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Sinusoïde

Das Sinusfunktion und Kosinusfunktion sein Sinusoide. Das Diagramm der Sinuskurven sind die bekannten Wellenlinien. Beachten Sie, dass diese Funktion periodisch ist mit Zeitspanne 2π. Der Sinus hat also den gleichen Wert für Ecken α, α 2π, α 4π, ... Der Graph liegt auf dem Intervalle ${Anzeigestil [2pi, 4pi Winkel}$ , ${Anzeigestil [4pi, 6pi Winkel}$ , usw. eine Wiederholung des Teils zwischen 0 und 2π. Denn ein Winkel von zB 480° = 1×360° 120°, also einmal rundherum und dann noch einmal 120°, wenn der reale Winkel gleich einem Winkel von 120° ist.

Der Aufbau und die Eigenschaften des Kosinus sind analog.

Das sinusförmig ist ein Diagramm wer benimmt sich wie ein Sinus oder Cosinus. Dies bedeutet nach dem Funktion

{Anzeigestil f(x)=asin[b(x-c)] d}

oder

{Anzeigestil f(x)=acos[b(x-c)] d}

Dies gilt:

Gleichgewichtslage = d
Amplitude = |ein|
Periode = 2π/|b|
horizontal verschieben = c
Startpunkt in einem Sinus = (c;d)

Achtung: der Kosinus ist also auch ein Sinusoid, denn: cos(X) = Sünde (X - )

Danach, ${Anzeigestil d=0}$ genommen und ist ${Anzeigestil x}$ die Zeit, geschrieben ${displaystyle t}$ .

Sinusförmige Zeitfunktionen und ihre komplexe Version

Die allgemeine Form von a Sinusfunktion der Zeit ist

{Anzeigestil f(t)=acos(omega t phi)}

mit ${Anzeigestil Omega >0}$ das Eckfrequenz, ${Anzeigestil a>0}$ das Amplitude und ${Anzeigestil phi}$ das Phase.

Diese Funktionen können 1-zu-1 mit den komplexen Funktionen der Zeit verknüpft werden

{displaystyle ae^{i(omega t phi)}}

mit echt ${Anzeigestil a}$ , ${Anzeigestil Omega}$ und ${Anzeigestil phi}$ die dieselben Bedingungen wie oben erfüllen, indem dieselben Werte gewählt werden.^[1] Es echter teil der komplexen Funktion ist ${Anzeigestil f(t)}$ . Die komplexe Funktion wird manchmal die komplexe Version der Sinusfunktion genannt.

Dies wird zum Beispiel angewendet in komplexe AC-Rechnung.

Das Verhältnis der komplexen Spannung an einer Komponente zum komplexen Strom durch sie wird als . bezeichnet Impedanz des Bauteils.

Allgemeiner heißt das Verhältnis der komplexen Version des sinusförmigen Ausgangs von a lineares zeitinvariantes kontinuierliches System zur komplexen Version des Sinuseingangs mit gleicher Kreisfrequenz de Frequenzgang. Sie hängt vom System und von der Kreisfrequenz ab, aber nicht von der Zeit, noch von der Amplitude und Phase des Eingangs. Das Amplitudengang ist das Verhältnis der Amplitude des Sinusausgangs zur Amplitude des Sinuseingangs. Dies ist gleich dem Absolutwert des Frequenzgangs. Das Phasengang ist die Phase des Ausgangs minus der Phase des Eingangs. Dieser ist äquivalent zu dem Streit des Frequenzgangs (wobei Vielfache von ${Displaystil 2pi }$ zählen nicht für Phasen und Phasendifferenzen).

An einer Eingangssignal die mehrere (Eck-)Frequenzen enthält, kann die Ausgabe nicht als Amplituden- und Phasenänderung beschrieben werden, da der Amplituden- und Phasengang von der (Eck-)Frequenz abhängt. Das Ausgangssignal hat daher eine andere Form.

Beispiel 1

wenn

{displaystyle y(t)au ,y'(t)=x(t)}

und ${Anzeigestil y(t)}$ ist sinusförmig mit komplexer Version

{displaystyle Ye^{iomega t}}

dann ist ${Anzeigestil x(t)}$ die Sinuskurve mit komplexer Version

{displaystyle Xe^{iomega t}=(1 iomega au )Ye^{iomega t}}

Also da ist

{displaystyle X=(1 iomega au )Y}

Dies kann verwendet werden, um als ${Anzeigestil x(t)}$ ist sinusförmig, die Sinuskurve ${Anzeigestil y(t)}$ den finden private Lösung ist von der lineare Differentialgleichung.

Beispiel 2

wenn

{Anzeigestil y''(t) ay'(t) y(t)=x(t)}

und ${Anzeigestil y(t)}$ ist sinusförmig mit komplexer Version

{displaystyle Ye^{iomega t}}

dann ist ${Anzeigestil x(t)}$ die Sinuskurve mit komplexer Version

{displaystyle Xe^{iomega t}=(1 aiomega -omega ^{2})Ye^{iomega t}}

Also da ist

{Displaystil X=(1 aiomega -omega ^{2})Y}

Dies kann verwendet werden, um als ${Anzeigestil x(t)}$ ist sinusförmig, die Sinuskurve ${Anzeigestil y(t)}$ das ist eine spezielle Lösung der linearen Differentialgleichung.

Vor dem ${Anzeigestil a=0}$ und ${displaystyle omega=1}$ Dies bietet jedoch keine Lösung für Ja, denn in diesem Fall gibt es keine sinusförmige Lösung. Eine private Lösung von

{Anzeigestil y''(t) y(t)=cos(t)}

ist

{displaystyle y(t)={ frac {1}{2}}tsin(t)}

Dies entspricht Resonanz bei ungedämpftem harmonischer Oszillator.

Siehe auch

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑Die Bedingung ${Anzeigestil Omega >0}$ ist notwendig, weil für die Kombinationen ${Anzeigestil (a,omega,phi)}$ und ${Anzeigestil (a,-omega,-phi)}$ ${Anzeigestil f(t)}$ wäre gleich, aber ${displaystyle ae^{i(omega t phi)}}$ anders.

[1] Die Bedingung ${Anzeigestil Omega >0}$ ist notwendig, weil für die Kombinationen ${Anzeigestil (a,omega,phi)}$ und ${Anzeigestil (a,-omega,-phi)}$ ${Anzeigestil f(t)}$ wäre gleich, aber ${displaystyle ae^{i(omega t phi)}}$ anders.

[1]

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