WikiDer > Bochners teoremasi - Vikipediya

Yilda matematika, Bochner teoremasi (uchun nomlangan Salomon Bochner) xarakterlaydi Furye konvertatsiyasi ijobiy cheklangan Borel o'lchovi haqiqiy chiziqda. Umuman olganda harmonik tahlil, Bochner teoremasi Fourier ostida doimiylikni o'zgartiradi deb ta'kidlaydi ijobiy-aniq funktsiya a mahalliy ixcham abeliy guruhi bo'yicha cheklangan ijobiy o'lchovga to'g'ri keladi Pontryagin qo'shaloq guruhi.

Mahalliy ixcham abeliya guruhlari uchun teorema

Mahalliy ixcham abeliya guruhi uchun Bochner teoremasi G, ikkilamchi guruh bilan ${ displaystyle { widehat {G}}}$, quyidagilarni aytadi:

Teorema Har qanday normallashtirilgan doimiy musbat aniq funktsiya uchun f kuni G (bu erda normalizatsiya buni anglatadi f ning birligida 1 ga teng G), noyob mavjud ehtimollik o'lchovi m kuni ${ displaystyle { widehat {G}}}$ shu kabi

${ displaystyle f (g) = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi),}$

ya'ni f bo'ladi Furye konvertatsiyasi noyob ehtimollik o'lchovining m kuni ${ displaystyle { widehat {G}}}$. Aksincha, ehtimollik o'lchovining Furye konvertatsiyasi ${ displaystyle { widehat {G}}}$ shartli ravishda normallashtirilgan doimiy ijobiy-aniq funktsiya f kuni G. Bu aslida birma-bir yozishmalar.

The Gelfand-Furye konvertatsiyasi bu izomorfizm guruh o'rtasida C * - algebra C * (G) va C₀(Ĝ). Teorema asosan uchun ikki tomonlama bayonotdir davlatlar ikkita abeliya C * -algebralaridan iborat.

Teoremaning isboti vektor holatlari orqali o'tadi kuchli uzluksiz unitar vakolatxonalar ning G (aslida dalil shuni ko'rsatadiki, har bir normallashtirilgan doimiy ijobiy-aniq funktsiya ushbu shaklda bo'lishi kerak).

Normallashtirilgan uzluksiz musbat-aniq funktsiya berilgan f kuni G, ning kuchli uzluksiz unitar vakolatxonasini qurish mumkin G tabiiy yo'l bilan: Let F₀(G) bo'yicha kompleks qiymatli funktsiyalar oilasi bo'lish G cheklangan qo'llab-quvvatlash bilan, ya'ni. h(g) Cheklangan ko'pchilik uchun = 0 g. Ijobiy aniq yadro K(g₁, g₂) = f(g₁ − g₂) (ehtimol degeneratsiya) keltirib chiqaradi ichki mahsulot kuni F₀(G). Degeneratsiyani to'xtatish va tugatish Xilbertga bo'sh joy beradi

${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle cdot, cdot rangle _ {f}),}$

uning odatiy elementi ekvivalentlik sinfi [h]. Ruxsat etilgan uchun g yilda G, "smena operatori" U_g bilan belgilanadi (U_g)(h) (g ') = h(g' − g), vakili uchun [h], unitar hisoblanadi. Shunday qilib xarita

${ displaystyle g mapsto U_ {g}}$

ning unitar vakolatxonalari G kuni ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle cdot, cdot rangle _ {f})}$. Uzluksizligi bo'yicha f, u zaif uzluksiz, shuning uchun kuchli uzluksiz. Qurilish orqali bizda mavjud

${ displaystyle langle U_ {g} [e], [e] rangle _ {f} = f (g),}$

qayerda [e] funktsiya klassi - bu identifikator bo'yicha 1 ga teng G va boshqa joylarda nol. Ammo Gelfand-Furye izomorfizmi bo'yicha vektor holati ${ displaystyle langle cdot [e], [e] rangle _ {f}}$ C * da (G) bo'ladi orqaga tortish davlatning ${ displaystyle C_ {0} ({ widehat {G}})}$, ehtimol bu ehtimollik o'lchoviga qarshi integratsiya m. Izomorfizmlarni ta'qib qilish keyinchalik beradi

${ displaystyle langle U_ {g} [e], [e] rangle _ {f} = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi).}$

Boshqa tomondan, ehtimollik o'lchovi berilgan m kuni ${ displaystyle { widehat {G}}}$, funktsiyasi

${ displaystyle f (g) = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi)}$

normallashtirilgan doimiy musbat-aniq funktsiya. Davomiyligi f dan kelib chiqadi ustunlik qiluvchi konvergentsiya teoremasi. Ijobiy aniqlik uchun no-ni taqdim eting ${ displaystyle C_ {0} ({ widehat {G}})}$. Bu uning vakolatxonasiga xosdir multiplikator algebra ${ displaystyle C_ {b} ({ widehat {G}})}$ va shuning uchun kuchli uzluksiz unitar vakillik U_g. Yuqorida aytilganidek f ba'zi bir vektor holatida berilgan U_g

${ displaystyle f (g) = langle U_ {g} v, v rangle,}$

shuning uchun ijobiy-aniq.

Ikki konstruktsiya o'zaro teskari.

Maxsus holatlar

Bochner teoremasi alohida guruh Z ko'pincha deb nomlanadi Gerglotzteorema (qarang. qarang Gerglotz vakillik teoremasi) va funktsiya ekanligini aytadi f kuni Z bilan f(0) = 1, agar ehtimollik o'lchovi mavjud bo'lsa, faqat ijobiy-aniq bo'ladi m doira bo'yicha T shu kabi

${ displaystyle f (k) = int _ { mathbb {T}} e ^ {- 2 pi ikx} , d mu (x).}$

Xuddi shunday, doimiy funktsiya f kuni R bilan f(0) = 1 ehtimollik o'lchovi mavjud bo'lgan taqdirda ijobiy aniq bo'ladi m kuni R shu kabi

${ displaystyle f (t) = int _ { mathbb {R}} e ^ {- 2 pi i xi t} , d mu ( xi).}$

Ilovalar

Yilda statistika, Bochner teoremasidan ketma-ket korrelyatsiya ning ma'lum bir turi vaqt qatorlari. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ${ displaystyle {f_ {n} }}$ o'rtacha 0 - bu (keng ma'noda) statsionar vaqt qatorlari agar kovaryans

${ displaystyle operator nomi {Cov} (f_ {n}, f_ {m})}$

faqat bog'liq n − m. Funktsiya

${ displaystyle g (n-m) = operatorname {Cov} (f_ {n}, f_ {m})}$

deyiladi avtokovariantlik funktsiyasi vaqt seriyasining. O'rtacha nol taxmin bilan,

${ displaystyle g (n-m) = langle f_ {n}, f_ {m} rangle,}$

bu erda ⟨⋅, ⋅⟩ ichki mahsulotni bildiradi Hilbert maydoni cheklangan ikkinchi lahzali tasodifiy o'zgaruvchilar. Bu darhol g ℤ tamsayılaridagi musbat aniq funktsiya. Bochner teoremasi bo'yicha noyob ijobiy o'lchov mavjud m [0, 1] da shunday

${ displaystyle g (k) = int e ^ {- 2 pi ikx} , d mu (x).}$

Ushbu chora m deyiladi spektral o'lchov vaqt seriyasining. Unda serialning "mavsumiy tendentsiyalari" haqida ma'lumot beriladi.

Masalan, ruxsat bering z bo'lish m-birlik ildizi (joriy identifikatsiya bilan bu 1 /m ∈ [0, 1]) va f o'rtacha 0 va dispersiyaning tasodifiy o'zgaruvchisi bo'ling 1. Vaqt qatorlarini ko'rib chiqing ${ displaystyle {z ^ {n} f }}$. Avtokovariantlik funktsiyasi

${ displaystyle g (k) = z ^ {k}.}$

Ko'rinib turibdiki, mos keladigan spektral o'lchov bu Dirak nuqtasi massasi markazida z. Bu vaqt seriyasining har birini takrorlashi bilan bog'liq m davrlar.

Qachon g etarlicha tez yemirilish, o'lchovga ega m bu mutlaqo uzluksiz Lebesgue o'lchoviga nisbatan va uning Radon-Nikodim lotin f deyiladi spektral zichlik vaqt seriyasining. Qachon g yotadi ℓ¹(ℤ), f ning Fourier konvertatsiyasi g.

Shuningdek qarang

• Guruh bo'yicha ijobiy-aniq funktsiya
• Xarakteristik funktsiya (ehtimollar nazariyasi)

Adabiyotlar

• Loomis, L. H. (1953), Abstrakt harmonik tahlilga kirish, Van Nostran
• M. Rid va Barri Simon, Zamonaviy matematik fizika metodikasi, vol. II, Academic Press, 1975 y.
• Rudin, V. (1990), Guruhlar bo'yicha Furye tahlili, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-X