendere Fragen zu den Prinzipien der Strömungsmechanik erforderten eine Lösung. Schlaftests wurden wahrscheinlich in der Antike durchgeführt. Leonardo da Vinci führte Ende des 15. Jahrhunderts Experimente durch, um die schnellste Schiffsform zu finden. Diese Art der Prüfung würde zur Erfindung des Dynamometer durch Gaspard de Prony im Jahr 1826 und seine spätere Verfeinerung durch William Froude bleiben qualitativ, weil Kraft nicht gemessen werden konnte.

Rumpfformoptimierung

Im Vereinigten Königreich ist die Gesellschaft der Künste veranstaltete zwischen 1758 und 1763 einen Wettbewerb, um die schnellste und stabilste Schiffsform zu finden. In einem Schlepptank verschiedene Modelle wurden getestet, unter anderem indem die Modelle durch ein fallendes Gewicht angetrieben wurden. Aufgrund der Unkenntnis der Wirkung von Skalierungsfaktoren eine Interpretation der Ergebnisse war nicht möglich. In den Niederlanden durchgeführt Pieter van Zwijndregt Pauls Sohn um 1750 führte er Schleppversuche durch, bei denen er auch das Heck der Modelle zu einer Leine band, um sicherzustellen, dass das Modell auf Kurs blieb. Er interessierte sich nicht für eine allgemeine Theorie, sondern erhielt eine Reihe von Rumpfformen, die er für seine Entwürfe verwendete.^[27]

In Schweden Fredrik Henrik von Chapman um 1770 sehr umfangreiche Schleppversuche.^[28] Seine Widerstandstheorie stützte sich stark auf Newtons Körper des geringsten Widerstands und er gelangte zu einer Formel, die die Position der größten Breite mit Geschwindigkeit und Widerstand verband. Er musste jedoch feststellen, dass seine Beobachtungen dieser Theorie widersprachen. Er beobachtete, dass ein scharfer Bogen bei niedriger Geschwindigkeit weniger Widerstand hatte und bei einer höheren Geschwindigkeit ein stumpferer Bogen weniger Widerstand hatte, so dass die Position der größten Breite geschwindigkeitsabhängig war. Basierend auf weiteren Experimenten entwickelte er eine „Entspannungsmethode“.^[29] Auch die Versuche mit nach dieser Methode gebauten Schiffen waren enttäuschend.^[30]

Grundlagen der Strömungsmechanik

In Frankreich trat Borda mit einem erfundenen Robins auf ballistisches Pendel ähnliche Instrumentenexperimente in Luft und Wasser mit verschiedenen einfachen Formen wie Platten, Prismen, Pyramiden und Kugeln.^[31] Dabei wurde das proportionale Verhältnis von Widerstand zum Quadrat der Geschwindigkeit bestätigt, das zum Quadrat des Sinus jedoch verworfen. Er kam zu dem Schluss, dass die Kollisionstheorie von Newton nicht im Schiffsdesign verwendet werden kann. Er weiß, dass Objekte an der Oberfläche einem größeren Widerstand ausgesetzt sind, als wenn sie vollständig untergetaucht sind, durch einen größeren Verlust an Fisch viva.

Inspiriert von Borda let Thevenard graben Sie in Lorient einen 70 m langen Kanal, 4 m breit und 3 m tief, das größte Becken bis zum Schlepptank von William Froude in Torquay. 1769 begann er ein dreijähriges Programm, in dem 52 verschiedene Formen getestet wurden. Dies waren nicht nur Grundformen wie Würfel, Prismen und Kegel, sondern auch die Körper des geringsten Widerstands von Newton und Bouguer. Diese wurden nicht nur an der Oberfläche, sondern auch in unterschiedlichen Tiefen getestet. Die wichtigsten Erkenntnisse waren:

• der erhöhte Widerstand gegen Oberflächenkörper, den Thévenard auf die durch die Wellenerzeugung verursachte Reibung zurückführte;
• die Eintauchtiefe hatte keinen Einfluss auf den Widerstand;
• Der elliptische Bogen von Bouguer hatte den geringsten Widerstand;
• elliptische Bögen hatten weniger Widerstand, weil die Bogenwelle elliptisch ist, so dass diese Bogenform die minimale Wassermenge befördert;
• ein verlängertes Heck hat weniger Widerstand als ein verkürztes;
• eine Bugform, die achtern unterhalb der Wasserlinie verlief, hatte weniger Widerstand als ein vertikaler Bug.

Thévenard begann seine Arbeit für die Französische Ostindien-Kompanie, aber nach dessen Konkurs 1769 blieb er im Dienst der französischen Marine. Er veröffentlichte seine Werke jedoch erst um 1800, wo sie nur Teil eines Werkes zu vielen anderen Themen waren.^[32]

Die Arbeit von Bossut Der eine mit Kondorcet und d'Alembert 1777 machte eine erste Reihe von Experimenten in Paris.^[33] Diese bestätigten die Beobachtungen von Benjamin Franklin dass Schiffe im flachen Wasser auf mehr Widerstand stießen als solche im offenen Wasser. Die wichtigsten Ergebnisse waren:

• Widerstand stieg schneller als bei ${displaystyle v^{2}}$ oder ${displaystyle sin^{2}}$, die auf die Erzeugung einer Bugwelle zurückgeführt wurde;
• der Widerstand von flachen Platten, die unter Wasser gezogen werden, könnte ausgedrückt werden als ${Anzeigestil R=0{,}5ho v^{2}A}$, die Hälfte von dem, was Newton angegeben hatte;
• der Einfluss des Bugwiderstandes war so groß, dass die Reibung des restlichen Rumpfes vernachlässigbar war.

Im folgenden Jahr wurde eine zweite Testreihe durchgeführt. Winkelbögen entsprachen nicht denselben Gesetzen wie gebogene Bögen. Außerdem sorgte ein verlängertes Heck für eine höhere Geschwindigkeit und ein Längen-Breiten-Verhältnis von 3 erschien optimal. Dass letzteres den Schlussfolgerungen des überwältigenden Einflusses des Bogens aus der ersten Testreihe widersprach, wurde übersehen. Die endgültige Schlussfolgerung war, dass das Hinzufügen einer dreieckigen Spitze zu einem flachen Bug den Widerstand reduzierte.

Unter einem anderen Publikum ist die Arbeit von aber die notwendige Aufmerksamkeit im Bereich des Strömungsverhaltens in Rohren und Kanälen.^[34] Er zeigte, dass Reibung unabhängig vom Druck ist. Er kam auch fälschlicherweise zu dem Schluss, dass die Reibung unabhängig von der Rauheit des verwendeten Materials ist. Seine Arbeiten zum Widerstand schwimmender Körper erhielten weniger Aufmerksamkeit, zeichnen sich jedoch durch die Aufteilung des Widerstands in verschiedene Komponenten einschließlich der Reibung und die Durchführung von Widerstandsmessungen mit Staudruck, in dem er als erster mit der von d'Alembert vorgeschlagenen Beziehung zwischen Druck und Widerstand experimentierte. Für letzteres benutzte er Staurohre. Deze bevestigde hij aan de voor- en achterzijde en aan de zijkanten. Aan de voorzijde mat hij een behoorlijke overdruk, aan de achterzijde een onderdruk en daartussen een gelijkmatige verdeling. Daarop verdeelde hij weerstand in boegschok, laterale wrijving en achterwaartse kracht, die veroorzaakt werd door het verschil in druk. De laatste twee worden tegenwoordig aangeduid als wrijvings- en vormweerstand, maar doordat zijn werk grotendeels onbekend bleef, duurde het nog tot William Froude voor deze onderverdeling algemeen werd.

Hoewel Romme het werk van Buat niet kende, kwam hij deels tot dezelfde conclusies. Hij had het werk van Borda, Bossut en Chapman bestudeerd en had in tegenspraak met Bossut tijdens eigen experimenten gevonden dat het effect van de achterzijde niet verwaarloosd kon worden doordat de weerstand van een kanomodel dat gesleept werd gelijk was als dat achterstevoren gebeurde.

Hoewel de ontwikkeling van de hydrodynamica in vooral Frankrijk nog niet geresulteerd had in daadwerkelijke vooruitgang in Franse scheepsontwerpen, leefde deze indruk wel, wat zou leiden tot de nodige doorbraken in de weerstandstheorie. Het werk van Beaufoy voor de Society for the Improvement in Naval Architecture aan het einde van de achttiende eeuw zorgde voor nieuwe inzichten. Hij stelde vast dat wrijving niet verwaarloosbaar is en maakte ook onderscheid in de diverse soorten weerstand. Dit was de weerstand veroorzaakt door de boeggolf, die door wrijving langs de romp en de negatieve druk van het achterschip. Zo bekwaam als hij echter was in het experimenteren, zulke korte rapporten schreef hij echter. Robert Fulton maakte gebruik van het rapport van Beaufoy uit 1800 om te bepalen hoe groot de stoommachine en de raderen moesten worden. Het was uiteindelijk zoon Henry Beaufoy die de volledige resultaten publiceerde in 1834.^[35] Dit werd door Brunel gebruikt bij zijn studies naar de schroef op de Archimedes voor hij deze toepaste op de Great Britain.

Mogelijk had men in Frankrijk een praktisch toepasbare weerstandstheorie uit kunnen werken, maar met het uitbreken van de Franse Revolutie werd de Académie des Sciences ontbonden en stopten verdere experimenten. Rond 1820 werden verschillende methodes gebruikt om de weerstand te berekenen met als bekendste de Admiraliteitsformule, al bevatte deze met het gebruik van de grootte van het grootspant toen nog steeds elementen van Newtons botsingstheorie. De praktische benadering nam het over van de zoektocht naar een algemene weerstandstheorie. Dit zou duren tot de proeven van William Froude in 1870.

Wrijving

Coulomb had op Martinique wrijvingsproeven gedaan, geïnspireerd door het werk van Musschenbroeck.^[36] Naar aanleiding van een prijvraag van de Académie des Sciences in 1781 schreef hij daarna een werk over onder andere wrijving.^[37] Hij kwam met een eenvoudige formule voor vloeistofweerstand. Prony stelde daar een empirische formule op, gebaseerd op proeven van anderen.^[38]

Viskeuze vloeistoffen

Binnen de vloeistofdynamicatheorie werd wel vooruitgang gemaakt. Navier voegde een term toe aan de Eulervergelijkingen waardoor deze nu ook voor viskeuze vloeistoffen gold.^[39]Poisson kwam enkele jaren later tot hetzelfde resultaat. Cauchy en Saint-Venant droegen ook bij aan de ontwikkeling, maar het was Stokes die de juiste afleiding vond van wat daarna de Navier-Stokes-vergelijkingen zouden worden genoemd.^[40] Met de toevoeging van viscositeit was het mogelijk om de hydrodynamische paradox te vermijden.

Turbulentie

Interne wrijving bleef echter problematisch, ook voor Helmholtz die in 1858 de stellingen voor wervels in een ideale vloeistof behandelde.^[41] Hoewel werd aangenomen dat deze veroorzaakt werden door interne wrijving, zouden bestaande wervels in een ideale vloeistof voor altijd blijven bestaan. Hij zag ook de analogie met de wervels in magnetische velden, waarmee de theorie ook van belang werd voor de ontwikkeling van de theorie van het elektromagnetisme.

Uit het werk van Helmholtz volgde dat wervels in een zich oneindig uitstrekkende vloeistof zich oneindig moesten uitstrekken of een gesloten ring moesten vormen. Wervels werden populair in pogingen om atomen te beschrijven, maar zouden ook een rol spelen in de beschrijving van turbulentie als oorzaak van wrijving. Reynolds toonde met gekleurde vloeistof aan dat een lichaam dat zich door een vloeistof voortbeweegt een sterke turbulentie veroorzaakt, wat al optreedt vlak achter de voorzijde. Hij deed daarna veel onderzoek naar de overgang van laminaire naar turbulente stroming. Uit alle variabelen in de Navier-Stokes-vergelijkingen wist hij in 1887 het reynoldsgetal te halen waarmee deze overgang uitgedrukt kon worden.^[42] Dit getal geeft de verhouding weer tussen de viskeuze — laminair blijven van de stroming — en de traagheidskrachten — leidend tot turbulentie — waarbij twee verschillende stromingen die een gelijk reynoldsgetal en dezelfde geometrie hebben similair zijn.

Stoom

In de zeilvaart lagen de snelheden niet vaak boven de 10 knopen, zodat golfweerstand een te verwaarlozen rol speelde. De scheepsvorm had slechts een geringe rol bij de snelheid die een schip kon bereiken. Veel belangrijker was de kunde van bemanning om de juiste koersen te varen, de juiste tuigage te kiezen en de staat van onderhoud van een schip. Daarnaast was de weerstand slechts een van de ontwerpoverwegingen, waarbij de bouwmethode, het laadvermogen en de stabiliteit een veel belangrijker rol speelde.

Met de komst van de eerste stoomschepen in het begin van de negentiende eeuw gingen de snelheden echter omhoog en werd een beter begrip van scheepsweerstand noodzakelijk. Een aantal van de bestaande theorieën was min of meer juist, zoals de kwadratische afhankelijkheid van snelheid, Bossuts golfbijdrage en Beaufoys huidwrijving. Andere waren echter onjuist — zoals weerstand veroorzaakt door het botsen van deeltjes tegen de boeg, de afhankelijkheid van het grootspant en het idee van een omwentelingslichaam van minste weerstand — maar hadden het gezag van Newton, geholpen door het werk van Bouguer.

Een van de belangrijkste taken van de in 1831 opgerichte British Association for the Advancement of Science was onderzoek naar navigatie. Scott Russell zat in een aantal commissies die zich daarop richtten en bracht daar het belang van de golfopwekking onder de aandacht. Hij ontwikkelde scheepslijnen die zo min mogelijk golven moesten opwekken, maar had weinig begrip van hydrodynamica en deed veel op intuïtie en empirische afleiding.

William Macquorn Rankine had als technische wetenschapper wel voldoende begrip van vloeistofmechanica en werd door James Napier gevraagd om met een alternatief te komen voor de Admiraliteitsformule, waar hij in 1857 mee kwam. Hij kwam in zijn latere werk tot de conclusie dat wrijving de grootste bijdrage leverde aan weerstand. Deze weerstand uitte zich in wervelingen in wat hij de weerstandslaag noemde. Hij zocht daarna naar lijnen die zouden wervelopwekking zouden voorkomen. Zijn 'lissenoïdes' zouden uiteindelijk op Russells lijnen lijken. Hoewel zijn benadering belangrijk was om scheepsweerstand beter te begrijpen, ontbrak het zijn methode aan voorspellend vermogen.

William Froude

Froude was oorspronkelijk civiel ingenieur bij de spoorwegen en kwam zo in dienst bij Brunel. In 1845 ging hij weg bij Brunel, maar in 1856 werd hij door deze gevraagd zich bezig te houden met scheepsbewegingen onder invloed van golven. Hij besprak daarbij onder andere huidwrijving als dempingsmechanisme en maakte gebruik van gelijkvormigheid van zijn modellen bij zijn proeven. Froude was waarschijnlijk niet op de hoogte van het werk over algemene gelijkvormigheid in de mechanica van Bertrand en voor schepen van Reech. Zijn werk bracht hem onder de aandacht bij de British Association en de admiraliteit en leverde hem het lidmaatschap van de RINA op. Tussen 1863 en 1866 maakte hij deel uit van de commissie Resistance of Water. Bij gebrek aan goede methodes om de weerstand te berekenen, ondernam hij van 1865 tot 1867 modelproeven in de haven van Dartmouth.

Tegen 1870 wilde de British Association proeven uitvoeren met echte schepen, omdat met schaalmodellen onbetrouwbare resultaten werden verkregen. Froude betoogde dat dit erg duur zou zijn en betoogde dat hij met schaalmodellen betrouwbare proeven kon doen, uitgaande van de golfweerstand en de wrijvingsweerstand die beiden andere schaalwetten volgden. Hij wist Reed, de Chief Constructor van de Royal Navy te overtuigen een sleeptank te bouwen in Torquay. Daar werd in 1872 begonnen met een model van de HMS Greyhound. Froude ontwikkelde zijn eigen dynamometer.

Tijdens de proeven nam hij waar dat symmetrisch gelijke modellen van verschillende grootte eenzelfde golfsysteem veroorzaakten, maar dat de snelheid daarbij verschilde. Een groter model moest een hogere snelheid hebben om eenzelfde patroon op te wekken volgens de verhouding:

${displaystyle {V_{1} over V_{2}}={sqrt {L_{1} over L_{2}}}}$

Bij vergelijkingen tussen modellen en schepen bleek dat de specifieke weerstandscurves van modellen altijd hoger lagen dan die van schepen. De golfweerstand ${displaystyle R_{W}}$ bleek te schalen met ${displaystyle {V over {sqrt {L}}}}$ terwijl de wrijvingsweerstand ${displaystyle R_{F}}$ niet zo schaalde.

Hij stelde dat de viskeuze weerstand uitgerekend kon worden aan de hand van wrijvingsdata, waarna de golfweerstand afgeleid kon worden uit de totale weerstand:

${displaystyle R_{W}=R_{T}-R_{F}}$

Hij voerde daarna proeven uit met planken van verschillende lengtes en ruwheden waarmee hij een empirische formule samenstelde om de wrijvingsweerstand${displaystyle R_{F}}$ te bepalen. Net als Rankine nam hij een laag waar met turbulente stroming, maar vond dat deze niet proportioneel toeneemt met de lengte van de plank.

Met het Froudegetal werd het mogelijk om resultaten van modelproeven om te zetten naar echte schepen. Zijn verhandeling voor RINA werd een belangrijke invloed op scheepsontwerpen.

Grenslaag

Rond 1900 voldeed de theorie van de hydrodynamica nog steeds zo weinig om praktische resultaten mee te voorspellen, dat de hydraulica zich als toegepaste wetenschap had afgesplitst, gebruik makend van empirische formules.

Dit probleem werd dat jaar benoemd door Sommerfeld:

De theoretische natuurkunde voorspelt een wrijvingsweerstand die evenredig is met snelheid en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de diameter, terwijl het volgens de technische natuurkunde evenredig is met het kwadraat van de snelheid en omgekeerd evenredig met de diameter.

Het werk van onder andere Prandtl zou beide disciplines verenigen in de eerste decennia van de twintigste eeuw. In 1904 kwam Prandtl met zijn theorie over de grenslaag, in de negentiende eeuw als 'wrijvingslaag' beschreven.^[43] Waar zijn voorgangers deze slechts kwalitatief konden beschrijven, was hij in staat deze te kwantificeren.

Noten

Bibliografie

• Bertram, V. (2000): Practical Ship Hydrodynamics, Butterworth-Heinemann,
• Calero, J.S. (2008): The genesis of fluid mechanics, 1640-1780, Springer,
• Carlton, J. (2007): Marine Propellers and Propulsion, Butterworth-Heinemann,
• Ghose, J.P., Gokarn R.P. (2004): Basic Ship Propulsion, Allied Publishers,
• Harvald, S.A. (1992): Resistance and Propulsion of Ships, Krieger Pub Co,
• Kuiper, G. (1994): Resistance and Propulsion of Ships, Technical University Delft,
• Diverse proceedings van de ITTC.

Geschiedenis

• Darrigol, O. (2005): Worlds of Flow: a history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl Olivier, Oxford Univ. Press,
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