WikiDer > Hilbert-Matrix

Das hilbert-matrix der Ordnung ${Anzeigestil n(n>0)}$ ist der symmetrisch, positiv-definitiv${Anzeigestil n imes n}$-Matrix:

${displaystyle H_{n}={ egin{pmatrix}1&{frac {1}{2}}&{frac {1}{3}}&ldots &{frac {1}{n}}/{frac {1}{ 2}}&{frac {1}{3}}&{frac {1}{4}}&ldots &{frac {1}{n 1}}/{frac {1}{3}}&{frac {1 }{4}}&{frac {1}{5}}&ldots &{frac {1}{n 2}}/vdots &vdots &vdots &ddots &vdots /{frac {1}{n}}&{frac {1}{ n 1}}&{frac {1}{n 2}}&ldots &{frac {1}{2n-1}}end{pmatrix}}}$

also mit Elementen

${displaystyle h_{ij}={frac {1}{i j-1}}}$

Eine Hilbert-Matrix ist a Hankel-Matrix.

Die Hilbert-Matrix wurde vom deutschen Mathematiker vorgeschlagen David Hilbert im 1894 erstmals im Zusammenhang mit der Theorie der Polynome von legendre. Da diese Matrix positiv-definit ist, ist sie auch invertierbar, was bedeutet, dass die inverse Matrix existiert. Da die Matrix invertierbar ist, ist ein System von lineare Gleichungen mit den Koeffizienten der Hilbert-Matrix als Koeffizienten der lösbaren Gleichungen. Das Problem bei einer solchen Matrix ist jedoch, dass die Matrix und auch das lineare Gleichungssystem numerisch schlecht konditioniert sein. Beim Lösen der Gleichungen oder beim Berechnen der Umkehrung erscheinen als Zwischenergebnisse sehr große positive und negative Zahlen. Wird diese Berechnung mit einem Computer durchgeführt, können sehr große Rundungsfehler auftreten oder die Berechnung sogar abgebrochen werden.

Je größer die Bestellung ${displaystyle n}$, desto schwerwiegender ist dieses Problem. Es Zustandsnummer wächst exponentiell mit ${Anzeigestil n.}$ Zum Beispiel die Konditionsnummer von ${Displaystil H_{3}}$ ist 526,16 (Frobeniusnorm); von ${displaystyle H_{4}}$ es sind bereits 15.613,8.

Die Hilbert-Matrix ist aufgrund ihrer schlechten numerischen Bedingung die klassische Testfall für alle Computerprogramme, die Matrizen invertieren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, wie z. B. Programme für Gauss-Eliminierung, LU-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung, und so weiter. je größer ${displaystyle n}$ gewählt wird, desto schärfer ist der Test.

Inverse der Hilbert-Matrix

Bei solchen Tests ist es praktisch, dass die Koeffizienten der inversen Hilbert-Matrix zwischen positiv und negativ wechseln ganze Zahlen die mit folgender Formel direkt und genau berechnet werden kann:

${displaystyle (H_{n}^{-1})_{i,j}={frac {(-1)^{ij}}{(i j-1)}} {frac {(n i-1) !(n j-1)!}{(((i-1)!(j-1)!)^{2}(ni)!(nj)!}}}$

Verwenden von Binomialkoeffizienten ist diese formel:

${displaystyle (H_{n}^{-1})_{i,j}=(-1)^{ij}(i j-1){n i-1 wähle nj}{n j-1 wähle ni} {i j-2 wähle i-1}^{2}}$.

Im Sonderfall ${Anzeigestil i=j=1}$ das kommt auf:

${Anzeigestil (H_{n}^{-1})_{1,1}=n^{2}}$

Dadurch können die beim Invertieren der Matrix im Computerprogramm entstehenden numerischen Abweichungen mit dem exakten Ergebnis verglichen werden.

Beispiele für inverse Hilbert-Matrizen

Genau umgekehrt ${displaystyle H_{4}^{-1}={ egin{pmatrix}16&-120&240&-140/-120&1200&-2700&1680/240&-2700&6480&-4200/-140&1680&-4200&2800end{pmatrix}}}$

Genau umgekehrt ${displaystyle H_{5}^{-1} = { egin{pmatrix}25&-300&1050&-1400&630/-300&4800&-18900&26880&-12600/1050&-18900&79380&-117600&56700/-1400&26880&-117600&179200&-88200/630&-12600&56700&-88pmatrix }} }$

Siehe auch

• Filbert-Matrix
• Numerische Mathematik

Externe Links

• (und) Richardson-Artikel 1999