WikiDer > Tate-Shafarevich guruhi

Tate–Shafarevich group

Yilda arifmetik geometriya, Tate-Shafarevich guruhi $Sh (A / K)$ tomonidan kiritilgan Serj Lang va Jon Teyt (1958) va Igor Shafarevich (1959), ning abeliya xilma-xilligi $A$ (yoki umuman olganda a guruh sxemasi) raqam maydonida aniqlangan $K$ ning elementlaridan iborat Vayl-Chatelet guruhi $HOJATXONA(A / K) = H 1 (G K, A)$ ning barcha bajarilishlarida ahamiyatsiz bo'lib qoladi $K$ (ya'ni $p$ -adik maydonlar olingan $K$ , shuningdek uning haqiqiy va murakkab yakunlari). Shunday qilib, jihatidan Galois kohomologiyasi, deb yozish mumkin

{ displaystyle bigcap _ {v} mathrm {ker} left (H ^ {1} chap (G_ {K}, A right) rightarrow H ^ {1} chap (G_ {K_ {v}) }, A_ {v} o'ng) o'ng).}

Bu muallifning mavzuga qo'shgan eng doimiy hissasi. Asl yozuv edi

TS

Teyt menga aytadiki, lavatoriya lavhasini davom ettirishni maqsad qilgan

Hojatxona

. Amerikaliklar "qattiq bok", uni yo'q qilish qiyin bo'lgan qismni ko'rsatadi.

J. V. S. Kassellar (1990, 109-betdagi izoh), uning notani kiritganligini sharhlaydi $Sh$ .

Kassellar yozuvlarni kiritdilar $Sh (A / K)$ , qayerda $Sh$ bo'ladi Kirillcha xat "Sha", Shafarevich uchun eski yozuvni almashtirish $TS$ .

Tate-Shafarevich guruhining elementlari

Geometrik ravishda Tate-Shafarevich guruhining ahamiyatsiz elementlarini bir hil bo'shliqlar deb hisoblash mumkin. $A$ bor $K v$ -ratsional fikrlar har bir kishi uchun joy $v$ ning $K$ , lekin yoq $K$ -ratsional nuqta. Shunday qilib, guruh Hasse printsipi sohada koeffitsientli ratsional tenglamalarni bajarolmaydi $K$ . Karl-Erik Lind (1940) 1 jins egri ekanligini ko'rsatib, shunday bir hil fazoga misol keltirdi $x 4 - 17 = 2 y 2$ realda va barchasida echimlarga ega $p$ -adik maydonlar, ammo mantiqiy fikrlari yo'q.Ernst S. Selmer (1951kabi yana ko'plab misollarni keltirdi $3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0$ .

Tate-Shafarevich guruhining ba'zi bir cheklangan tartibli nuqtalardan iborat sonli guruh sxemasi uchun maxsus ishi $n$ abeliya navlari bilan chambarchas bog'liq Selmer guruhi.

Tate-Shafarevich gumoni

Tate-Shafarevich taxminiga ko'ra Tate-Shafarevich guruhi cheklangan. Karl Rubin (1987) buni eng yuqori darajadagi ba'zi elliptik egri chiziqlar uchun isbotladi murakkab ko'paytirish. Viktor A. Kolyvagin (1988) analitik daraja mantiqiyligi bo'yicha modulli elliptik egri chiziqlarga qadar kengaytirildi 1. (The modullik teoremasi keyinchalik modullik taxminining doimo mavjudligini ko'rsatdi.)

Kasselalar - Tate juftligi

Kassellar-Teyt juftligi bu ikki tomonlama juftlik $Sh (A) \times Sh (Â) \to Q / Z$ , qayerda $A$ abeliya navlari va $Â$ bu uning ikkilikidir. Kassellar (1962) buni tanishtirdi elliptik egri chiziqlar, qachon $A$ bilan aniqlanishi mumkin $Â$ va juftlash - o'zgaruvchan shakl. Ushbu shaklning yadrosi bo'linadigan elementlarning kichik guruhidir, agar Tate-Shafarevich gumoni rost bo'lsa, ahamiyatsiz bo'ladi. Teyt (1963) ning o'zgarishi sifatida juftlikni umumiy abeliya navlariga kengaytirdi Tate ikkilik. Polarizatsiyani tanlash A dan xarita beradi $A$ ga $Â$ , bu aniq chiziqli juftlikni keltirib chiqaradi $Sh (A)$ qiymatlari bilan $Q / Z$ , ammo elliptik egri chiziqlardan farqli o'laroq, bu o'zgaruvchan yoki hatto nosimmetrik bo'lishi shart emas.

Elliptik egri chiziq uchun Kassellar juftlikning o'zgaruvchanligini ko'rsatdi va natijada agar tartib $Sh$ sonli, keyin u kvadrat. Keyinchalik umumiy abeliya navlari uchun ba'zan ko'p yillar davomida bu tartib noto'g'ri deb ishonilgan $Sh$ har doim cheklangan bo'lgan kvadrat; bu xato qog'ozdan kelib chiqqan Svinnerton-Dayer (1967), natijalaridan birini noto'g'ri keltirgan Teyt (1963). Poonen & Stoll (1999) tartib kvadratdan ikki baravar ko'p bo'lgan ba'zi bir misollarni keltirdi, masalan, Tate-Shafarevich guruhi 2-tartibga ega bo'lgan mantiqiy asoslar bo'yicha ma'lum bir egri chiziqli Jacobian 2 va Shteyn (2004) tartibni ajratuvchi toq tubning kuchi toq bo'lgan bir nechta misollarni keltirdi. Agar abeliya navlari asosiy qutblanishga ega bo'lsa, u holda shakl $Sh$ nishab nosimmetrik bo'lib, uning tartibini anglatadi $Sh$ kvadrat yoki ikki karra kvadrat (agar u cheklangan bo'lsa) va agar qo'shimcha ravishda asosiy qutblanish ratsional bo'luvchidan kelib chiqsa (elliptik egri chiziqlarda bo'lgani kabi) bo'lsa, unda shakl o'zgaruvchan bo'ladi va $Sh$ kvadrat (agar u cheklangan bo'lsa).

Shuningdek qarang

Birch va Svinnerton-Dayer gipotezasi

Adabiyotlar

Kassellar, Jon Uilyam Skott (1962), "Arifmetika 1-avlod egri chiziqlarida. III. Teyt-Shafarevich va Selmer guruhlari", London Matematik Jamiyati materiallari, Uchinchi seriya, 12: 259–296, doi:10.1112 / plms / s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, JANOB 0163913
Kassellar, Jon Uilyam Skott (1962b), "1-avlod egri chiziqlaridagi arifmetika. IV. Hauptvermutungning isboti", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, doi:10.1515 / crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, JANOB 0163915
Kassellar, Jon Uilyam Skott (1991), Elliptik egri chiziqlar bo'yicha ma'ruzalar, London Matematik Jamiyati talabalari uchun matnlar, 24, Kembrij universiteti matbuoti, doi:10.1017 / CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, JANOB 1144763
Xindri, Mark; Silverman, Jozef H. (2000), Diofantin geometriyasi: kirish, Matematikadan magistrlik matnlari, 201, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
Grinberg, Ralf (1994), "Ivasava nazariyasi va motivlarning p-adik deformatsiyasi", yilda Serre, Jan-Per; Yannsen, Uve; Kleyman, Stiven L. (tahr.), Motivlar, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-1637-0
Kolyvagin, V. A. (1988), "Vayl egri chiziqlari subklassi uchun E (Q) va SH (E, Q) ning yakuniyligi", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematikheskaya, 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295
Lang, Serj; Teyt, Jon (1958), "Abeliya navlari ustidagi asosiy bir hil bo'shliqlar", Amerika matematika jurnali, 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, JANOB 0106226
Lind, Karl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Tezis). 1940. Uppsala universiteti. 97 bet. JANOB 0022563.
Puonen, Byor; Stoll, Maykl (1999), "Polarizatsiyalangan abeliya navlari bo'yicha Kassel-Teyt juftligi", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 150 (3): 1109–1149, arXiv:matematik / 9911267, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, JANOB 1740984
Rubin, Karl (1987), "Tate-Shafarevich guruhlari va murakkab ko'paytma bilan elliptik egri chiziqlarning L-funktsiyalari", Mathematicae ixtirolari, 89 (3): 527–559, Bibcode:1987InMat..89..527R, doi:10.1007 / BF01388984, ISSN 0020-9910, JANOB 0903383
Selmer, Ernst S. (1951), "Diofant tenglamasi ax³ + by³ + cz³ = 0", Acta Mathematica, 85: 203–362, doi:10.1007 / BF02395746, ISSN 0001-5962, JANOB 0041871
Shafarevich, I. R. (1959), "Asosiy bir hil algebraik manifoldlar guruhi", Doklady Akademii Nauk SSSR (rus tilida), 124: 42–43, ISSN 0002-3264, JANOB 0106227 To'plagan matematik ishlarida ingliz tilidagi tarjimasi
Stein, Uilyam A. (2004), "Shafarevich-Tate nonquare order" (PDF), Modulli egri chiziqlar va abeliya navlari, Progr. Matematik., 224, Bazel, Boston, Berlin: Birkxauzer, 277–289 betlar, JANOB 2058655
Swinnerton-Dyer, P. (1967), "Birch va Svinnerton-Dayer va Teytning taxminlari", Springerda, Tonni A. (tahr.), Mahalliy dalalar bo'yicha konferentsiya materiallari (Driebergen, 1966), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 132-157 betlar, JANOB 0230727
Teyt, Jon (1958), W-guruhlar p-adic maydonlari bo'yicha, Séminaire Bourbaki; 10-dekabr: 1957/1958, 13, Parij: Secrétariat Mathématique, JANOB 0105420
Teyt, Jon (1963), "Galois kohomologiyasidagi sonli maydonlar bo'yicha ikkilik teoremalari", Xalqaro matematiklar Kongressi materiallari (Stokgolm, 1962)., Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, 288–295 betlar, JANOB 0175892, dan arxivlangan asl nusxasi 2011-07-17
Vayl, Andre (1955), "Algebraik guruhlar va bir hil bo'shliqlar to'g'risida", Amerika matematika jurnali, 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, JANOB 0074084

Navigation