WikiDer > Dirichlet L-funktsiyasi

Yilda matematika, a Dirichlet L- seriyalar shaklning funktsiyasi

${ displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}}.}$

Bu erda $ a $ Dirichlet belgisi va s a murakkab o'zgaruvchi bilan haqiqiy qism kattaroq 1. By analitik davomi, bu funktsiyani a ga kengaytirish mumkin meromorfik funktsiya umuman olganda murakkab tekislik, va keyin a deb nomlanadi Dirichlet L-funktsiya va shuningdek belgilanadi L(s, χ).

Ushbu funktsiyalar nomi berilgan Piter Gustav Lejeune Dirichlet ularni kim kiritgan (Dirichlet 1837) isbotlash uchun arifmetik progressiyalardagi tub sonlar haqidagi teorema uning nomi ham bor. Isbotlash jarayonida Dirichlet shuni ko'rsatmoqda L(s, χ) nolga teng emas s = 1. Bundan tashqari, agar $ p $ asosiy bo'lsa, unda tegishli Dirichlet L-funktsiyaga ega oddiy qutb da s = 1.

Dirichlet L-funktsiyalarining nollari

Agar χ ((-1) = 1 bo'lgan ibtidoiy belgi bo'lsa, u holda yagona nollar L(s, χ) bilan Re (s) <0 manfiy juft butun sonlarda, agar χ χ (-1) = -1 bo'lgan ibtidoiy belgi bo'lsa, u holda yagona nol L(s, χ) bilan Re (s) <0 manfiy toq sonlarda joylashgan.

Mumkin bo'lgan mavjudligiga qadar a Siegel nol, noldan xoli hududlar Re (va undan tashqarida)s) = Riemann zeta funktsiyasiga o'xshash 1 barcha Dirichlet uchun mavjud ekanligi ma'lum L-funktsiyalar: masalan, χ uchun modulning haqiqiy bo'lmagan belgisi q, bizda ... bor

${ displaystyle beta <1 - { frac {c} { log { big (} q (2+ | gamma |) { big)}}} }$

β + iγ uchun haqiqiy bo'lmagan nol.^[1]

Xuddi Riemann zeta funktsiyasi itoat etish uchun taxmin qilinganidek Riman gipotezasi, shuning uchun Dirichlet L-funktsiyalarga bo'ysunish uchun taxmin qilinadi umumlashtirilgan Riman gipotezasi.

Eyler mahsuloti

Dirichlet belgisi χ bo'lgani uchun to'liq multiplikativ, uning L-funktsiyani an shaklida ham yozish mumkin Eyler mahsuloti ichida yarim tekislik ning mutlaq yaqinlashish:

${ displaystyle L (s, chi) = prod _ {p} chap (1- chi (p) p ^ {- s} o'ng) ^ {- 1} { text {for}} { matn {Re}} (lar)> 1,}$

bu erda mahsulot hamma narsadan iborat tub sonlar.^[2]

Funktsional tenglama

$ Delta $ modul uchun ibtidoiy belgi deb taxmin qilaylik k. Ta'riflash

${ displaystyle Lambda (s, chi) = chap ({ frac { pi} {k}} o'ng) ^ {- (s + a) / 2} Gamma left ({ frac {s) + a} {2}} o'ng) L (s, chi),}$

bu erda Γ Gamma funktsiyasi va belgi a tomonidan berilgan

${ displaystyle a = { begin {case} 0; & { mbox {if}} chi (-1) = 1, 1; & { mbox {if}} chi (-1) = - 1, end {case}}}$

bittasida funktsional tenglama

${ displaystyle Lambda (1-s, { overline { chi}}) = { frac {i ^ {a} k ^ {1/2}} { tau ( chi)}} Lambda (s) , chi),}$

bu erda τ (χ) Gauss summasi

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {k} chi (n) exp (2 pi in / k).}$

Esda tutingki, | τ (χ) | = k^1/2.

Hurwitz zeta-funktsiyasi bilan bog'liqlik

Dirichlet L-funktsiyalari ning chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin Hurwitz zeta-funktsiyasi ratsional qiymatlarda. Butun sonni aniqlash k ≥ 1, Dirichlet L- belgilar moduli uchun funktsiyalar k ζ ning doimiy koeffitsientlari bo'lgan chiziqli kombinatsiyalars,q) qayerda q = m/k va m = 1, 2, ..., k. Bu Hurwitz zeta-ning oqilona ishlashini anglatadi q Dirichlet bilan chambarchas bog'liq bo'lgan analitik xususiyatlarga ega L-funktsiyalar. Xususan, belgi moduli bo'lsin k. Keyin biz uning Dirichletini yozishimiz mumkin Lkabi funktsiya

${ displaystyle L (s, chi) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} { k ^ {s}}} sum _ {m = 1} ^ {k} chi (m) ; zeta left (s, { frac {m} {k}} right).}$

Shuningdek qarang

• Umumlashtirilgan Riman gipotezasi
• L funktsiyasi
• Modullik teoremasi
• Artin gumoni
• L funktsiyalarining maxsus qiymatlari

Izohlar

Adabiyotlar

• Apostol, Tom M. (1976), Analitik sonlar nazariyasiga kirish, Matematikadagi bakalavr matnlari, Nyu-York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, JANOB 0434929, Zbl 0335.10001
• Apostol, T. M. (2010), "Dirichlet L-funktsiyasi", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST matematik funktsiyalar qo'llanmasi, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-19225-5, JANOB 2723248
• H. Davenport (2000). Multiplikatsion sonlar nazariyasi. Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ak. Yomon. Berlin. 48.CS1 maint: ref = harv (havola)
• "Dirichlet-L-funktsiyasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]