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Eine zitternde Masse
Federungssystem.

EIN Vibration oder Schwingung ist ein periodisch wiederholte Umkehr der Bewegungsrichtung. Eine Schwingung wird oft durch die Störung von a . verursacht stabilGleichgewichtssituation.

Ein Beispiel für ein vibrierendes System ist a Masse auf einen Feder die in Gang gesetzt wurde, oder a Pendel in einer Uhr. Auch die Nadel von a Abspielgerät vibriert beim Eintritt in die Nut in a Schallplatte folgt, obwohl diese Schwingung weniger regelmäßig ist als die in den anderen Beispielen. Wie dieses letzte Beispiel zeigt, haben Schwingungen eine starke Beziehung zu Klang. Klang ist eine Schwingung des Himmel.

Zusätzlich zum oben genannten mechanisch Schwingungen es gibt auch Schwingungen elektrischer Natur, wie z. B. der Strom in a Vibrationskreis.

Ebenfalls Licht, dass beide a Golf- wie ein Teilchencharakter kann als Schwingung gesehen werden, aber von elektromagnetisch Natur. Es ist das elektromagnetische Feld, das schwingt.

Harmonische ungedämpfte Schwingung

Die einfachste Vibration ist die harmonisch Vibration ohne Dämpfung. Diese Schwingung tritt in einem System auf, das die Hookes Gesetz.

${Anzeigestil F=ma=-kx}$

Bei welchem ${Anzeigestil x}$ die Abweichung vom Gleichgewichtspunkt ist, ${displaystyle m}$ die Masse, ${Anzeigestil a}$ die Beschleunigung und ${displaystyle k}$ das Federrate. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft der Verschiebung vom Gleichgewichtspunkt entgegengesetzt ist. Aber beide ${Anzeigestil a}$ wenn ${Anzeigestil x}$ seine Funktionen in der Zeit ${displaystyle t}$, So:

${Anzeigestil F=ma(t)=-kx(t)}$

Einzelne harmonische Schwingung

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt nun:

${displaystyle a(t)={frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}} }$

Ersatz von ${Anzeigestil a(t)}$ liefert a Differentialgleichung:

${displaystyle m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-kx(t)}$,

mit der Lösung:

${Anzeigestil x(t)=A,sin(omega t alpha)}$

also benutze die Kettenregel:

${displaystyle v(t)={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=A,omega ,cos(omega t alpha)}$

und wieder:

${displaystyle a(t)={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-A,omega ^{2}sin(omega t alpha)}$

Darin ist ${Anzeigestil A}$ das Amplitude, ${displaystyle alpha }$ das Phase und ${Anzeigestil Omega}$ das Eckfrequenz, für die: ${Anzeigestil Omega=2pi f}$, mit ${displaystyle f}$ das Frequenz. weil ${displaystyle alpha }$ konstant ist, verschwindet dieser Term aus dem Differential.

wenn

${Anzeigestil A}$ ist gegeben in Meter

${Anzeigestil Omega}$ im Radiant pro Sekunde, So ${displaystyle f}$ im Hertz,

und

${displaystyle t}$ im zweite,

ist

${Anzeigestil a}$ ausgedrückt Meter pro Sekunde pro Sekunde oder m/s².

${Anzeigestil v}$ ausgedrückt Meter pro Sekunde.

${Anzeigestil x}$ in Metern ausgedrückt.

Dies zeigt, dass die Form der Geschwindigkeit und der Beschleunigung dem der Verschiebung sehr ähnlich ist und auch die gleiche Frequenz hat. Dies zeigt aber auch, dass die Verschiebung und die Beschleunigung miteinander wechselwirken Gegenphase (d. h. Beschleunigung und Verschiebung sind gleichzeitig maximal, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen), aber Geschwindigkeit und Verschiebung sind um 90 Grad phasenverschoben. Die Geschwindigkeit ist maximal, wenn die Verschiebung null ist.

Dies kann durch die Schwingungsbewegung eines Pendels, beispielsweise einer Schaukel, veranschaulicht werden. Die Schwunggeschwindigkeit ist maximal, wenn der Schwung die Mittelstellung durchläuft (der Ausschlag ist dort Null). Die Geschwindigkeit ist jedoch gleich Null, wenn der Schwung an einem Ende ist (die Auslenkung ist dort maximal). An diesem Punkt kehrt die Geschwindigkeit auch das Vorzeichen um (die Diagramm der Geschwindigkeit geht durch Null). Hinweis: Bei einer einzelnen harmonischen Schwingung ist die Frequenz unabhängig von der Amplitude. Dies ist bei einem Pendel nicht ganz der Fall. Huygens entdeckte, dass die auf ein Pendel wirkende Kraft nicht proportional zu seiner Auslenkung ist. Um dies zu beseitigen, hat Huygens diey Zykloide Bögen in seinen Glocken, wodurch die Pendellänge bei größerer Auslenkung verkürzt wird.

In der folgenden Abbildung sind auf der x-Achse Weg (blaue Linie), Geschwindigkeit (lila Linie) und Beschleunigung (grüne Linie) als Funktion der Zeit aufgetragen. Die Amplitude dieser Schwingung wird auf 1 gesetzt, ebenso die Frequenz ω.

Wäre die Amplitude in diesem Diagramm nicht gleich 1, dann würden die Spitzen der drei Diagramme unterschiedlich hoch sein. Darüber hinaus geht die Vibration bei einem größeren Wert der Frequenz schneller (die Spitzen pro Diagramm liegen näher beieinander).

Beschreibung in der komplexen Ebene

Eine harmonische Auf- und Abbewegung kann als Projektion von a . aufgefasst werden einstimmigKreisbewegung in dem komplexe Ebene. Dies ist eine der Anwendungen der komplexe Zahlen. Diese Idee liegt der Maxwells Gesetze in denen sich periodische elektrische und magnetische Felder zu elektromagnetische Strahlung und liefern damit eine Erklärung für die Eigenschaften von Licht und Radiowellen.

Gedämpfte Schwingungen

Im Modell der ungedämpften Schwingung bleibt sie immer in Bewegung, wenn die Masse einmal aus dem Gleichgewicht geraten ist. Dies ist nicht sehr realistisch, da in den meisten Fällen kinetische Energie durch Reibung verloren geht. Ein realistischeres Modell ist das gedämpfte Schwingungen. Die schwingende Masse erfährt eine Reibungskraft, die sie schließlich zum Stillstand bringt.

Eine einfache Näherung für die Reibung lautet:

${displaystyle F_{w}=-lambda vqquad {ext{(1)}}}$

Das heißt, die Reibungskraft ${displaystyle F_{w}}$ ist direkt proportional zur Geschwindigkeit, aber wegen des Minuszeichens in die entgegengesetzte Richtung. Der Faktor ${ Anzeigestil Lambda }$ wird auch als Reibungskonstante bezeichnet. Kombiniert mit dem Hookeschen Gesetz ergibt dies:

${displaystyle F_{tot}=F_{v} F_{w}=-kx-lambda vqquad { ext{(2)}}}$

Die Substitution wie bei der ungedämpften Schwingung ergibt dann:

${displaystyle F=ma=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-kx-lambda {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d } t}}echter Pfeil }$

${displaystyle m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}} Lambda {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}} kx=0qquad { ext{(3)}}}$

Um dem als konstant zu betrachtenden Faktor Masse nicht in die Quere zu kommen, wird dieser oft geschrieben als:

${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}} 2gamma {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}} Omega _{0} ^{2}x=0qquad {ext{(4)}}}$

Bei welchem ${displaystyle 2gamma =lambda /m}$ und ${displaystyle omega _{0}^{2}=k/m}$, bei welchem ${displaystyle omega_{0}}$ das Eigenfrequenz als Winkelgeschwindigkeit angezeigt. Beide Notationen sind Differentialgleichungen, die mit Hilfe der fairly Produktreihe.

${displaystyle x(t)=A,e^{-gamma t}cos(omega t alpha)qquad {ext{(5)}}}$

So:

${displaystyle v(t)={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=gamma cdot omega cdot Acdot e^{-gamma t}cdot sin(omega t alpha)=qquad {ext{( 6)}}}$

und:

${displaystyle a(t)={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-gamma ^{2}Acdot e^{-gamma t}cdot omega ^ {2}cdot cos(omega t alpha)qquad { ext{(7)}}}$

Aus der Substitution der Gleichungen 5, 6 und 7 in Gleichung 4 folgt:

${displaystyle -gamma ^{2}A,e^{-gamma t}omega ^{2}cos(omega t alpha)-2gamma ^{2}A,e^{-gamma t}omega cdot sin(omega t alpha ) A,e^{-gamma t}cos(omega t alpha)=0qquad { ext{(8)}}}$

oder:

Die gedämpfte Schwingung hat dann die Form:

${Anzeigestil x(t)=A,e^{-gamma t}cos(omega t)}$

Die Geschwindigkeit ${Anzeigestil v}$ wird jetzt gegeben von:

${displaystyle v(t)=-A,e^{-gamma t}(gamma cos(omega t) omega sin(omega t))}$

Die Formel für die Geschwindigkeit besteht aus zwei Termen, einer mit ${Anzeigestil cos(omega t)}$ und einer mit ${Anzeigestil Sünde (Omega t)}$. Dadurch erhält die Drehzahl bei der Verschiebung eine andere Phasendifferenz als bei der ungedämpften Schwingung. Das gleiche gilt für die Beschleunigung.

Die Verschiebung einer gedämpften Schwingung mit relativ geringer Dämpfung sieht in Abhängigkeit von der Zeit wie folgt aus:

Diagramm 1 - Die schwach gedämpfte Schwingung.

Ist die Dämpfung größer, dämpft die Schwingung schneller:

Diagramm 2 - Die stark gedämpfte Schwingung.

Ist der Dämpfungsterm noch größer als in diesen Beispielen und erreicht einen bestimmten Wert, die "kritische Dämpfung", geht die Massenverschiebung schnell auf Null, ohne über Null hinauszuschwingen. Ist der Dämpfungswert noch größer, wird die Schwingung überdämpft.

Diagramm 3 - Die kritisch gedämpfte Schwingung.

Bei (analogen) Messgeräten mit Zeiger wird die Schwingung der Nadel so gedämpft, dass nur noch ein Überschwingen auftritt, danach kommt der Zeiger zum Stillstand. Dies geschieht mit einer Dämpfung von ${displaystyle 1/{sqrt {2}}ungefähr 0{,}7}$ mal die kritische Dämpfung.

Resonanz

sehen Resonanz (Physik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Resonanz (Latein: Resonanz, Nachhall) ist ein physikalisches Phänomen, das bei Schwingungen auftritt. Ein vibrierendes Objekt erzeugt Resonanz in einem anderen Objekt, wenn dieses Objekt mit den Schwingungen stärker zu vibrieren beginnt, als man aufgrund der Anregung erwarten würde (die Schwingung schwingt mit). Dies geschieht, wenn die Frequenz der Schwingung mit den Frequenzen übereinstimmt, die im zweiten Objekt leicht angeregt werden. Resonanz kann bei fast jedem Objekt auftreten. Objekte mit geringer Eigendämpfung, wie zB ein Objekt aus Metall oder Glas, haben eine stärkere Resonanz als ein Objekt mit einer großen Eigendämpfung (zB Holz).