WikiDer > Xolms – Tompson jildi - Vikipediya

Ning geometriyasida normalangan bo'shliqlar, Xolms - Tompson jildi degan tushuncha hajmi bu turli xil normalangan bo'shliqlarda (bir xil o'lchamdagi) to'plamlarni taqqoslash imkonini beradi. U Raymond D. Xolms va Entoni Charlz Tompson tomonidan kiritilgan.^[1]

Ta'rif

Xolms-Tompson jildi ${ displaystyle operatorname {Vol} _ { text {HT}} (A)}$ o'lchovli to'plam ${ displaystyle A subseteq R ^ {n}}$ normalangan bo'shliqda ${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, | - |)}$ 2 deb belgilanadin- o'lchovli o'lchov mahsulot to'plami ${ displaystyle A times B ^ {*},}$ qayerda ${ displaystyle B ^ {*} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ ning ikkitomonlama to'pi ${ displaystyle | - |}$ (the birlik to'pi ning ikkilamchi norma ${ displaystyle | - | ^ {*}}$).

Simpektik (koordinatasiz) ta'rif

Xolms-Tompson hajmini koordinatasiz aniqlash mumkin: agar ${ displaystyle A subseteq V}$ an-da o'lchanadigan to'plamdir n- o'lchovli haqiqiy normalangan makon ${ displaystyle (V, | - |),}$ unda uning Xolms-Tompson hajmi ning integralining absolyut qiymati sifatida aniqlanadi hajm shakli ${ displaystyle { frac {1} {n!}} overbrace { omega wedge cdots wedge omega} ^ {n}}$ to'plam ustidan ${ displaystyle A times B ^ {*}}$,

${ displaystyle operator nomi {Vol} _ {HT} (A) = left | int _ {A times B ^ {*}} { frac {1} {n!}} omega ^ {n} o'ng |}$

qayerda ${ displaystyle omega}$ bo'ladi standart simpektik shakl vektor makonida ${ displaystyle V times V ^ {*}}$ va ${ displaystyle B ^ {*} subseteq V ^ {*}}$ ning ikkitomonlama to'pi ${ displaystyle | - |}$.

Ushbu ta'rif avvalgisiga mos keladi, chunki har bir vektor bo'lsa ${ displaystyle x in V}$ chiziqli koordinatalar berilgan ${ displaystyle (x_ {i}) _ {0 leq i$ va har bir kovektor ${ displaystyle varphi in V ^ {*}}$ berilgan ikkilangan koordinatalar ${ displaystyle (p_ {i}) _ {0 leq i$ (Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle varphi (x) = sum _ {i} p_ {i} x_ {i}}$), keyin standart simpektik shakl ${ displaystyle omega = sum _ {i} mathrm {d} x_ {i} wedge mathrm {d} p_ {i}}$va tovush shakli

${ displaystyle { frac {1} {n!}} omega ^ {n} = pm ; mathrm {d} x_ {0} wedge dots wedge mathrm {d} x_ {n-1 } wedge mathrm {d} p_ {0} wedge dots wedge mathrm {d} p_ {n-1},}$

to'plamning ajralmas qismi ${ displaystyle A times B ^ {*} subseteq V times V ^ {*} cong mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}}$ bu koordinata fazosidagi to'plamning odatiy hajmi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Finsler manifoldlaridagi hajm

Umuman olganda, o'lchanadigan to'plamning Xolms-Tompson hajmi ${ displaystyle A}$ a Finsler kollektori ${ displaystyle (M, F)}$ sifatida belgilanishi mumkin

${ Displaystyle operator nomi {Vol} _ { text {HT}} (A): = int _ {B ^ {*} A} { frac {1} {n!}} omega ^ {n}, }$

qayerda ${ displaystyle B ^ {*} A = {(x, p) in mathrm {T} ^ {*} M: x in A { text {and}} p in mathrm {T} _ {x} ^ {*} M { text {with}} | p | _ {x} ^ {*} leq 1 }}$ va ${ displaystyle omega}$ bo'ladi standart simpektik shakl ustida kotangens to'plami ${ displaystyle mathrm {T} ^ {*} M}$. Xolms-Tompson tomonidan hajmning ta'rifi kollektorning umumiy hajmi va uzunligi o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatish uchun mos keladi. geodeziya unda joylashgan (eng qisqa egri chiziqlar) (masalan sistolik tengsizliklar^[2][3] va to'ldirish hajmi^{[4][5][6][7][8]}) chunki, ko'ra Liovil teoremasi, geodezik oqim kotangens to'plamda simpektik hajmdagi to'plamlarni saqlaydi.

Koordinatalar yordamida hisoblash

Agar ${ displaystyle M}$ koordinata fazosidagi mintaqadir ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, keyin har bir nuqtada tangens va kotangens bo'shliqlari ${ displaystyle x in M}$ ikkalasini ham aniqlash mumkin ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Finsler metrikasi doimiy funktsiyadir ${ displaystyle F: TM = M times mathbb {R} ^ {n} to [0, + infty)}$ bu hosil beradi a (ehtimol assimetrik) norma ${ displaystyle F_ {x}: v in mathbb {R} ^ {n} mapsto | v | _ {x} = F (x, v)}$ har bir nuqta uchun ${ displaystyle x in M}$. Kichik qismning Xolms-Tompson hajmi A ⊆ M sifatida hisoblash mumkin

${ displaystyle operatorname {Vol} _ { textrm {HT}} (A) = | B ^ {*} A | = int _ {A} | B_ {x} ^ {*} | , mathrm { d} operator nomi {Vol_ {n}} (x)}$

har bir nuqta uchun qaerda ${ displaystyle x in M}$, to'plam ${ displaystyle B_ {x} ^ {*} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ ning ikkitomonlama to'pi ${ displaystyle F_ {x}}$ (ning birlik to'pi ikkilamchi norma ${ displaystyle F_ {x} ^ {*} = | - | _ {x} ^ {*}}$), panjaralar ${ displaystyle | - |}$ koordinatalar fazosidagi kichik to'plamning odatdagi hajmini belgilang va ${ displaystyle mathrm {d} operatorname {Vol_ {n}} (x)}$ barchaning mahsulidir n koordinatali differentsiallar ${ displaystyle mathrm {d} x_ {i}}$.

Ushbu formuladan yana kelib chiqadi 2n-form ${ displaystyle textstyle {{ frac {1} {n!}} omega ^ {n}}}$ barchaning differentsiallari ko'paytmasiga teng (belgiga qadar) ${ displaystyle n}$ koordinatalar ${ displaystyle mathrm {x} _ {i}}$ va ularning ikkilangan koordinatalari ${ displaystyle p_ {i}}$. Xolms-Tompsonning hajmi A keyin pastki qismning odatdagi hajmiga teng bo'ladi ${ displaystyle B ^ {*} A = {(x, p) in M ​​ times mathbb {R} ^ {n}: p in B_ {x} ^ {*} }}$ ning ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Santaloning formulasi

Agar ${ displaystyle A}$ bu Finsler manifoldidagi oddiy mintaqadir (ya'ni to'pga gomomorf bo'lgan, konveks chegarasi va bo'ylab noyob geodeziya ${ displaystyle A}$ ning har bir juftligiga qo'shilish ${ displaystyle A}$), keyin uning Xolms-Tompson hajmini yo'l bo'ylab masofa bo'yicha hisoblash mumkin (bo'ylab) ${ displaystyle A}$) ning chegara nuqtalari orasida ${ displaystyle A}$ foydalanish Santaloning formulasi, bu esa o'z navbatida kotangens to'plamidagi geodeziya oqimi ekanligiga asoslanadi Hamiltoniyalik.^[9]

Normallashtirish va Evklid va Xausdorf o'lchovlari bilan taqqoslash

Asl mualliflar foydalangan^[1] Xolms-Tompson hajmi uchun boshqa normallashtirish. Ular bu erda berilgan qiymatni Evklidning hajmi n-bol, Xolms-Tompson hajmini standart evklid kosmosidagi mahsulot o'lchoviga to'g'ri keltirish uchun ${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, | - | _ {2})}$. Ushbu maqola ushbu konventsiyaga amal qilmaydi.

Agar normalangan bo'shliqlarda (yoki Finsler manifoldlarida) Xolms-Tompson hajmi normallashtirilgan bo'lsa, u hech qachon Hausdorff o'lchovi. Bu Blaske-Santaloning tengsizligi. Tenglik, agar bo'shliq Evklid (yoki Riemann manifoldu) bo'lsa, amal qiladi.

Adabiyotlar

Alvarez-Paiva, Juan-Carlos; Tompson, Entoni C. (2004). "1-bob: normalangan va finsler bo'shliqlaridagi jildlar" (PDF). Bao shahrida Dovud; Bryant, Robert L.; Chern, Shiing-Shen; Shen, Chjunmin (tahr.). Riemann-Finsler geometriyasidan namuna oluvchi. MSRI nashrlari. 50. Kembrij universiteti matbuoti. 1-48 betlar. ISBN 0-521-83181-4. JANOB 2132656.