WikiDer > Konfokal konusning bo'limlari - Vikipediya

Konfokal parabolalarning qalami

Parabolalar faqat bitta fokusga ega. Parabola konfokal ellips (giperbolalar) qalamining chegaraviy egri chizig'i deb qaralishi mumkin, bu erda bitta fokus sobit tursa, ikkinchisi cheksizlikka ko'chiriladi. Agar konfokal ellips va giperbolalar tarmog'i uchun ushbu konvertatsiya amalga oshirilsa, u holda konfokal parabolalardan ikkita qalamdan iborat to'r olinadi.

Tenglama ${ displaystyle y ^ {2} = 2p (x + p / 2) = 2px + p ^ {2}}$ tasvirlaydi a parabola kelib chiqishi bilan fokus va x- simmetriya o'qi sifatida eksa. Parabolalarning ikkita qalamini ko'rib chiqamiz:

• ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2} , quad p> 0 ,}$ ga ochiladigan parabolalardir to'g'ri va

${ displaystyle y ^ {2} = - 2qx + q ^ {2} , quad q> 0 ,}$ ga ochiladigan parabolalardir chap

diqqat bilan ${ displaystyle F = (0,0)}$ birlgalikda.

Dan parabola ta'rifi bitta oladi

• o'ngda (chapda) ochilgan parabolalarning umumiy nuqtalari yo'q.

Hisob-kitoblarga ko'ra,

• har qanday parabola ${ displaystyle y ^ {2} = 2px + p ^ {2}}$ o'ng tomonga ochilish har qanday parabolani kesib o'tadi ${ displaystyle y ^ {2} = - 2qx + q ^ {2}}$ chapga ortogonal ravishda ochish (diagramaga qarang). Kesishish nuqtalari ${ displaystyle ({ tfrac {q-p} {2}}, pm { sqrt {pq}}) }$.

(${ displaystyle { vec {n}} _ {1} = chap (p, mp { sqrt {pq}} o'ng) ^ {T}, { vec {n}} _ {2} = chap (q, pm { sqrt {pq}} o'ng) ^ {T})}$ bor normal kesishish nuqtalaridagi vektorlar. Ularning skalar mahsuloti bu ${ displaystyle 0}$.)

Konfokal ellips va giperbolalarga o'xshash, tekislikni parabolalarning ortogonal tarmog'i bilan qoplash mumkin.

Konfokal parabolalar tarmog'ini koordinata o'qlariga parallel va chiziqning o'ng yarmida joylashgan chiziqlar tarmog'ining tasviri deb hisoblash mumkin. murakkab tekislik tomonidan konformal xarita ${ displaystyle w = z ^ {2}}$ (tashqi havolalarga qarang).

Graves teoremasi: konfokal ellipslarni ip bilan qurish

konfokal ellipslarni qurish

1850 yilda Irlandiyalik Limerik episkopi Charlz Graves Ip yordamida konfokal ellipslarni qurish uchun quyidagi usul isbotlangan va nashr etilgan:^[1]

• Agar kimdir berilgan ellipsning atrofidan uzunroq bo'lgan yopiq ip bilan E atrofini o'rab tursa va shunga o'xshash egri chiziq chizsa. bog'bonning qurilishi Ellips (diagramaga qarang), keyin ellips bo'ladi, ya'ni E ga qarama-qarshi.

Ushbu teoremaning isboti foydalanadi elliptik integrallar va Kleinning kitobida mavjud.Otto Staud ushbu usulni konfokal ellipsoidlar qurilishiga qadar kengaytirdi (Klaynning kitobiga qarang).

Agar ellips E chiziq segmentiga qulab tushsa ${ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$, ning biroz o'zgarishi bo'ladi bog'bon usuli fokusli ellipsni chizish ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$.

Konfokal kvadrikalar

Konfokal kvadrikalar:
${ displaystyle a = 1, ; b = 0.8, ; c = 0.6, }$
${ displaystyle lambda _ {1} = 0.1}$ (qizil),${ displaystyle lambda _ {2} = 0.5}$ (ko'k), ${ displaystyle lambda _ {3} = 0.8}$ (siyohrang)

Bog'liq turlari ${ displaystyle lambda}$

Ta'rif

Konfokal kvadrikalar g'oyasi konfokal konus kesimlari kontseptsiyasining rasmiy kengaytmasi kvadrikalar 3 o'lchovli kosmosda ^[2]

Uchta haqiqiy raqamni aniqlang ${ displaystyle a, b, c}$ bilan ${ displaystyle a> b> c> 0}$.Tenglama

• ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} = 1}$ tasvirlaydi

an ellipsoid agar ${ displaystyle lambda$ ,

a giperboloid bitta varaqdan agar ${ displaystyle c ^ {2} < lambda$ (diagrammada: ko'k),

a ikki varaqning giperboloidi agar ${ displaystyle b ^ {2} < lambda$ .

Uchun ${ displaystyle a ^ {2} < lambda}$ echimlar yo'q.

(Shu nuqtai nazardan parametr ${ displaystyle c}$ bu emas ellipsning chiziqli ekssentrikligi!)

Fokus egri chiziqlari

Fokal konuslar (ellips, giperbola, qora)

${ displaystyle c ^ {2} = 0.36, b ^ {2} = 0.64, quad}$ yuqori: ${ displaystyle lambda =}$
${ displaystyle 0.3575}$ (ellipsoid, qizil), ${ displaystyle 0.3625}$ (1s giperb., Ko'k),
${ displaystyle 0.638}$ (1s giperb., Ko'k), ${ displaystyle 0.642}$ (2s giperb., Binafsha rang)
pastki: Turlar orasidagi sirtlarni chegaralash

Sirtlarni cheklash ${ displaystyle lambda dan c ^ {2}} gacha$:

Ellipsoidlarni tomonidan o'zgarishi ortib bormoqda parametr ${ displaystyle lambda}$ shunday qilib u qiymatga yaqinlashadi ${ displaystyle c ^ {2}}$ pastdan bittasi cheksiz yassi ellipsoidni oladi. Aniqrog'i: ellipsdan iborat x-y tekisligining maydoni ${ displaystyle E}$ tenglama bilan ${ displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2} }} = 1}$ va uning ikki barobar yopilgan ichki makon (diagrammada: pastda, chapda, qizil).

1 varaqli giperboloidlarni tomonidan o'zgarishi kamayish parametr ${ displaystyle lambda}$ shunday qilib u qiymatga yaqinlashadi ${ displaystyle c ^ {2}}$ yuqoridan cheksiz tekis giperboloid paydo bo'ladi. Aniqroq: bir xil ellipsdan iborat bo'lgan x-y tekisligining maydoni ${ displaystyle E}$ va uning ikki barobar yopilgan tashqi (diagrammada: pastki, chap tomonda, ko'k).
Bu shuni anglatadiki: Ikki chegara sirtlari ellips nuqtalariga ega

${ displaystyle E: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ { 2}}} = 1}$

birlgalikda.

Sirtlarni cheklash ${ displaystyle lambda dan b ^ {2}} ga$:

Joylashuvda o'xshash fikrlar ${ displaystyle lambda = b ^ {2}}$ hosil:

Ikkita chegara sirtlari (diagrammada: pastki, o'ng, ko'k va binafsha rang) holatida ${ displaystyle b ^ {2}}$ giperbolaga ega

${ displaystyle H: { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -b ^ {2}}} - { frac {z ^ {2}} {b ^ {2} -c ^ {2}}} = 1}$

birlgalikda.

Fokus egri chiziqlari:

Ellips fokuslari giperbolaning tepalari va aksincha ekanligini osonlik bilan tekshiradi. Bu degani: Ellips ${ displaystyle E}$ va giperbola ${ displaystyle H}$ juftligi fokal koniklar.

Teskari: chunki konfokal kvadrikalar qalamining har qanday kvadriki bilan belgilanadi ${ displaystyle a, b, c}$ pin-va-string usuli bilan qurilishi mumkin (qarang ellipsoid) fokal koniklar ${ displaystyle E, H}$ cheksiz ko'p fokuslar rolini o'ynaydi va chaqiriladi fokusli egri chiziqlar konfokal kvadrikalar qalamidan.^[3][4][5]

Uch tomonlama ortogonal tizim

Konfokal ellips / giperbolalar holatiga o'xshash narsa quyidagilardan iborat:

• Har qanday nuqta ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) in mathbb {R} ^ {3}}$ bilan ${ displaystyle x_ {0} neq 0, ; y_ {0} neq 0, ; z_ {0} neq 0}$ yotadi to'liq bitta sirt konfokal kvadrikalarning uch turidan biri.

Bir nuqta orqali uchta kvadratik ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ u erda kesib o'tadi ortogonal ravishda (tashqi havolani ko'ring).

Funktsiya uchun namuna ${ displaystyle f ( lambda)}$

Isbot ning mavjudlik va o'ziga xoslik nuqta orqali uchta kvadratikadan:
Bir nuqta uchun ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ bilan ${ displaystyle x_ {0} neq 0, y_ {0} neq 0, z_ {0} neq 0}$ bo'lsin${ displaystyle f ( lambda) = { frac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z_ {0} ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}} - 1}$.Ushbu funktsiya uchta vertikalga ega asimptotlar ${ displaystyle c ^ {2}$ va har qanday ochiq oraliqda ${ displaystyle (- infty, c ^ {2}), ; (c ^ {2}, b ^ {2}), ; (b ^ {2}, a ^ {2}), ; ( a ^ {2}, infty)}$ a davomiy va monoton ko'paymoqda funktsiya. Vertikal asimptotlar yonidagi funktsiya xatti-harakatlaridan va ${ displaystyle lambda dan pm infty}$ topadi (diagramaga qarang):
Funktsiya ${ displaystyle f}$ to'liq 3 nolga ega ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}}$ bilan ${ displaystyle { color {red}} lambda _ {1}}$

Isbot ning ortogonallik yuzalar:
Funksiyalarning qalamlaridan foydalanish${ displaystyle F _ { lambda} (x, y, z) = { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - lambda}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - lambda}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2} - lambda}}}$parametr bilan ${ displaystyle lambda}$ konfokal kvadrikalar tomonidan tavsiflanishi mumkin ${ displaystyle F _ { lambda} (x, y, z) = 1}$. Bilan kesishgan har qanday ikkita kvadrika uchun ${ displaystyle F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) = 1, ; F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = 1}$ biri umumiy nuqtada bo'ladi ${ displaystyle (x, y, z)}$

${ displaystyle 0 = F _ { lambda _ {i}} (x, y, z) -F _ { lambda _ {k}} (x, y, z) = dotsb}$

${ displaystyle = ( lambda _ {i} - lambda _ {k}) chap ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) (c ^ {2} - lambda _ {k})}} o'ng .}$

Ushbu tenglamadan umumiy nuqtada gradyanlarning skalar ko'paytmasi olinadi

${ displaystyle operator nomi {grad} F _ { lambda _ {i}} cdot operator nomi {grad} F _ { lambda _ {k}} = 4 ; chap ({ frac {x ^ {2}} {(a ^ {2} - lambda _ {i}) (a ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {y ^ {2}} {(b ^ {2} - lambda _ {i}) (b ^ {2} - lambda _ {k})}} + { frac {z ^ {2}} {(c ^ {2} - lambda _ {i}) ( c ^ {2} - lambda _ {k})}} o'ng) = 0 ,}$

bu ortogonallikni isbotlaydi.

Konfokal giperboloidlar bilan kesishish egri chiziqlari kabi egrilik chiziqlari bo'lgan ellipsoid
${ displaystyle a = 1, ; b = 0.8, ; c = 0.6}$

Ilovalar:
Sababli Dupin teoremasi sirtlarning uch qavatli ortogonal tizimlarida quyidagi so'zlar to'g'ri keladi:

• Istalgan ikkita konfokal kvadrikaning kesishish egri chizig'i a egrilik chizig'i.
• Shunga o'xshash ravishda planarga elliptik koordinatalar bor ellipsoid koordinatalari.

Yilda fizika konfokal ellipsoidlar ekvivalent potentsial sirt sifatida paydo bo'ladi:

• The ekvipotensial yuzalar zaryadlangan ellipsoid uning konfokal ellipsoidlari.^[6]

Fil suyagi teoremasi

Fil suyagi teoremasi

Fil suyagi teoremasi, Shotlandiyalik matematik va astronom nomi bilan atalgan Jeyms Fil suyagi (1765–1842), haqidagi bayonot diagonallar a to'r to'rtburchak, ortogonal egri chiziqlar yordamida hosil qilingan to'rtburchak:

• Ikkita konfokal ellips va bir xil fokusli ikkita konfokal giperboladan hosil bo'lgan har qanday to'r to'rtburchaklar uchun diagonallar teng uzunlikka ega (diagramaga qarang).

Ellips va konfokal giperbolaning kesishish nuqtalari:
Ruxsat bering ${ displaystyle E (a)}$ fokuslar bilan ellips bo'ling ${ displaystyle F_ {1} = (c, 0), ; F_ {2} = (- c, 0)}$ va tenglama

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad a> c> 0 }$

va ${ displaystyle H (u)}$ tenglama bilan konfokal giperbola

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {u ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {u ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 , quad c> u .}$

Hisoblash kesishish nuqtalari ning ${ displaystyle E (a)}$ va ${ displaystyle H (u)}$ bittasi to'rt ochkoni oladi:

• ${ displaystyle left ( pm { frac {au} {c}}, ; pm { frac { sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) (c ^ {2} - u ^ {2})}} {c}} o'ng)}$

To'r to'rtburchakning diagonallari:
Hisoblashni sodda qilish uchun, shunday deb taxmin qilinadi

1. ${ displaystyle c = 1}$, bu hech qanday muhim cheklov emas, chunki har qanday boshqa konfokal to'rni bir xil miqyosda olish mumkin.
2. Mumkin bo'lgan alternativlardan ${ displaystyle pm}$ (yuqoridagi kesishish nuqtalariga qarang)) faqat ${ displaystyle +}$ ishlatilgan. Oxir-oqibat, har qanday boshqa belgilar kombinatsiyasi xuddi shu natijani beradi, deb osonlikcha o'ylaydi.

Bo'lsin ${ displaystyle E (a_ {1}), E (a_ {2})}$ ikkita qarama-qarshi ellips va ${ displaystyle H (u_ {1}), H (u_ {2})}$ bir xil fokusli ikkita konfokal giperbola. Nuqtalardan tashkil topgan to'r to'rtburchakning to'rtta nuqtasining diagonallari

${ displaystyle P_ {11} = chap (a_ {1} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) }} o'ng) , quad P_ {22} = chap (a_ {2} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2) } ^ {2})}} o'ng) ,}$

${ displaystyle P_ {12} = chap (a_ {1} u_ {2}, ; { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2}) }} o'ng) , quad P_ {21} = chap (a_ {2} u_ {1}, ; { sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1)) (1-u_ {1 } ^ {2})}} o'ng)}$

ular:

${ displaystyle { begin {aligned} | P_ {11} P_ {22} | ^ {2} & = (a_ {2} u_ {2} -a_ {1} u_ {1}) ^ {2} + chap ({ sqrt {(a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {2} ^ {2})}} - { sqrt {(a_ {1} ^ {2} -1)) 1-u_ {1} ^ {2})}} o'ng) ^ {2} = dotsb & = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} -2 , chap (1 + a_ {1} a_ {2} u_ {1} u_ {2} + { sqrt {(a_ {1} ^ {2) } -1) (a_ {2} ^ {2} -1) (1-u_ {1} ^ {2}) (1-u_ {2} ^ {2})}} o'ng) end {hizalangan} }}$

Shubhasiz, agar kimdir almashtirishni amalga oshirsa, oxirgi ifoda o'zgarmasdir${ displaystyle u_ {1} chap tomondagi o'q u_ {2}}$. Aynan ushbu almashinuv olib keladi ${ displaystyle | P_ {1 color {red} 2} P_ {2 color {red} 1} | ^ {2}}$. Shunday qilib, bir narsa:

• ${ displaystyle | P_ {11} P_ {22} | = | P_ {12} P_ {21} |}$

Konfokal uchun bayonotning isboti parabolalar bu oddiy hisoblash.

Fil suyagi hatto uning teoremasining 3 o'lchovli versiyasini isbotladi (s. Blaske, 111-bet):

• Uch o'lchovli to'rtburchaklar uchun kubik qarama-qarshi nuqtalarni bog'laydigan diagonallar teng uzunlikka ega.

Shuningdek qarang

• Fokaloid

Adabiyotlar

1. ^ Feliks Klayn: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.
2. ^ D. M. Y. Sommervil:Uch o'lchovli analitik geometriya, Kembrij universiteti matbuoti, 2016 yil,ISBN 1316601900, 9781316601907, p. 235
3. ^ Staud, O .: Ueber Fadencecutionen des Ellipsoides. Matematika. Ann. 20, 147–184 (1882)
4. ^ Staud, O .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Sinflar. Matematika. Ann. 27, 253-271 (1886).
5. ^ Staud, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Matematika. Ann. 50, 398 - 428 (1898)
6. ^ D. Fuks, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9, p. 480.

• W. Blaschke: Analytische Geometrie. Springer, Bazel 1954 yil,ISBN 978-3-0348-6813-6, p. 111.
• G. Gleyzer, X. Stachel, B. Odel: Koniklar olami: qadimgi yunonlardan XXI asrga qadar bo'lgan o'zgarishlar, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, p. 457.
• Devid Xilbert; Stefan Kon-Vossen (1999), Geometriya va tasavvur, Amerika matematik jamiyati, ISBN 0-8218-1998-4
• Ernesto Paskal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leypsig / Berlin 1910, p. 257.
• A. Robson: Analitik geometriyaga kirish Ovoz. Men, Kembrij, University Press, 1940, p. 157.
• D.M.Y. Sommervil: Uch o'lchovli analitik geometriya, Kembrij, University Press, 1959, p. 235.

Tashqi havolalar

• T. Xofmann: Miniskript Differentsialgeometri I, p. 48
• B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• X. Volser: Konforme Abbildungen. p. 8.