WikiDer > Selmer guruhi

Yilda arifmetik geometriya, Selmer guruhi, ishi sharafiga nomlangan Ernst Sejersted Selmer (1951) tomonidan Jon Uilyam Skott Kassels (1962), an dan tuzilgan guruhdir izogeniya ning abeliya navlari.

Izogeniyaning Selmer guruhi

Abel navining Selmer guruhi A ga nisbatan izogeniya f : A → B abeliya navlarini quyidagicha aniqlash mumkin Galois kohomologiyasi kabi

${ displaystyle operator nomi {Sel} ^ {(f)} (A / K) = bigcap _ {v} ker (H ^ {1} (G_ {K}, ker (f)) rightarrow H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, A_ {v} [f]) ​​/ operator nomi {im} ( kappa _ {v}))}$

qayerda A_v[f] belgisini bildiradi f-burish ning A_v va ${ displaystyle kappa _ {v}}$ mahalliy Kummer xaritasi ${ displaystyle B_ {v} (K_ {v}) / f (A_ {v} (K_ {v})) rightarrow H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, A_ {v} [f] )}$. Yozib oling ${ displaystyle H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, A_ {v} [f]) ​​/ operator nomi {im} ( kappa _ {v})}$ izomorfik ${ displaystyle H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, A_ {v}) [f]}$. Geometrik ravishda Selmer guruhi elementlaridan kelib chiqqan asosiy bir hil bo'shliqlar mavjud K_v- hamma joylar uchun ratsional ballar v ning K. Selmer guruhi cheklangan. Buning ma'nosi shundan iboratki Tate-Shafarevich guruhi tomonidan o'ldirilgan f quyidagilar tufayli cheklangan aniq ketma-ketlik

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel^(f)(A/K) → Sh (A/K)[f] → 0.

Ushbu aniq ketma-ketlikning o'rtasida joylashgan Selmer guruhi cheklangan va samarali hisoblanadi. Bu zaiflarni nazarda tutadi Mordell - Vayl teoremasi uning kichik guruhi B(K)/f(A(K)) cheklangan. Ushbu kichik guruhni samarali hisoblash mumkinmi yoki yo'qligi haqida juda katta muammo mavjud: uni hisoblash uchun protsedura mavjud, agar ba'zi bir asosiy holatlar bo'lsa, to'g'ri javob bilan tugaydi. p shunday p- Teyt-Shafarevich guruhining tarkibiy qismi cheklangan. Taxminlarga ko'ra Tate-Shafarevich guruhi aslida cheklangan bo'lib, u holda har qanday tub p ishlaydi. Ammo, agar (ehtimol ko'rinmasa) Tate-Shafarevich guruhi cheksiz narsaga ega p- har bir boshlang'ich uchun komponent p, keyin protsedura hech qachon tugamasligi mumkin.

Ralf Grinberg (1994) Selmer guruhi tushunchasini umumiyroq tushunchaga umumlashtirdi p-adik Galois vakolatxonalari va ga pning odatiy o'zgarishlari motivlar kontekstida Ivasava nazariyasi.

Chegaralangan Galois modulining Selmer guruhi

Umuman olganda, cheklangan Galois modulining Selmer guruhini aniqlash mumkin M (izogenez yadrosi kabi) ning elementlari sifatida H¹(G_K,M) ning berilgan kichik guruhlari ichida rasmlarga ega H¹(G_Kv,M).

Adabiyotlar

• Kassellar, Jon Uilyam Skott (1962), "Arifmetika. 1-avlod egri chiziqlari. III. Teyt-Shafarevich va Selmer guruhlari", London Matematik Jamiyati materiallari, Uchinchi seriya, 12: 259–296, doi:10.1112 / plms / s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, JANOB 0163913
• Kassellar, Jon Uilyam Skott (1991), Elliptik egri chiziqlar bo'yicha ma'ruzalar, London Matematik Jamiyati talabalari uchun matnlar, 24, Kembrij universiteti matbuoti, doi:10.1017 / CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, JANOB 1144763
• Grinberg, Ralf (1994), "Ivasava nazariyasi va motivlarning p-adik deformatsiyasi", yilda Ser, Jan-Per; Yannsen, Uve; Kleyman, Stiven L. (tahr.), Motivlar, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-1637-0, JANOB 1265554
• Selmer, Ernst S. (1951), "Diofant tenglamasi bolta³ + tomonidan³ + cz³  = 0", Acta Mathematica, 85: 203–362, doi:10.1007 / BF02395746, ISSN 0001-5962, JANOB 0041871