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Kinematica

Kinematik oder Kinematik ist Teil von klassische Mechanik und beschäftigt sich mit Bewegung. vom Umzug Körper die chemischen und physikalischen Eigenschaften, mit Ausnahme der Abmessungen, sowie die auf sie einwirkenden Eigenschaften werden vernachlässigt Kräfte. Der Zusammenhang zwischen Kraft(en) und Bewegung wird im Dynamik.

Grundlegendes Konzept

Platz, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind die Grundbegriffe der Kinematik. Es ist alles drei Vektorgrößen, also mit Betrag und Richtung. Der Geschwindigkeitsvektor, der einen Betrag und eine Richtung hat, ist der Derivat zur Zeit der Platzieren Sie den Vektor und der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors. Die Beschleunigungsrichtung ist nicht unbedingt gleich der Geschwindigkeitsrichtung Die einfachste Bewegung eines Körpers ist die gleichmäßige Bewegung, wobei Betrag und Richtung der Geschwindigkeit konstant sind und die Beschleunigung gleich Null ist. EIN gleichmäßig beschleunigte Bewegung hat eine Beschleunigung konstanter Größe, die die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit hat. Ein weiterer Standardzug ist der gleichförmige Kreisbewegung, wobei der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist und sich die Richtung unter dem Einfluss einer konstanten Beschleunigung, die immer senkrecht zur Geschwindigkeit steht, gleichmäßig ändert.

Koordinatensystem

Bewegung muss in a . beschrieben werden Koordinatensystem. Nicht nur der Ursprung des Koordinatensystems kann frei gewählt werden, um die mathematische Behandlung so einfach wie möglich zu halten, sondern auch die Art der Koordinaten. Es Kartesisches Koordinatensystem sieht am einfachsten aus: drei gerade Achsen senkrecht zueinander im dreidimensionalen Raum. Andere bekannte Systeme sind das zylindrische und das sphärische. Soll eine Kreisbewegung beschrieben werden, liegt die Wahl für eine der beiden letzteren nahe. Auch Kombinationen sind möglich: zB ein kartesisches System mit festem Ursprung für die Translation und ein zylindrisches System mit dem Schwerpunkt des bewegten Körpers als Ursprung und dessen gerader Achse mit der Rotationsachse zusammenfällt.

Punktmasse und Körper

Die Kinematik der Punktmasse, also ohne Dimensionen, ist der einfachste Teil der klassischen Mechanik, weil die zu beschreibende Bewegung dann kleiner ist Freiheitsgrade hast. Deshalb ist es oft das erste Fach im Mechanikunterricht Körper mit endlicher Ausdehnung ist jedoch wegen der verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten der Körper wesentlich komplizierter, nämlich: nicht nur Übersetzung im zwei- oder dreidimensionalen Raum, aber auch Drehung und Kombinationen davon. Starre Körper sind wiederum leichter zu beschreiben als elastische Körper oder Körper mit beweglichen Teilen.

Kinematik einer Punktmasse

Vektor platzieren

Das Platz- oder Ortsvektor eines Körpers ist der Vektor von dem Ursprung der Auserwählten Koordinatensystem zu einem Bezugspunkt des Körpers. Bei einer Punktmasse gibt es nichts zu wählen, in anderen Fällen empfiehlt sich der geometrische Mittelpunkt oder der Schwerpunkt. Es gibt sowohl den Abstand vom Körper zum Ursprung als auch die Richtung an. In einer dreidimensionalen kartesischen Koordinate kann die Position von Punkt ein sind angegeben als

{displaystyle mathbf {r} _{A}=(x_{A},y_{A},z_{A}),}

mit X_ein, ja_ein und z_ein von diesem Punkt. Die Länge des Ortsvektors |r| ist der Abstand zwischen Punkt ein und der Ursprung.

{displaystyle |mathbf {r} |={sqrt {x_{A}^{ 2} y_{A}^{ 2} z_{A}^{ 2}}}.}

Der Richtungskosinus ${displaystyle x_{A}/|r|}$ , ${displaystyle x_{B}/|r|}$ und ${displaystyle x_{C}/|r|}$ des Positionsvektors bestimmen die Richtung. Der Positionsvektor einer Punktmasse ist nicht eindeutig: In Bezug auf verschiedene Koordinatensysteme ist der Positionsvektor desselben Teilchens unterschiedlich.

Ruhe und Bewegung

Ändert sich der Positionsvektor eines Partikels in einem Koordinatensystem im Laufe der Zeit, bewegt sich das Partikel relativ zu diesem System. Ist dies nicht der Fall, ruht das Teilchen in diesem Koordinatensystem. Ruhe und Bewegung eines Teilchens hängen also von der Wahl eines Koordinatensystems ab und sind nicht absolut. Ein Teilchen kann in einem System ruhen und sich in einem anderen bewegen.

Verschiebung

Die Verschiebung ist a Vektor die den Ortsunterschied zwischen zwei Punkten angibt. Es gibt die Positionsänderung an, die ein Teilchen in einem Zeitintervall erfährt. als Punkt ein an Ort und Stelle r_ein = (X_ein,ja_ein,z_ein) befindet und Punkt do B auf r_B = (X_B,ja_B,z_B), dann wird die Verschiebung r_AB von B zuein gegeben von

{displaystyle mathbf {r} _{AB}=mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{A}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A}).}

In dem Geometrie ist die Verschiebung der kürzeste Abstand zwischen den Punkten ein und B. Im Gegensatz zum Positionsvektor ist die Verschiebung unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem. Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist nämlich invariant bei der Translation (verändert sich bei Verschiebung nicht) von einem System in ein anderes, abgesehen von relativistisch Fälle.

Pfad

Die zurückgelegte Strecke auf einer Kurvenbahn ist immer größer oder gleich der Verschiebung entlang der Geraden zwischen Start- und Endpunkt.

Es Pfad eines Teilchens ist die Strecke, die zwischen Start- und Endpunkt zurückgelegt wird.

Entfernung

Die Entfernung ist die Länge des Weges. Ist der Ort einer Punktmasse als Funktion der Zeit bekannt, so r = r(t), dann die Entfernung so wer macht es zwischendurch t₁ und Zeit t₂ berechnet werden mit

{displaystyle s=int _{t_{1}}^{t_{2}}|dmathbf {r} |=int _{t_{1}}^{t_{2}}ds=int _{t_{1} }^{t_{2}}{sqrt {dx^{2} dy^{2} dz^{2}}}=int _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {left({ frac {dx}{dt}}ight)^{2} left({frac {dy}{dt}}ight)^{2} left({frac {dz}{dt}}ight)^{2}}} ;dt.}

Diese Formel nutzt die Tatsache, dass während a unendlich klein kleines Zeitintervall ist die Größe der Verschiebung gleich der zurückgelegten geradlinigen Strecke. (In der Geometrie fällt ein infinitesimal kleiner Bogen mit dem Tangente zwischen den Enden des Bogens.)

Geschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist definiert als

{displaystyle {overline {mathbf {v}}}={frac {Delta mathbf {r} }{Delta t}}}

mitr der Ortswechsel und Δt das Zeitintervall, in dem sich der Ort ändert. Die Richtung von v gleich der Verschiebung Δr wennt > 0.

Das Geschwindigkeit ist der Ortswechsel im Laufe der Zeit, d. h. wie sich die Entfernung eines Punktes in Abhängigkeit von der Zeit ändert. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Die Momentangeschwindigkeit (Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt) kann definiert werden als Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit als Zeitspanne Δt geht auf null. Beidesr wennt gegen Null gehen, aber ihr Verhältnis erreicht einen (möglicherweise) endlichen Wert v ungleich Null:

{displaystyle mathbf {v} =lim _{Delta enger Pfeil 0}{frac {Delta mathbf {r} }{Delta t}}={frac {dmathbf {r} }{dt}},,}

mit dr ein unendlich klein Verschiebung und dt eine unendlich kleine Zeitspanne. weil dr ist der infinitesimale Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Weg der Punktmasse, er ist gleich dem Inkrement der Weglänge entlang des Wegs der Punktmasse dso. Die Geschwindigkeit nach dieser Definition ist die zeitliche Ableitung der Position. weil dr entlang einer Tangente an die Bahn, ebenso der Geschwindigkeitsvektor.

Ausrüstung

Die durchschnittliche Beschleunigung über ein Zeitintervall ist definiert als

{displaystyle {overline {mathbf {a}}}={frac {Delta mathbf {v} }{Delta t}}}

mitv die Geschwindigkeitsänderung und Δt das Zeitintervall, in dem sich die Geschwindigkeit ändert.

Ausrüstung ist die Vektorgröße, die die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit beschreibt. Die momentane Beschleunigung (die Beschleunigung auf einmal) ist die Grenze der durchschnittlichen Beschleunigung als Δt geht auf 0. Dann geht ein → ein.

{displaystyle mathbf {a} =lim _{Delta enger Pfeil 0}{frac {Delta mathbf {v} }{Delta t}}={frac {dmathbf {v} }{dt}},,}

mit dv eine verschwindend kleine Geschwindigkeitsänderung und dt ein unendlich kleiner Zeitunterschied.

Bewegungsarten

Wenn die Beschleunigung eines Teilchens gleich 0 ist, ist die Geschwindigkeit des Teilchens über die Zeit konstant. Die Bewegung heißt dann einstimmig. Ansonsten ist die Bewegung nicht gleichmäßig.

Ist die Beschleunigung ungleich 0, aber konstant, heißt die Bewegung gleichmäßig beschleunigt. Wenn sich jedoch die Beschleunigung ändert, hat sich die Bewegung mit einer variablen Beschleunigung beschleunigt. Die Beschleunigungsänderung ist die dritte zeitliche Ableitung des Ortsvektors und wird im Englischen als Trottel (Trottel). Die selten verwendete vierte Ableitung wird im Englischen 'jounce' genannt.

Integrale

Die folgenden Definitionen können sein: integriert:

{displaystyle mathbf {v} (t)=mathbf {v} _{0} int _{t_{0}}^{t}mathbf {a} (t);dt}

{displaystyle { egin{aligned}mathbf {r} (t)&=mathbf {r} _{0} int _{t_{0}}^{t}mathbf {v} (t);dt/&=mathbf { r} _{0} mathbf {v} _{0}t int _{t_{0}}^{t}links[int _{t_{0}}^{t}mathbf {a} (t)dtight] ;dt/end{ausgerichtet}}}

Gleichmäßige Beschleunigung

Viele Prozesse in der Physik lassen sich als gleichförmige Beschleunigung modellieren, zum Beispiel die Kugelbahn.

Wenn wir beschleunigen ein im Laufe der Zeit integrieren t Wir finden die Geschwindigkeitsänderung. Wenn die Beschleunigung in Richtung und Betrag gleichförmig ist, können die Integrale vereinfacht werden:

{displaystyle mathbf {v} (t)=int _{0}^{t}mathbf {a} ;dt'=mathbf {v} _{0} mathbf {a} t.}

{displaystyle { egin{aligned}mathbf {r} (t)&=mathbf {r} _{0} int _{0}^{t}mathbf {v} ;dt'=mathbf {r} _{0} int _{0}^{t}(mathbf {v} _{0} mathbf {a} t);dt'/&=mathbf {r} _{0} mathbf {v} _{0}t { frac {1 }{2}}mathbf {a} t^{2}.end{aligned}}}

Daraus ergeben sich weitere Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit. weil

{displaystyle mathbf {a} =left({frac {mathbf {v} -mathbf {v_{0}} }{t}}ight)}

gilt

{displaystyle mathbf {r} (t)=mathbf {r} _{0} left({frac {mathbf {v v_{0}} }{2}}ight)t.}

Dies bedeutet, dass bei einer gleichmäßigen Beschleunigung die Verschiebung gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit mal der Zeit ist.

Für eine eindimensionale Bewegung kann die folgende Beziehung ohne explizite Zeitabhängigkeit abgeleitet werden. von

{displaystyle {mathbf {a} t}={mathbf {v} -mathbf {v_{0}} }}

folgt

{displaystyle (mathbf {r-r_{0}} )cdot mathbf {a} t=left(mathbf {v} -mathbf {v} _{0}ight)cdot {frac {mathbf {v} mathbf {v} _ {0}}{2}}t ,}

mit dem internes Produkt. Wenn wir Zeit haben t Wir finden:

{displaystyle 2(mathbf {r-r_{0}} )cdot mathbf {a} =v^{2}-v_{0}^{ 2}.}

Für geradlinige Bewegung ist der Differenzvektor ${displaystyle mathbf {r-r_{0}} }$ parallel zum Beschleunigungsvektor ${displaystyle mathbf {a} }$ . Dann gilt

{displaystyle v^{2}=v_{0}^{2} 2a(r-r_{0}).}

Dies ist ein nützlicher Vergleich, wenn die Dauer unbekannt ist.

Kinematische Einschränkung

Eine kinematische Einschränkung ist eine Beziehung zwischen Eigenschaften eines dynamischen Systems, die immer gilt. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele.

Rollen ohne zu rutschen

Für ein Objekt, das über eine Oberfläche rollt, ohne Unterhose hält, dass die Geschwindigkeit seiner speed Schwerpunkt ist gleich dem aus produkt seine Winkelgeschwindigkeit und der Vektor vom Tangentialpunkt zum Schwerpunkt. In Formelform

{displaystyle { oldsymbol {v}}_{G}(t)={ oldsymbol {omega}} imes { oldsymbol {r}}_{G/O}}

.

Wenn das Objekt nicht kippt, beträgt dies v = ω R.

ungedehntes Seil

In einigen idealisierten Situationen werden Objekte durch ein straffes Seil konstanter Länge verbunden. Die auferlegte Anforderung ist, dass die Länge der Seilstücke fest bleibt, damit die zeitliche Ableitung Null ist (siehe zum Beispiel Kelvin und Tait^[1]^[2] und Fogil).^[3] Ein dynamisches Problem dieser Art ist die mathematische Pendel. Ein anderes Beispiel ist der Zylinder, um den ein Seil gewickelt ist, an dem ein fallendes Gewicht hängt, damit der Zylinder sich zu drehen beginnt.^[4] Ein statisches Problem dieser Art ist das Kettenlinie.^[5]

Siehe auch

Externe Links

Java-Applet für 1D-Kinematik
Flash-Animation als Lehrmaterial für 1D-Kinematik
Physclips: Mechanik mit Animationen und Videoclips von der University of New South Wales
physikfunda.googlepages.com, Kinematik für High School und IIT JEE-Niveau
Kinematische Modelle für Design Digital Library (KMODDL) Filme und Fotos vieler funktionierender Modellsysteme der of Cornell Universität. Einschließlich eines E-Book-Bibliothek klassischer Texte zur mechanischen Konstruktion und Technik.
James R. Ogden & Max Fogiel, Der Mechanik-Problemlöser. Forschungs- und Bildungsvereinigung (1980), S. 1 184. ISBN 0878915192 .
R. Douglas Gregory, Klassische Mechanik: Ein Undergraduate-Text. Cambridge University Press, Cambridge UK (2006), Kapitel 2. ISBN 0521826780 .

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑William Thomson Kelvin & Peter Guthrie Tait, Elemente der Naturphilosophie. Cambridge University Press (1894), p. 4. ISBN 1573929840 .
↑William Thomson Kelvin & Peter Guthrie Tait, auf. zit. (1894), p. 296.
↑M. Fogiel, Der Mechanik-Problemlöser. Forschungs- und Bildungsgesellschaft (1980), „Aufgabe 17-11“, S. 133. 613. ISBN 0878915192 .
↑Irving Porter Kirche, Mechanik des Ingenieurwesens. Wiley (1908), p. 111. ISBN 1110365276 .
↑Morris Kline, Mathematisches Denken von der Antike bis zur Neuzeit. Oxford University Press (1990), p. 472. ISBN 0195061365 .

[Kelvin-1] William Thomson Kelvin & Peter Guthrie Tait, Elemente der Naturphilosophie. Cambridge University Press (1894), p. 4. ISBN 1573929840 .

[Thompson2-2] William Thomson Kelvin & Peter Guthrie Tait, auf. zit. (1894), p. 296.

[Fogiel-3] M. Fogiel, Der Mechanik-Problemlöser. Forschungs- und Bildungsgesellschaft (1980), „Aufgabe 17-11“, S. 133. 613. ISBN 0878915192 .

[Church-4] Irving Porter Kirche, Mechanik des Ingenieurwesens. Wiley (1908), p. 111. ISBN 1110365276 .

[Kline-5] Morris Kline, Mathematisches Denken von der Antike bis zur Neuzeit. Oxford University Press (1990), p. 472. ISBN 0195061365 .

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