WikiDer > Bernulli polinomlari

Yilda matematika, Bernulli polinomlarinomi bilan nomlangan Jeykob Bernulli, birlashtiring Bernulli raqamlari va binomial koeffitsientlar. Ular funktsiyalarni ketma-ket kengaytirish uchun ishlatiladi va Euler - MacLaurin formulasi.

Ushbu polinomlar ko'pchilikni o'rganishda uchraydi maxsus funktsiyalar va, xususan Riemann zeta funktsiyasi va Hurwitz zeta funktsiyasi. Ular Appell ketma-ketligi (ya'ni a Sheffer ketma-ketligi oddiy uchun lotin operator). Bernulli polinomlari uchun ning kesishgan soni x-axsis birlik oralig'i daraja bilan ko'tarilmaydi. Katta daraja chegarasida, ular mos ravishda o'lchov qilinganida, ga yaqinlashadi sinus va kosinus funktsiyalari.

Bernulli polinomlari

Yaratuvchi funktsiyaga asoslangan shunga o'xshash polinomlar to'plami - oilasi Eyler polinomlari.

Vakolatxonalar

Bernulli polinomlari B_n bilan belgilanishi mumkin ishlab chiqarish funktsiyasi. Shuningdek, ular turli xil vakilliklarni tan olishadi.

Funktsiyalarni yaratish

Bernulli polinomlari uchun generatsion funktsiya quyidagicha

${ displaystyle { frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Eyler polinomlari uchun generatsion funktsiya quyidagicha

${ displaystyle { frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} E_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Aniq formulalar

${ displaystyle B_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n ni tanlang k} B_ {n-k} x ^ {k},}$

${ displaystyle E_ {m} (x) = sum _ {k = 0} ^ {m} {m select k} { frac {E_ {k}} {2 ^ {k}}} left (x - { frac {1} {2}} o'ng) ^ {mk} ,.}$

uchun n ≥ 0, qaerda B_k ular Bernulli raqamlariva E_k ular Eyler raqamlari.

Differentsial operator tomonidan taqdim etish

Bernulli polinomlari ham tomonidan berilgan

${ displaystyle B_ {n} (x) = {D over e ^ {D} -1} x ^ {n}}$

qayerda D. = d/dx nisbatan farqlashdir x va kasr a sifatida kengaytirilgan rasmiy quvvat seriyalari. Bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle int _ {a} ^ {x} B_ {n} (u) ~ du = { frac {B_ {n + 1} (x) -B_ {n + 1} (a)} {n + 1}} ~.}$

qarz quyida integrallar. Xuddi shu asosda Eyler polinomlari quyidagicha berilgan

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.}$

Integral operator tomonidan taqdim etish

Bernulli polinomlari, shuningdek, tomonidan aniqlangan noyob polinomlardir

${ displaystyle int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (u) , du = x ^ {n}.}$

The integral transformatsiya

${ displaystyle (Tf) (x) = int _ {x} ^ {x + 1} f (u) , du}$

polinomlarda f, shunchaki

${ displaystyle { begin {aligned} (Tf) (x) = {e ^ {D} -1 over D} f (x) & {} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { D ^ {n} over (n + 1)!} F (x) & {} = f (x) + {f '(x) over 2} + {f' '(x) 6 dan yuqori } + {f '' '(x) 24} dan yuqori + cdots ~. end {hizalangan}}}$

Bu ishlab chiqarish uchun ishlatilishi mumkin quyida inversiya formulalari.

Yana bir aniq formula

Bernulli polinomlari uchun aniq formula quyidagicha berilgan

${ displaystyle B_ {m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n k} (x + k) ^ {m} ni tanlang.}$

Bu $ uchun ketma-ket ifoda o'xshash Hurwitz zeta funktsiyasi murakkab tekislikda. Darhaqiqat, munosabatlar mavjud

${ displaystyle B_ {n} (x) = - n zeta (1-n, x)}$

qayerda ζ(s, q) bu Hurwitz zeta funktsiyasi. Ikkinchisi Bernulli polinomlarini umumlashtiradi, ning to'liq bo'lmagan qiymatlariga imkon beradin.

Ichki summani quyidagicha tushunish mumkin nth oldinga farq ning x^m; anavi,

${ displaystyle Delta ^ {n} x ^ {m} = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {n k} (x + k) ^ {m} ni tanlang }$

bu erda Δ oldinga farq operatori. Shunday qilib, kimdir yozishi mumkin

${ displaystyle B_ {m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} , Delta ^ {n} x ^ {m}.}$

Ushbu formulani yuqorida ko'rsatilgan identifikatordan olish mumkin. Oldinga farq operatori Δ teng bo'lgani uchun

${ displaystyle Delta = e ^ {D} -1}$

qayerda D. nisbatan farqlashdir x, bizda, dan Merkator seriyasi,

${ displaystyle {D over e ^ {D} -1} = { log ( Delta +1) over Delta} = sum _ {n = 0} ^ { infty} {(- Delta) ^ {n} n + 1} dan ortiq.}$

Bu ishlayotgan ekan mkabi uchinchi darajali polinom x^m, ruxsat berishi mumkin n 0 dan faqat yuqoriga o'tingm.

Bernulli polinomlari uchun integral ko'rsatma Nörlund –Rays integrali, bu ifodadan chekli farq sifatida kelib chiqadi.

Eyler polinomlari uchun aniq formula quyidagicha berilgan

${ displaystyle E_ {m} (x) = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n k} (x + k) ^ {m} ,.} ni tanlang$

Yuqoridagilar shunga o'xshash tarzda amal qiladi

${ displaystyle { frac {2} {e ^ {D} +1}} = { frac {1} {1+ Delta / 2}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { Bigl (} - { frac { Delta} {2}} { Bigr)} ^ {n}.}$

Summasi pkuchlar

Yuqoridagilardan ham foydalanib ajralmas vakillik ning ${ displaystyle x ^ {n}}$ yoki shaxsiyat ${ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1}}$, bizda ... bor

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {x} k ^ {p} = int _ {0} ^ {x + 1} B_ {p} (t) , dt = { frac {B_ { p + 1} (x + 1) -B_ {p + 1}} {p + 1}}}$

(0 ga binoan)⁰ = 1). Qarang Faolxabarning formulasi bu haqida ko'proq ma'lumot olish uchun.

Bernulli va Eyler raqamlari

The Bernulli raqamlari tomonidan berilgan ${ displaystyle textstyle B_ {n} = B_ {n} (0).}$

Ushbu ta'rif beradi ${ displaystyle textstyle zeta (-n) = { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} B_ {n + 1}}$ uchun ${ displaystyle textstyle n = 0,1,2, ldots}$.

Muqobil konventsiya Bernulli raqamlarini quyidagicha belgilaydi ${ displaystyle textstyle B_ {n} = B_ {n} (1).}$

Ikki anjuman faqat uchun farq qiladi ${ displaystyle n = 1}$ beri ${ displaystyle B_ {1} (1) = { tfrac {1} {2}} = - B_ {1} (0)}$.

The Eyler raqamlari tomonidan berilgan ${ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({ tfrac {1} {2}}).}$

Past darajalar uchun aniq ifodalar

Birinchi bir necha Bernulli polinomlari:

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {0} (x) & = 1 [8pt] B_ {1} (x) & = x - { frac {1} {2}} [8pt] B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + { frac {1} {6}} [8pt] B_ {3} (x) & = x ^ {3} - { frac { 3} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {2}} x [8pt] B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - { frac {1} {30}} [8pt] B_ {5} (x) & = x ^ {5} - { frac {5} {2}} x ^ {4} + { frac {5} {3}} x ^ {3} - { frac {1} {6}} x [8pt] B_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + { frac {5} {2}} x ^ {4} - { frac {1} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {42}}. End { tekislangan}}}$

Eulerning birinchi bir nechta polinomlari:

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {0} (x) & = 1 [8pt] E_ {1} (x) & = x - { frac {1} {2}} [8pt] E_ {2} (x) & = x ^ {2} -x [8pt] E_ {3} (x) & = x ^ {3} - { frac {3} {2}} x ^ {2 } + { frac {1} {4}} [8pt] E_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x [8pt] E_ {5} (x) ) & = x ^ {5} - { frac {5} {2}} x ^ {4} + { frac {5} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {2} } [8pt] E_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x. End {aligned}}}$

Maksimal va minimal

Yuqorida n, o'zgaruvchanlik miqdori B_n(x) o'rtasida x = 0 va x = 1 katta bo'ladi. Masalan; misol uchun,

${ displaystyle B_ {16} (x) = x ^ {16} -8x ^ {15} + 20x ^ {14} - { frac {182} {3}} x ^ {12} + { frac {572 } {3}} x ^ {10} -429x ^ {8} + { frac {1820} {3}} x ^ {6} - { frac {1382} {3}} x ^ {4} + 140x ^ {2} - { frac {3617} {510}}}$

bu qiymatning qiymatini ko'rsatadi x = 0 (va da x = 1) -3617/510 ≈ -7.09 ga teng, esa x = 1/2, qiymati 118518239/3342336 ≈ +7.09. D.H.Lemmer^[1] ning maksimal qiymati ekanligini ko'rsatdi B_n(x) 0 dan 1 gacha bo'ysunadi

${ displaystyle M_ {n} <{ frac {2n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

agar bo'lmasa n 2 modul 4 ni tashkil qiladi, bu holda

${ displaystyle M_ {n} = { frac {2 zeta (n) n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

(qayerda ${ displaystyle zeta (x)}$ bo'ladi Riemann zeta funktsiyasi), minimal esa bo'ysunadi

${ displaystyle m_ {n}> { frac {-2n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

agar bo'lmasa n 0 modul 4 ga teng, bu holda

${ displaystyle m_ {n} = { frac {-2 zeta (n) n!} {(2 pi) ^ {n}}}.}$

Ushbu chegaralar haqiqiy maksimal va minimal darajaga juda yaqin, Lehmer ham aniq chegaralarni beradi.

Farqlar va hosilalar

Bernulli va Eyler polinomlari ko'plab munosabatlarga bo'ysunadi kindik hisoblash:

${ displaystyle Delta B_ {n} (x) = B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1},}$

${ displaystyle Delta E_ {n} (x) = E_ {n} (x + 1) -E_ {n} (x) = 2 (x ^ {n} -E_ {n} (x)).}$

(Δ bu oldinga farq operatori). Shuningdek,

${ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.}$

Bular polinom qatorlari bor Appell ketma-ketliklari:

${ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x),}$

${ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).}$

Tarjimalar

${ displaystyle B_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n k} B_ {k} (x) y ^ {n-k}} ni tanlang$

${ displaystyle E_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n k} E_ {k} (x) y ^ {n-k}} ni tanlang$

Ushbu identifikatorlar, shuningdek, ushbu polinom ketma-ketliklari deyishga tengdir Appell ketma-ketliklari. (Hermit polinomlari yana bir misol.)

Nosimmetrikliklar

${ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x), quad n geq 0,}$

${ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}$

${ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}$

${ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}$

${ displaystyle B_ {n} chap ({ frac {1} {2}} o'ng) = chap ({ frac {1} {2 ^ {n-1}}} - 1 o'ng) B_ { n}, quad n geq 0 { text {quyidagi ko'paytirish teoremalaridan.}}}$

Zhi-Vey Sun va Xao Pan ^[2] quyidagi hayratlanarli simmetriya munosabatini o'rnatdi: Agar r + s + t = n va x + y + z = 1, keyin

${ displaystyle r [s, t; x, y] _ {n} + s [t, r; y, z] _ {n} + t [r, s; z, x] _ {n} = 0, }$

qayerda

${ displaystyle [s, t; x, y] _ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {s select k} {t select {nk} } B_ {nk} (x) B_ {k} (y).}$

Fourier seriyasi

The Fourier seriyasi Bernulli polinomlarining ham a Dirichlet seriyasi, kengayish bilan berilgan

${ displaystyle B_ {n} (x) = - { frac {n!} {(2 pi i) ^ {n}}} sum _ {k not = 0} { frac {e ^ {2 pi ikx}} {k ^ {n}}} = - 2n! sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos left (2k pi x - { frac {n ) pi} {2}} o'ng)} {(2k pi) ^ {n}}}.}$

Oddiy kattalikka e'tibor bering n mos miqyosli trigonometrik funktsiyalar uchun cheklash.

Bu shunga o'xshash shakldagi maxsus holat Hurwitz zeta funktsiyasi

${ displaystyle B_ {n} (x) = - Gamma (n + 1) sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { exp (2 pi ikx) + e ^ {i pi n} exp (2 pi ik (1-x))} {(2 pi ik) ^ {n}}}.}$

Ushbu kengayish faqat 0 for uchun amal qiladix When 1 qachon n ≥ 2 va 0 x <1 qachon n = 1.

Eyler polinomlarining Furye qatori ham hisoblanishi mumkin. Vazifalarni aniqlash

${ displaystyle C _ { nu} (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { cos ((2k + 1) pi x)} {(2k + 1) ^ { nu}}}}$

va

${ displaystyle S _ { nu} (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin ((2k + 1) pi x)} {(2k + 1) ^ { nu}}}}$

uchun ${ displaystyle nu> 1}$, Eyler polinomida Furye qatori mavjud

${ displaystyle C_ {2n} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n-1)!}} pi ^ {2n} E_ {2n-1} (x)}$

va

${ displaystyle S_ {2n + 1} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n)!}} pi ^ {2n + 1} E_ {2n} (x). }$

E'tibor bering ${ displaystyle C _ { nu}}$ va ${ displaystyle S _ { nu}}$ navbati bilan toq va juft:

${ displaystyle C _ { nu} (x) = - C _ { nu} (1-x)}$

va

${ displaystyle S _ { nu} (x) = S _ { nu} (1-x).}$

Ular bilan bog'liq Legendre chi funktsiyasi ${ displaystyle chi _ { nu}}$ kabi

${ displaystyle C _ { nu} (x) = operator nomi {Re} chi _ { nu} (e ^ {ix})}$

va

${ displaystyle S _ { nu} (x) = operator nomi {Im} chi _ { nu} (e ^ {ix}).}$

Inversiya

Bernulli va Eyler polinomlari ifodalanishi uchun teskari yo'naltirilgan bo'lishi mumkin monomial polinomlar nuqtai nazaridan.

Xususan, yuqoridagi qismdan aniq integral operatorlar, bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle x ^ {n} = { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 k} B_ {k} (x)} ni tanlang$

va

${ displaystyle x ^ {n} = E_ {n} (x) + { frac {1} {2}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} {n k} E_ {k ni tanlang } (x).}$

Faktorial tushish bilan bog'liqlik

Bernulli polinomlari atamalari bo'yicha kengaytirilishi mumkin tushayotgan faktorial ${ displaystyle (x) _ {k}}$ kabi

${ displaystyle B_ {n + 1} (x) = B_ {n + 1} + sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {n + 1} {k + 1}} left { { begin {matrix} n k end {matrix}} right } (x) _ {k + 1}}$

qayerda ${ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}$ va

${ displaystyle left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right } = S (n, k)}$

belgisini bildiradi Ikkinchi turdagi stirling raqami. Bernulli polinomlari nuqtai nazaridan tushayotgan faktorialni ifodalash uchun yuqoridagilar teskari bo'lishi mumkin:

${ displaystyle (x) _ {n + 1} = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {n + 1} {k + 1}} chap [{ begin {matrix} n k end {matrix}} o'ng] chap (B_ {k + 1} (x) -B_ {k + 1} o'ng)}$

qayerda

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n k end {matrix}} right] = s (n, k)}$

belgisini bildiradi Birinchi turdagi stirling raqami.

Ko'paytirish teoremalari

The ko'paytirish teoremalari tomonidan berilgan Jozef Lyudvig Raabe 1851 yilda:

Tabiiy raqam uchun m≥1,

${ displaystyle B_ {n} (mx) = m ^ {n-1} sum _ {k = 0} ^ {m-1} B_ {n} chap (x + { frac {k} {m}} o'ng)}$

${ displaystyle E_ {n} (mx) = m ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k} E_ {n} chap (x + { frac { k} {m}} o'ng) quad { mbox {uchun}} m = 1,3, nuqta}$

${ displaystyle E_ {n} (mx) = { frac {-2} {n + 1}} m ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k } B_ {n + 1} chap (x + { frac {k} {m}} o'ng) quad { mbox {for}} m = 2,4, nuqta}$

Integrallar

Bernulli va Eyler polinomlarini Bernulli va Eyler sonlariga taalluqli ikkita aniq integral:^{[iqtibos kerak]}

• ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} B_ {n} (t) B_ {m} (t) , dt = (- 1) ^ {n-1} { frac {m! n!} {(m + n)!}} B_ {n + m} quad { text {for}} m, n geq 1}$
• ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} E_ {n} (t) E_ {m} (t) , dt = (- 1) ^ {n} 4 (2 ^ {m + n + 2}) -1) { frac {m! N!} {(M + n + 2)!}} B_ {n + m + 2}}$

Bernulli davriy polinomlari

A davriy Bernulli polinom P_n(x) da baholangan Bernulli polinomidir kasr qismi argument x. Ushbu funktsiyalar quyidagilarni ta'minlash uchun ishlatiladi qolgan muddat ichida Eyler - Maklaurin formulasi yig'indilarni integrallarga bog'lash. Birinchi polinom a arra tishining funktsiyasi.

Ushbu funktsiyalar umuman polinomlar emas va ularni Bernulli davriy funktsiyalari deb atash kerak va P₀(x) arra tishining hosilasi bo'lgan va hatto a funktsiya ham emas Dirak tarağı.

Quyidagi xususiyatlar qiziqish uyg'otadi, barchasi uchun amal qiladi ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle { begin {aligned} va P_ {k} (x) { text {hamma uchun uzluksiz}} k> 1 [5pt] & P_ {k} '(x) { text {mavjud va uzluksiz uchun}} k> 2 [5pt] & P '_ {k} (x) = kP_ {k-1} (x), k> 2 end {hizalanmış}}}$

Shuningdek qarang

• Bernulli raqamlari
• Bernulli ikkinchi turdagi polinomlar
• Stirling polinom

Adabiyotlar

• Milton Abramovits va Irene A. Stegun, nashrlar. Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan, (1972) Dover, Nyu-York. (Qarang 23-bob)
• Apostol, Tom M. (1976), Analitik sonlar nazariyasiga kirish, Matematikadagi bakalavr matnlari, Nyu-York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, JANOB 0434929, Zbl 0335.10001 (12.11-bobga qarang)
• Dilcher, K. (2010), "Bernulli va Eyler polinomlari", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-19225-5, JANOB 2723248
• Tsviyovich, Djurdje; Klinovski, Yatsek (1995). "Ratsional argumentlarda Bernulli va Eyler polinomlari uchun yangi formulalar". Amerika matematik jamiyati materiallari. 123: 1527–1535. doi:10.2307/2161144.
• Gilyera, Iso; Sondow, Jonathan (2008). "Lerxning transandantentining analitik davomi orqali ba'zi klassik konstantalar uchun ikki tomonlama integrallar va cheksiz mahsulotlar". Ramanujan jurnali. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT / 0506319. doi:10.1007 / s11139-007-9102-0. (Hurwitz zeta funktsiyasi va Lerch transsendentiga munosabatlarni ko'rib chiqing.)
• Xyu L. Montgomeri; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativ sonlar nazariyasi I. Klassik nazariya. Ilg'or matematikada Kembrij traktlari. 97. Kembrij: Kembrij universiteti. Matbuot. 495-519 betlar. ISBN 0-521-84903-9.

Tashqi havolalar

• Bernulli polinomlari ishtirok etgan integral identifikatorlar ro'yxati dan NIST