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In dem Topologie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein einheitlicher Raum ein Sammlung mit einer einheitlichen Struktur versehen (Gleichmäßigkeit).

Einheitliche Räume verallgemeinern bestimmte Eigenschaften und Konzepte von metrische Räume die zwar keine topologischen Invarianten sind, aber eng mit topologischen Eigenschaften verwandt sind^[1], beispielsweise Cauchy-Reihen und Ganzheit, einheitliche Kontinuität und gleichmäßige Konvergenz.

Definition^[2]

Sie X eine Sammlung. EIN Gleichmäßigkeit auf X ist ein Filter${displaystyle {mathcal {U}}}$ von Teilmengen der Produktkollektion${displaystyle X imes X}$ mit den Eigenschaften:

(1) Beliebige Teilmenge ${displaystyle Uin {mathcal {U}}}$ beinhaltet die Diagonale ${Anzeigestil Delta ={(x,x)in X imes X|xin X}}$

(2) Für jede Teilmenge ${displaystyle Uin {mathcal {U}},}$ verstanden als Beziehung zwischen X und selbst, gehört auch die umgekehrte Beziehung ${Displaystil U^{-1}}$ bis um ${displaystyle {mathcal {U}}}$

(3) Für jede Teilmenge ${displaystyle Uin {mathcal {U}},}$ verstanden als eine Beziehung zwischen X und selbst, es gibt einen ${displaystyle Vin {mathcal {U}}}$ mit der Eigenschaft, dass die zusammengesetzte Beziehung${Displaystil V^{2}=Vcirc V}$ ist ein Teil von SIE

EIN einheitlicher Raum ist ein geordnetes Paar (X,${displaystyle {mathcal {U}}}$) wahr X ist eine Sammlung und ${displaystyle {mathcal {U}}}$ eine Einheitlichkeit auf X.

Uniformitäten und gleichmäßige Räume wurden zuerst definiert durch André Weil.^[3]

Beispiele^[1]

Für jede Sammlung X bildet es Singleton${displaystyle {XimesX}}$ (der sogenannte 'indiskrete Filter' auf ${displaystyle X imes X}$) eine Einheitlichkeit. Da ein Filter nicht leer sein kann, ist dies die kleinstmögliche Gleichförmigkeit auf einer Menge X.

Für jede nicht leere Sammlung X ist die Menge aller Teile von ${displaystyle X imes X}$ die Diagonale (die Menge aller reflexive Beziehungen auf X) eine Einheitlichkeit. Da jedes Element einer Uniformität die Diagonale umfassen muss, ist dies die größtmögliche Uniformität auf einer Menge X.

Auf der Kollektion ${displaystyle mathbb {R} }$ der reale Nummern existiert die übliche Gleichförmigkeit aus den Kollektionen ${displaystyle Usubset mathbb {R} imes mathbb {R} }$ mit der Eigenschaft, dass es eine positive reelle Zahl gibt r existiert damit ${displaystyle {(x,y)in mathbb {R} imes mathbb {R} ;|x-y|$

Erzeugung, Sockel und Unterbau

EIN Base für eine einheitliche ${displaystyle {mathcal {U}}}$ ist eine Filterbasis für den Filter ${displaystyle {mathcal {U}}}$,^[2] das heißt, eine Unterfamilie ${displaystyle {mathcal {B}}}$ von ${displaystyle {mathcal {U}}}$ damit jedes Element von ${displaystyle {mathcal {U}}}$ mindestens ein Element von ${displaystyle {mathcal {B}}}$ beinhaltet.

EIN Unterbau vor dem ${displaystyle {mathcal {U}}}$ ist eine Unterfamilie ${displaystyle {mathcal {S}}}$ von denen die endliche halbiert bilden eine Grundlage für ${displaystyle {mathcal {U}}}$.^[1] Es wird gesagt, dass die Einheitlichkeit ${displaystyle {mathcal {U}}}$ durch ${displaystyle {mathcal {S}}}$ wird produziert.