WikiDer > Vektorpaket

In dem Differentialgeometrie und der differentielle Topologie, sondern auch in verschiedenen Teilbereichen der Physik, die Vorstellung "Vektor jetzt sofort Angriffspunkt". Beispiele aus der Physik sind: eine auf a . ausgeübte Kraft steifer Körper, die Geschwindigkeit eines Teilchens (oder a Planet in dem Mehrkörperproblem), und der Drehimpuls eines Objekts relativ zu einem gegebenen Zentrum (je nach gewähltem Orientierung, also eigentlich a Pseudovektor).

Der Begriff Vektorbündel gibt eine genaue Definition. Mit jedem Punkt ${displaystyle p}$ von einem (möglicherweise gebogen) Platz ${Anzeigestil M}$ wird ein Vektorraum verbunden, so dass:

• die verschiedenen Vektorräume, die den verschiedenen Punkten entsprechen, untereinander isomorph sein;
• die mit nahegelegenen Punkten von verbundenen Vektorräume ${Anzeigestil M}$ gehen "nach und nach" ineinander über.

Diese letzte Bedingung verdient eine genauere Formulierung. Die folgende Definition beschreibt glatt Vektorbündel. Im letzten Abschnitt listen wir einige Alternativen auf.

Definition

Sie ${Anzeigestil M}$ ein ${displaystyle n}$-dimensional glatt Vielfalt. Ein Bild ${displaystyle pi: E oder M}$ heiß ${displaystyle k}$-dimensionales Vektorbündel über ${Anzeigestil M}$ wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• ${Anzeigestil E}$ trägt die Struktur von a glatte Sorte;
• ${Anzeigestil pi}$ ist ein glattes Bild zwischen den Sorten;
• ${Anzeigestil pi}$ ist ein Surjektion;
• für jeden punkt ${Displaystil-Pin M}$ trägt das umgekehrte Bild ${displaystyle pi ^{-1}(p)Teilmenge E}$ die Struktur von a ${displaystyle k}$-dimensionaler Vektorraum; dieser Vektorraum wird ${displaystyle E_{p}}$ bemerkt und heiß Ballaststoff von ${Anzeigestil E}$ im ${displaystyle p}$; normalerweise sprechen wir von reellen Vektorräumen, wir können möglicherweise explizit von a Real Vektorbündel sprechen;
• klein genug small Umfeld${Displaystil U}$ von jedem Punkt${Displaystil-Pin M}$ ist das Bündel äquivalent zu a kartesisches Produkt:

${displaystyle f:pi ^{-1}(U)simeq U imes mathbb {R} ^{k}}$

bei welchem ${displaystyle f}$ nicht nur a Diffeomorphismus ist, aber auch in jeder einzelnen Faser a Isomorphismus von Vektorräumen und pendelt mit der Projektion ${displaystyle pi_{1}}$ auf der ersten Komponente von ${displaystyle U imes mathbb {R} ^{k}}$:

${Anzeigestil für alle xin pi ^{-1}(U):pi _{1}(f(x))=pi (x)}$

Das Vielfalt${Anzeigestil E}$ ist Teil der Definition. Wenn wir das Bild sehen ${Anzeigestil pi}$ als isoliert betrachtet, wird es manchmal als Projektionsbild des Bündels.

EIN Sektion oder Schnitt des Bündels ist ein Bild ${displaystyle s:Usubset M o E}$ was eine Rechtsinverse für die Projektion bildet:

${Displaystil für alle Pins U:pi (s(p))=p}$.

Abschnitte werden auch genannt Vektorfelder oder, etwas ungenau, Vektoren. Es Angriffspunkt eines solchen Vektors ${Anzeigestil xin E}$ ist der Punkt ${displaystyle pi(x)in M}$. Wenn das Bild ${Anzeigestil s}$ die Kante wird glatt genannt.

Beispiele

Die Definition ist motiviert durch das Beispiel der Tangentenbündel${displaystyle TM}$ zu einer glatten Sorte ${Anzeigestil M}$. wenn Sammlung ist ${displaystyle TM}$ das Verband von allen Berührungsräume${displaystyle T_{p}M}$. Die Fasern sind die Tangentialräume selbst. Die Äquivalenz ${displaystyle f}$ wird unter Verwendung eines lokalen Koordinatensystems (Karte) in der Umgebung ${Displaystil U}$ von einem bestimmten Punkt ${displaystyle p}$:

${displaystyle f:pi ^{-1}(U) o U imes mathbb {R} ^{n}:xin pi ^{-1}(q)mapsto (q,(x^{1},ldots ,x^ {n}))}$

wahr ${displaystyle (x^{1},ldots,x^{n})}$ die Koordinaten sind vom Vektor ${Anzeigestil x}$ relativ zur kanonischen Basis ${displaystyle left{{partial over partial x^{1}},ldots ,{partial over partial x^{n}}ight}}$ des Berührungsraumes.

Andere Beispiele für Bündel sind die Corraking-Bündel (gebildet mit dem duale Vektorräume des Berührungsräume) und verschiedene Tensorbündel (die Fasern basieren auf verschiedenen Typen Tensorprodukte des Tangentialraums und seines Duals).

wenn ${Anzeigestil i}$ ein Eintauchen (oder insbesondere a Einbettung) ist von einer glatten Sorte ${Anzeigestil M}$ in einem Riemann-Sorte${Displaystil N}$, dann existiert die normales Bündel von ${Anzeigestil M}$ aus den Untervektorräumen von ${Displaystil T_{i(p)}N}$ die senkrecht zu stehen ${displaystyle i^{*}(T_{p}M)}$.

Bilder zwischen Vektorbündeln (Morphismen)

Betrachten Sie zwei Vektorbündel ${displaystyle pi: E oder M}$ und ${displaystyle ho :F o N}$. EIN Morphismus zwischen diesen Vektorbündeln ist a glattes Bild${Anzeigestil f: E oder F}$ mit den folgenden zwei Eigenschaften:

• Ballaststoffretention: ${Anzeigestil für alle x,yin E:pi (x)=pi (y)impliziert ho (f(x))=ho (f(y))}$;
• für jedes ${Displaystil-Pin M}$ ist der Teilbild${displaystyle f_{p}:E_{p}=pi ^{-1}(p) o F_{ho (f(pi ^{-1}(p)))}}$ linear.

Das typische Beispiel für a Morphismus von Vektorbündeln ist die Tangentialkarte zu einer glatten Karte zwischen Sorten. Sie ${displaystyle f:M oder N}$ glatt, dann das Bild

${displaystyle F:TM oder TN:xmapsto f_{pi (x)}^{*}(x)}$

ein Morphismus. Wir verweisen auf den Artikel Berührungsraum zur Definition von ${displaystyle f_{p}^{*}}$.

Weitere allgemeine Pakete

Man kann auch Vektorbündel über definieren topologisch Varietäten, d. h. deren Koordinatentransformationen stetig sind, aber nicht unbedingt differenzierbar sein. In diesem Fall ist das Projektionsbild ${displaystyle pi: E oder M}$ auch nur kontinuierlich sein.

Analog kann man algebraische Sorten, definieren algebraische Bündel.

Anstelle von Vektorräumen über dem Körper ${displaystyle mathbb {R} }$ oder über einem allgemeinen kommutativen Feld ${Anzeigestil K}$, kann man die Struktur der Fasern schwächen zu Module über einen Ring${Anzeigestil R}$.

In einem allgemeinen Bündel müssen die Fasern nicht mehr Module oder Vektorräume sein.

EIN Hauptpaket ist ein glattes Bündel, in dem die Fasern die zusätzliche Struktur von a Lügengruppe zu bekommen.