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EIN Spline ist eine Funktion, die aus einer Verkettung von Stücken von besteht Polynome. Der höchste Grad der vorkommenden Polynome wird als Spline-Grad bezeichnet. Mit Hilfe von Splines ist es relativ einfach, Kurven beschrieben und bearbeitet werden. Wenn es Polynome ersten Grades gibt, ist a linearer Spline und wird die Kurve näherte sich durch zusammenhängende Geraden.

Der Schiffs- oder Yachtkonstrukteur verwendete früher Streifenlatten ("Splines"), um die Strichzeichnung des Rumpfes abzustreifen. Die Streifenstange wurde mit Gewichten ("Enten") an Ort und Stelle gehalten. Auf der Arbeitsplatz die Strichzeichnung wurde oft lebensgroß gemacht ('Lofting'). Auch hier wurden Streifenleisten verwendet. Durch sehr genaues Arbeiten konnte die Form der „Gangs“ (der Planken, die die Haut des Rumpfes bildeten) mit dem Satz des Pythagoras aus der Fachwerkzeichnung „durchgestrichen“ werden.

Bei der Verwendung von Splines als Kurvenbeschreibung wird häufig gefordert, dass der Spline in den Teilpunkten einen bestimmten Wert annimmt und die Verbindung der Polynomstücke ausreichend glatt ist.

Definition

Ein Spline des Grades ${displaystyle n}$ im Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ ist eine Funktion ${Anzeigestil S}$ auf diesem Intervall, bestehend aus einer Verkettung von ${displaystyle k}$ Polynome ${displaystyle S_{i}}$ definiert auf einem Teilintervall ${Anzeigestil [x_{i-1},x_{i}]}$ von ${Anzeigestil [a,b]}$. So

${displaystyle S(x)={ egin{cases}S_{0}(x)&xin [x_{0},x_{1}]/S_{1}(x)&xin [x_{1},x_{2} ]/vdots &vdots /S_{k-1}(x)&xin [x_{k-1},x_{k}]end{cases}}}$

Für die Teilintervalle gilt:

${displaystyle a=x_{0}$

und ist ${Displaystil S_{i}(x)}$ ein Polynom höchstens Grades ${Anzeigestil n.}$

Die Teilpunkte ${displaystyle x_{i}}$ einbiegen in Knoten erwähnt. Ein Spline ist a kontinuierliche Funktion, weil die Definition erfordert, dass in den Knoten:

${Anzeigestil S_{i-1}(x_{i})=S_{i}(x_{i})}$,

Linearer Spline

Der einfachste Spline ist der Grad ${Anzeigestil n=1}$, eine Folge von geraden Liniensegmenten. Der Spline durch die Punkte ${Anzeigestil (x_{i},y_{i})}$ wird gegeben von:

${displaystyle S_{i}(x)=y_{i} {frac {y_{i 1}-y_{i}}{x_{i 1}-x_{i}}}(x-x_{i})}$

Der Graph dieses Splines wird durch die Punkte erzeugt ${Anzeigestil (x_{i},y_{i})}$ sequentiell verbunden. Daraus ist bereits ersichtlich, dass ein Spline ersten Grades in den Knoten im Allgemeinen nicht differenzierbar ist.

quadratischer Spline

Ein quadratischer Spline bietet mehr Möglichkeiten als ein linearer Spline, also vom Grad ${Anzeigestil n=2.}$ Auf jedem der ${displaystyle k}$ In Teilintervallen ist der Spline ein Polynom zweiten Grades, also mit 3 Koeffizienten. in Summe ${Displaystil 3k}$ Freiheitsgrade. Ein quadratischer Spline erfordert normalerweise, dass sich die Teile in den Knoten glatt verbinden, d. h. die gleiche Ableitung haben. Der Spline ist dann differenzierbar. Das bedeutet für jeden der Endpunkte 1 Vergleich und in den anderen ${Anzeigestil k-1}$ Knoten 3 Gleichungen. Also insgesamt ${Displaystil 3k-1}$ lineare Gleichungen und ${Displaystil 3k}$ Unbekannte. Es verbleibt 1 Freiheitsgrad, mit dem die Ableitung in einem der Endpunkte oder einem anderen Knoten festgelegt werden kann.

Die Bedingungen sind dann:

${displaystyle S_{0}(x_{0})=y_{0}}$

${displaystyle S_{i-1}(x_{i})=S_{i}(x_{i})=y_{i},vierfach i=1,ldots ,k-1}$

${displaystyle S'_{i-1}(x_{i})=S'_{i}(x_{i}),quad i=1,ldots ,k-1}$

${Anzeigestil S_{k-1}(x_{k})=y_{k}}$

Dies wird erfüllt von

${displaystyle S_{i}(x)=y_{i} c_{i}(x-x_{i}) {frac {c_{i 1}-c_{i}}{2(x_{i 1}-x_ {i})}}(x-x_{i})^{2}}$

wobei die Koeffizienten ${displaystyle c_{i}}$ bestimmt durch:

${displaystyle c_{i 1}=-c_{i} 2{frac {y_{i 1}-y_{i}}{x_{i 1}-x_{i}}}}$

Die verschiedenen Facetten eines quadratischen Splines lassen sich leicht aus dem quadratischen Spline mit den Knoten ${Anzeigestil -1.0}$ und ${Anzeigestil 1}$ und in jedem dieser Punkte den Wert 0. Der allgemeine Fall kann daraus abgeleitet werden, indem man neu skaliert und einen Spline ersten Grades hinzufügt. Der einfachste quadratische Spline ist natürlich konstant 0. Die allgemeine Form besteht aus den Polynomen

${Anzeigestil S_{0}(x)=c,x(1x)}$ und ${Anzeigestil S_{1}(x)=c,x(1-x).}$

Der verbleibende Freiheitsgrad besteht in der Wahl der Konstanten ${Anzeigestil c.}$

kubischer Spline

Wieder mehr Möglichkeiten als der quadratische Spline gibt den kubischen oder kubischen Spline (${Anzeigestil n=3}$). Auf jedem der ${displaystyle k}$ In Teilintervallen ist der Spline ein kubisches Polynom, also mit 4 Koeffizienten. in Summe ${Displaystil 4k}$ Freiheitsgrade. Ein kubischer Spline kann erforderlich sein, um die Teile in den Knoten so glatt zu verbinden, dass sowohl der erste als auch der zweite zweite Ableitung in den Zwischenknoten. Der Spline ist dann zweimal differenzierbar. Das bedeutet für jeden der Endpunkte 1 Vergleich und in den anderen ${Anzeigestil k-1}$ Knoten 4 Gleichungen. Also insgesamt ${Displaystil 4k-2}$ lineare Gleichungen und ${Displaystil 4k}$ Unbekannte. Es gibt jetzt 2 Freiheitsgrade, die verwendet werden können, um Ableitungen in einem oder mehreren der Endpunkte oder anderen Knoten zu fixieren.

Die Bedingungen sind jetzt:

${displaystyle S_{0}(x_{0})=y_{0}}$

${displaystyle S_{i-1}(x_{i})=S_{i}(x_{i})=y_{i},vierfach i=1,ldots ,k-1}$

${displaystyle S'_{i-1}(x_{i})=S'_{i}(x_{i}),quad i=1,ldots ,k-1}$

${displaystyle S''_{i-1}(x_{i})=S''_{i}(x_{i}),quad i=1,ldots ,k-1}$

${Anzeigestil S_{k-1}(x_{k})=y_{k}}$

Natürlicher Spline

'Zwei Splines auf denselben Knoten, aber unterschiedliche Tangenten in Start- und Endpunkten

Splines dritten und höheren Grades haben immer noch mindestens 2 Freiheitsgrade. Dadurch ist es möglich, dem Spline zusätzliche (Vor-)Bedingungen aufzuerlegen, zum Beispiel die Tangenten am Start- und Endpunkt.

Wird gefordert, dass die zweite Ableitung in den Endpunkten gleich 0 ist, dann wird der Spline a natürlicher Spline erwähnt.

Beispiel

Punkte

Hier sind die Punkte, zwischen denen wir eine Kurve, einen konstruierten Spline sehen möchten:

Linear

Hier verbinden wir einfach die Punkte. Man sieht schnell, dass es keine Freiheitsgrade gibt, jedes Teil ist fixiert.

quadratisch

Wie oben besprochen, verbleibt ein Freiheitsgrad, der beliebig ausgefüllt werden kann (eine Tangente irgendwo definieren oder die zweite Ableitung Null in einem Endpunkt setzen).

kubisch