WikiDer > Dupins teoremasi - Vikipediya

Nuqta orqali ortogonal yuzalar

Ikki tekislik (qirmizi, ko'k) uch qavatli ortogonal tizim a'zolari silindrni egrilik chiziqlari bilan kesib o'tishadi (ko'k doira, safsar chiziq)

Yilda differentsial geometriya Dupin teoremasi, frantsuz matematikasi nomi bilan atalgan Charlz Dupin, bayonot:^[1]

• The kesishish egri chizig'i uch qavatli ortogonal tizimning har xil qalamdagi har qanday juft yuzasi a egrilik chizig'i.

A uch tomonlama ortogonal tizim yuzalar uchta qalamdan iborat bo'lib, har xil qalamlardan har qanday juft yuzalar ortogonal ravishda kesishadi.

Uch tomonlama ortogonal tizimning eng oddiy misoli koordinata tekisliklari va ularning parallellaridan iborat. Ammo bu misol qiziqtirmaydi, chunki tekislikda egrilik chiziqlari yo'q.

Eng kamida bitta egri chiziqli qalam bilan oddiy misol: 1) z o'qi o'qi bo'lgan barcha o'ng dumaloq silindrlar, 2) z o'qini o'z ichiga olgan barcha tekisliklar, 3) barcha gorizontal tekisliklar (diagramaga qarang).

A egrilik chizig'i har qanday nuqtada a yo'nalishiga ega bo'lgan sirtdagi egri chiziq asosiy egrilik (maksimal yoki minimal egrilik). To'g'ri dumaloq silindrning egrilik chiziqlari to'plami doiralar to'plamidan (maksimal egrilik) va chiziqlardan (minimal egrilik) iborat. Samolyotda egrilik chiziqlari yo'q, chunki har qanday normal egrilik nolga teng. Demak, faqat silindrning egrilik chiziqlari qiziqish uyg'otadi: gorizontal tekislik silindrni aylana bo'ylab kesib o'tadi va vertikal tekislikda umumiy silindr bilan chiziqlar mavjud.

Uch tomonlama ortogonal tizimlar g'oyasini umumlashtirish sifatida ko'rish mumkin ortogonal traektoriyalar. Maxsus misollar konfokal konus bo'limi.

Ilova

Dupin teoremasi hosil bo'lgan va asosiy egriliklarni vaqtni hisoblab chiqmasdan, sirtning egri chiziqlarini mos sirtlar bilan kesishgan holda aniqlash uchun vositadir (misollarni ko'ring). Keyingi misol shuni ko'rsatadiki, sirtni uch baravar ortogonal tizimga singdirish noyob narsa emas.

Misollar

O'ng dumaloq konus

Berilgan: Diagrammada yashil rangli o'ng dumaloq konus.
Kerakli: Egrilik chiziqlari.

konus uchun sirtlarning ortogonal tizimi (binafsha, yashil, ko'k), egrilik chiziqlari: yashil, qizil

1. qalam: Berilgan S konusni S tepasi bilan o'z o'qi bo'ylab siljitish natijasida konus qalam hosil bo'ladi (yashil).
2. qalam: Berilgan konusning o'qida tepaliklari bo'lgan konuslar, chiziqlar berilgan konusning chiziqlariga (ko'k) ortogonal bo'ladi.
3. qalam: Konusning o'qi bo'ylab tekisliklar (binafsha rang).

Ushbu uchta qalam yuzalar ortogonal tizimdir. Moviy konuslar berilgan S konusni aylana (qizil) bilan kesishadi. Binafsharang tekisliklar C (yashil) konusning chiziqlari bilan kesishadi.

Sharlar bilan alternativa

Bo'shliqning nuqtalarini sferik koordinatalar ${ displaystyle (r, varphi, theta)}$. S = M = kelib chiqishi o'rnatiladi.

1. qalam: S nuqtasi cho'qqisi konuslar va ularning o'qlari berilgan konusning o'qi C (yashil): ${ displaystyle (r, varphi, theta _ {0})}$.
2. qalam: M = S (ko'k) markazida joylashgan sharlar: ${ displaystyle (r_ {0}, varphi, theta)}$
3. qalam: Konusning o'qi bo'ylab samolyotlar (binafsha rang): ${ displaystyle (r, varphi _ {0}, theta)}$.

Torus

Torus uchun sirtlarning ortogonal tizimi (binafsha, yashil, ko'k) (yashil)
Egrilik chiziqlari: yashil, qizil

1. qalam: Xuddi shu direktrixli Tori (yashil).
2. qalam: Torus o'qida cho'qqilar bilan torusning direktrik doirasini o'z ichiga olgan konuslar (ko'k).
3. qalam: Berilgan torus o'qini o'z ichiga olgan tekisliklar (binafsha rang).

Moviy konuslar torusni kesib o'tadi gorizontal doiralar (qizil). Binafsharang tekisliklar kesishgan vertikal doiralar (yashil).

Torusning egrilik chiziqlari ortogonal doiralar tarmog'ini hosil qiladi.

Torus ko'proq doiralarni o'z ichiga oladi: the Villarce doiralari, bu egrilik chiziqlari emas.

Inqilob yuzasi

Inqilob yuzasi uchun ortogonal tizim (yashil)

Odatda a inqilob yuzasi hosil qiluvchi tekislik egri chizig'i (meridian) bilan belgilanadi ${ displaystyle m_ {0}}$. Aylanmoqda ${ displaystyle m_ {0}}$ o'qi atrofida inqilob sirtini hosil qiladi. Konus va torus uchun ishlatiladigan usul inqilob yuzasiga cho'zilishi mumkin:

1. qalam: Berilgan aylanish yuzasiga parallel yuzalar.
2. qalam: Belgilangan yuzaga ortogonal bo'lgan generatorlar bilan inqilob o'qida najasli konuslar (ko'k).
3. qalam: Inqilob o'qini o'z ichiga olgan samolyotlar (binafsha rang).

Konuslar inqilob sirtini doiralar (qizil) bilan kesishadi. Binafsharang tekisliklar meridianlarni kesib o'tadi (yashil). Shuning uchun:

• The inqilob sirtining egrilik chiziqlari gorizontal doiralar va meridianlardir.

Konfokal kvadrikalar

Egri chiziqlar bilan ellipsoid

Egri chiziqli giperboloid

Maqola konfokal konus bo'limi konfokal bilan shug'ullanadi kvadrikalarham. Ular sirtlarning ahamiyatsiz bo'lmagan ortogonal tizimining yorqin namunasidir. Dupin teoremasi shuni ko'rsatadiki

har qanday kvadrikaning egrilik chiziqlarini boshqa qalamlardan kvadrikalar bilan kesishish egri chiziqlari sifatida ko'rish mumkin (diagrammalarga qarang).

Konfokal kvadrikalar hech qachon aylanadigan kvadrikalar emas, shuning uchun inqilob yuzalarida natija (yuqorida) qo'llanilishi mumkin emas. Egrilik chiziqlari, ya'ni. 4-darajali egri chiziqlar (aylanma kvadrikalarning egrilik chiziqlari har doim konus kesimlari!)

Ellipsoid (diagramaga qarang)

Yarim o'qlar: ${ displaystyle ; a = 1, ; b = 0.8, ; c = 0.6 ;}$.
Egrilik chiziqlari bitta (ko'k) va ikkita (binafsha) choyshab bilan kesilgan qismlardir giperboloidlar. Qizil nuqtalar kindik nuqtalari.

Bitta varaqning giperboloidi (diagramaga qarang)

Yarim o'qlar: ${ displaystyle ; a = 0.67, ; b = 0.3, ; c = 0.44 ;}$.
Egrilik chiziqlari - bu ellipsoidlar (ko'k) va ikkita varaqning giperboloidlari (binafsha) bilan kesishmalar.

Dupin siklidlari

Fokusli konikali halqa siklidi (to'q qizil: ellips, to'q ko'k: giperbola). Binafsha rang: P konusning yuzasi normal va ikkita konusning umumiy chizig'i

A Dupin siklidi va uning parallelliklari fokal konus kesimlari juftligi bilan aniqlanadi. Diagrammada halqa siklidi va uning fokusli konus kesimlari ko'rsatilgan (ellips: to'q qizil, giperbola: to'q ko'k). Tsiklidni yuzalar ortogonal tizimining a'zosi sifatida ko'rish mumkin:

1. qalam: siklidning parallel sirtlari.
2. qalam: ellips orqali o'ng dumaloq konuslar (ularning tepalari giperbolada)
3. qalam: giperbola orqali o'ng dumaloq konuslar (ularning cho'qqilari ellipsda)

Tsiklidning o'ziga xos xususiyati quyidagicha:

Dyupin siklidining egrilik chiziqlari quyidagicha doiralar.

Dyupin teoremasining isboti

Har qanday ko'rib chiqish nuqtasi ortogonal tizimning har qanday qalamining bir yuzida joylashgan. Uch parametr ${ displaystyle u, v, w}$ ushbu uchta sirtni tavsiflash yangi koordinatalar sifatida qaralishi mumkin. Shuning uchun har qanday nuqta quyidagicha ifodalanishi mumkin:

${ displaystyle x = x (u, v, w)}$

${ displaystyle y = y (u, v, w)}$

${ displaystyle z = z (u, v, w) quad}$ yoki qisqa vaqt ichida: ${ displaystyle quad { vec {x}} = { vec {x}} (u, v, w) ;.}$

Misol uchun (silindr) yangi koordinatalar radiusdir ${ displaystyle r}$ haqiqiy silindrning burchagi ${ displaystyle varphi}$ vertikal tekislik va x o'qi orasidagi va ${ displaystyle zeta}$ gorizontal tekislikning balandligi. Shuning uchun, ${ displaystyle r, varphi, zeta}$ deb hisoblash mumkin silindr koordinatalari ko'rib chiqish nuqtasi.

"Sirtlar ortogonal ravishda kesishadi" holati nuqtada ${ displaystyle { vec {x}} (u, v, w)}$ sirt normalari degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle ; { vec {x}} _ {u} times { vec {x}} _ {v}, ; { vec {x}} _ {v} times { vec {x }} _ {w}, ; { vec {x}} _ {w} times { vec {x}} _ {u}}$ juft-juft ortogonaldir. Bu to'g'ri, agar bo'lsa

${ displaystyle { vec {x}} _ {u}, ; { vec {x}} _ {v}, ; { vec {x}} _ {w} quad}$ juft-juft ortogonaldir. Ushbu xususiyat yordamida tekshirilishi mumkin Lagranjning shaxsi.

Shuning uchun

(1)${ displaystyle quad { vec {x}} _ {u} cdot { vec {x}} _ {v} = 0, quad { vec {x}} _ {v} cdot { vec {x}} _ {w} = 0, quad { vec {x}} _ {w} cdot { vec {x}} _ {u} = 0 ;.}$

O'zgaruvchiga tenglamada bo'lmagan ushbu tenglamalarni keltirib chiqaradigan narsa olinadi

${ displaystyle { vec {x}} _ {uw} cdot { vec {x}} _ {v} + { vec {x}} _ {u} cdot { vec {x}} _ { vw} = 0 ;,}$

${ displaystyle { vec {x}} _ {uv} cdot { vec {x}} _ {w} + { vec {x}} _ {v} cdot { vec {x}} _ { uw} = 0 ;,}$

${ displaystyle { vec {x}} _ {vw} cdot { vec {x}} _ {u} + { vec {x}} _ {w} cdot { vec {x}} _ { vw} = 0 ;.}$

Uchta skalyar mahsulot uchun ushbu chiziqli tizimni echish quyidagicha hosil beradi:

(2)${ displaystyle quad { vec {x}} _ {uv} cdot { vec {x}} _ {w} = 0, quad { vec {x}} _ {vw} cdot { vec {x}} _ {u} = 0, quad { vec {x}} _ {uw} cdot { vec {x}} _ {v} = 0 ;.}$

Kimdan (1) va (2): Uch vektor ${ displaystyle { vec {x}} _ {u}, { vec {x}} _ {v}, { vec {x}} _ {uv}}$ vektordan ortogonaldir ${ displaystyle { vec {x}} _ {w}}$ va shuning uchun chiziqli qaram (umumiy tekislikda mavjud), uni quyidagicha ifodalash mumkin:

(3)${ displaystyle quad det ({ vec {x}} _ {uv}, { vec {x}} _ {u}, { vec {x}} _ {v}) = 0 ;.}$

Tenglamadan (1) bitta oladi ${ displaystyle F = 0}$ (ning koeffitsienti birinchi asosiy shakl) va
tenglamadan (3): ${ displaystyle M = 0}$ (ning koeffitsienti ikkinchi asosiy shakl) yuzaning ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {x}} (u, v, w_ {0})}$.

Natija: parametr egri chiziqlari egrilik chiziqlari.

Nuqta orqali boshqa ikkita sirt uchun o'xshash natija ${ displaystyle { vec {x}} (u_ {0}, v_ {0}, w_ {0})}$ haqiqat ham.

Adabiyotlar

• H.S.M. Kokseter: Geometriyaga kirish, Vili, 1961, 11-bet, 258-bet.
• Ch. Dupin: Développements de géométrie, Parij 1813 yil.
• F. Klayn: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Springer-Verlag, 2013 yil, ISBN 3642886744, p. 9.
• Lyudvig Shlafli: Oldin allgemeinste Flächenschar zweiten sinflar, die mit irgend zwei anderen Flächenscharen ein orthogonales System bildet, yilda L. Schläfli: Gesammelte matematik Abhandlungen p. 163, Springer-Verlag, 2013 yil, ISBN 3034841167.
• J. Vaynarten: Uber Bedingung vafot etadi, Flächenfamilie einem orthogonalen Flächensystem angehört., Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1877 guruh, Heft 83, 1-12 betlar, ISSN (Onlayn) 1435-5345, ISSN (Chop etish) 0075-4102.
• T. J. Willmore: Differentsial geometriyaga kirish, Courier Corporation, 2013 yil, ISBN 0486282104, p. 295.