WikiDer > Santalos formulasi - Vikipediya

Yilda differentsial geometriya, Santaloning formulasi funktsiyani birlikka qanday qo'shishni tasvirlaydi shar to'plami a Riemann manifoldu birinchi navbatda har bir narsaga integratsiya qilish orqali geodezik alohida va keyin barcha geodeziya maydoni bo'ylab. Bu standart vosita integral geometriya va izoperimetrik dasturlar mavjud^[1] va qat'iylik natijalari.^[2] Formula nomi bilan nomlangan Luis Santalo, natijani birinchi bo'lib 1952 yilda isbotlagan.^[3][4]

Formulyatsiya

Ruxsat bering ${ displaystyle (M, qisman M, g)}$ chegara bilan ixcham, yo'naltirilgan Riemann manifoldu bo'ling. Keyin funktsiya uchun ${ displaystyle f: SM rightarrow mathbb {C}}$, Santaloning formulasi shaklni oladi

${ displaystyle int _ {SM} f (x, v) , d mu (x, v) = int _ { kısalt _ {+} SM} chap [ int _ {0} ^ { tau (x, v)} f ( varphi _ {t} (x, v)) , dt right] langle v, nu (x) rangle , d sigma (x, v),}$

qayerda

• ${ displaystyle ( varphi _ {t}) _ {t}}$ bo'ladi geodezik oqim va ${ displaystyle tau (x, v) = sup {t geq 0: forall s in [0, t]: ~ varphi _ {s} (x, v) in SM }}$ boshlang'ich shartlari bilan geodeziyaning chiqish vaqti ${ displaystyle (x, v) in SM}$,
• ${ displaystyle mu}$ va ${ displaystyle sigma}$ ular Riemann hajmlari ga nisbatan Sasaki metrikasi kuni ${ displaystyle SM}$ va ${ displaystyle kısmi SM}$ mos ravishda (${ displaystyle mu}$ ham deyiladi Liovil o'lchovi),
• ${ displaystyle nu}$ ichki tomonga ishora qiladi birlik normal ga ${ displaystyle qisman M}$ va ${ displaystyle kısalt _ {+} SM: = {(x, v) SM: x in qisman M, langle v, nu (x) rangle geq 0 }}$ The oqim chegarasi, bu geodeziya makonini parametrlash deb o'ylash kerak.

Amal qilish muddati

Taxminlarga ko'ra

1. ${ displaystyle M}$ bu tutmaslik (ya'ni ${ displaystyle tau (x, v) < infty}$ Barcha uchun ${ displaystyle (x, v) in SM}$) va
2. ${ displaystyle qisman M}$ bu qat'iy konveks (ya'ni ikkinchi asosiy shakl ${ displaystyle II _ { qisman M} (x)}$ har bir kishi uchun ijobiy aniq ${ displaystyle x in qisman M}$),

Santaloning formulasi hamma uchun amal qiladi ${ displaystyle f in C ^ { infty} (M)}$. Bunday holda u quyidagi chora-tadbirlar identifikatsiyasiga teng:

${ displaystyle Phi ^ {*} d mu (x, v, t) = langle nu (x), x rangle d sigma (x, v) dt,}$

qayerda ${ displaystyle Omega = {(x, v, t) :( x, v) in partional _ {+} SM, t in (0, tau (x, v)) }}$ va ${ displaystyle Phi: Omega rightarrow SM}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle Phi (x, v, t) = varphi _ {t} (x, v)}$. Xususan, bu shuni anglatadiki geodezik rentgen transformatsiyasi ${ displaystyle If (x, v) = int _ {0} ^ { tau (x, v)} f ( varphi _ {t} (x, v)) , dt}$ chegaralangan chiziqli xaritaga cho'ziladi ${ displaystyle I: L ^ {1} (SM, mu) rightarrow L ^ {1} ( qismli _ {+} SM, sigma _ { nu})}$, qayerda ${ displaystyle d sigma _ { nu} (x, v) = langle v, nu (x) rangle , d sigma (x, v)}$ va shunday qilib quyidagilar mavjud, ${ displaystyle L ^ {1}}$- Santalo formulasini o'zgartirish:

${ displaystyle int _ {SM} f , d mu = int _ { kısalt _ {+} SM} If ~ d sigma _ { nu} quad { text {for all}} f L ^ {1} da (SM, mu).}$

Agar ushlamaslik yoki yuqoridan yuqoriga ko'tarilgan konveksiya sharti bajarilmasa, unda to'plam mavjud ${ displaystyle E subset SM}$ geodeziya paydo bo'ladigan ijobiy o'lchov ${ displaystyle E}$ yoki chegarasini ura olmaysiz ${ displaystyle M}$ yoki ko'ndalangiga urmang. Bunday holda, Santaloning formulasi faqat ushbu maxsus to'plamdan ajralib qolgan funktsiyalar uchun amal qiladi ${ displaystyle E}$.

Isbot

Quyidagi dalil [,^[5] Lemma 3.3], yuqoridagi 1) va 2) shartlar to'g'ri bo'lganda (oddiyroq) sozlashga moslashgan. Santaloning formulasi quyidagi ikkita ingredientdan kelib chiqadi ${ displaystyle kısalt _ {0} SM = {(x, v): langle nu (x), v rangle = 0 }}$ nol o'lchoviga ega.

• Geodezik vektor maydoni uchun qismlar formulasi bo'yicha integratsiya ${ displaystyle X}$:

${ displaystyle int _ {SM} Xu ~ d mu = - int _ { kısalt _ {+} SM} u ~ d sigma _ { nu} quad { text {barchasi uchun}} u C ^ { infty} (SM)} da$

• Transport tenglamasi uchun rezolvent qurilishi ${ displaystyle Xu = -f}$:

${ displaystyle mavjud: R: C_ {c} ^ { infty} (SM smallsetminus partial _ {0} SM) rightarrow C ^ { infty} (SM): XRf = -f { text {and} } Rf vert _ { kısalt _ {+} SM} = C_ {c} ^ { infty} (SM smallsetminus kısalt _ {0} SM) da hamma uchun}} f agar quad { text {} }$

Parchalar formulasi bo'yicha integratsiya qilish uchun buni eslang ${ displaystyle X}$ Liovil o'lchovidan chiqadi ${ displaystyle mu}$ o'zgarmas va shuning uchun ${ displaystyle Xu = operatorname {div} _ {G} (uX)}$, Sasaki-metrikaga nisbatan farq ${ displaystyle G}$. Natijada shunday bo'ladi divergensiya teoremasi va buni kuzatish ${ displaystyle langle X (x, v), N (x, v) rangle _ {G} = langle v, nu (x) rangle _ {g}}$, qayerda ${ displaystyle N}$ ga normal tomonga qarab yo'naltirilgan birlik ${ displaystyle kısmi SM}$. Rezolyutsiya aniq tomonidan berilgan ${ displaystyle Rf (x, v) = int _ {0} ^ { tau (x, v)} f ( varphi _ {t} (x, v)) , dt}$ va xaritalash xususiyati ${ displaystyle C_ {c} ^ { infty} (SM smallsetminus partial _ {0} SM) rightarrow C ^ { infty} (SM)}$ ning silliqligidan kelib chiqadi ${ displaystyle tau: SM smallsetminus kısalt _ {0} SM rightarrow [0, infty)}$, bu tuzoqqa tushmaslik va konveksiya taxminining natijasidir.

Adabiyotlar

• Isaak Chavel (1995). "5.2 Santaloning formulasi". Riemann geometriyasi: zamonaviy kirish. Matematikadan Kembrij traktlari. 108. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-48578-9.