WikiDer > Shapiro polinomlari

Matematikada Shapiro polinomlari a polinomlarning ketma-ketligi tomonidan dastlab o'rganilgan Garold S. Shapiro 1951 yilda o'ziga xos kattalikni hisobga olgan holda trigonometrik yig'indilar.^[1] Yilda signallarni qayta ishlash, Shapiro polinomlari yaxshi narsalarga ega avtokorrelyatsiya xususiyatlari va ularning qiymatlari birlik doirasi kichik.^[2] Ketma-ketlikning birinchi bir nechta a'zolari:

${displaystyle {egin {aligned} P_ {1} (x) & {} = 1 + x P_ {2} (x) & {} = 1 + x + x ^ {2} -x ^ {3} P_ {3} (x) & {} = 1 + x + x ^ {2} -x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} -x ^ {6} + x ^ {7} ... Q_ {1} (x) & {} = 1-x Q_ {2} (x) & {} = 1 + xx ^ {2} + x ^ {3} Q_ {3} (x ) & {} = 1 + x + x ^ {2} -x ^ {3} -x ^ {4} -x ^ {5} + x ^ {6} -x ^ {7} ... end {moslashtirilgan}}}$

bu erda ko'rsatilgan ikkinchi ketma-ketlik Q, deb aytilgan bir-birini to'ldiruvchi tomonidan ko'rsatilgan birinchi ketma-ketlikka P.

Qurilish

Shapiro polinomlari P_n(z) dan tuzilishi mumkin Golay-Rudin-Shapiro ketma-ketligi a_n, ning ikkilik kengayishidagi ketma-ket juftliklar soni 1 ga teng bo'lsa n teng, aks holda −1. Shunday qilib a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = -1 va boshqalar.

Birinchi Shapiro P_n(z) 2-tartibning qisman yig'indisiⁿ - 1 (qaerda n Quvvat seriyasining = 0, 1, 2, ...)

f(z) := a₀ + a₁ z + a₂ z² + ...

Golay-Rudin-Shapiro ketma-ketligi {a_n} fraktalga o'xshash tuzilishga ega - masalan, a_n = a_2n - bu shuni anglatadiki, (a₀, a₂, a₄, ...) asl ketma-ketlikni takrorlaydi {a_n}. Bu o'z navbatida qanoatlantiradigan ajoyib funktsional tenglamalarga olib keladi f(z).

Ikkinchi yoki bir-birini to'ldiruvchi Shapiro polinomlari Q_n(z) ushbu ketma-ketlik yoki munosabat bilan belgilanishi mumkin Q_n(z) = (1-)ⁿz^2n-1P_n(-1/z) yoki rekursiyalar bo'yicha

${displaystyle P_ {0} (z) = 1; ~~ Q_ {0} (z) = 1;}$

${displaystyle P_ {n + 1} (z) = P_ {n} (z) + z ^ {2 ^ {n}} Q_ {n} (z);}$

${displaystyle Q_ {n + 1} (z) = P_ {n} (z) -z ^ {2 ^ {n}} Q_ {n} (z).}$

Xususiyatlari

255 darajali polinomning nollari

Bir-birini to'ldiruvchi polinomlarning ketma-ketligi Q_n ga mos keladi P_n quyidagi xususiyatlar bilan ajralib turadi:

• (i) Q_n 2 darajaⁿ − 1;
• (ii) ning koeffitsientlari Q_n barchasi 1 yoki -1 ga teng va uning doimiy atamasi 1 ga teng; va
• (iii) hisobga olish |P_n(z)|² + |Q_n(z)|² = 2^(n + 1) kompleks o'zgaruvchisi bo'lgan birlik doirasini ushlab turadi z mutlaq qiymatga ega.

{Ning eng qiziqarli xususiyatiP_n} - ning mutlaq qiymati P_n(z) birlik aylanasida. bilan chegaralangan kvadratning ildizi 2^(n + 1), bu buyurtma bo'yicha L² norma ning P_n. Birlik doirasidagi maksimal moduli o'rtacha modulga yaqin bo'lgan {-1, 1} to'plamidan koeffitsientli polinomlar aloqa nazariyasining turli xil ilovalari uchun foydalidir (masalan, antenna dizayni va ma'lumotlarni siqish). Xususiyat (iii) shuni ko'rsatadiki (P, Q) shakl Golay juftligi.

Ushbu polinomlar qo'shimcha xususiyatlarga ega:^[3]

${displaystyle P_ {n + 1} (z) = P_ {n} (z ^ {2}) + zP_ {n} (- z ^ {2}) ;,}$

${displaystyle Q_ {n + 1} (z) = Q_ {n} (z ^ {2}) + zQ_ {n} (- z ^ {2}) ;,}$

${displaystyle P_ {n} (z) P_ {n} (1 / z) + Q_ {n} (z) Q_ {n} (1 / z) = 2 ^ {n + 1} ;,}$

${displaystyle P_ {n + k + 1} (z) = P_ {n} (z) P_ {k} (z ^ {2 ^ {n + 1}}) + z ^ {2 ^ {n}} Q_ { n} (z) P_ {k} (- z ^ {2 ^ {n + 1}}) ;,}$

${displaystyle P_ {n} (1) = 2 ^ {lfloor (n + 1) / 2floor}; {~} {~} P_ {n} (- 1) = (1 + (- 1) ^ {n}) 2 ^ {lfloor n / 2floor -1}.,}$

Shuningdek qarang

• Littlewood polinomlari

Izohlar

Adabiyotlar

• Borwein, Peter B (2002). Tahlil va raqamlar nazariyasidagi ekskursiyalar. Springer. ISBN 978-0-387-95444-8. Olingan 2007-03-30. 4-bob.
• Mendes Frantsiya, Mishel (1990). "Rudin-Shapiro ketma-ketligi, Ising zanjiri va qog'oz qog'ozi". Yilda Berndt, Bryus C.; Olmos, Garold G.; Xolberstam, Xeyni; va boshq. (tahr.). Analitik sonlar nazariyasi. 1989 yil 25-27 aprel kunlari Illinoys (IL) Illinoys Universitetida (AQSh) bo'lib o'tgan Pol T. Bateman sharafiga konferentsiya materiallari.. Matematikadagi taraqqiyot. 85. Boston: Birkxauzer. 367-390 betlar. ISBN 978-0-8176-3481-0. Zbl 0724.11010.