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Ellipsoïde

Ellipsoid mit (a, b, c) = (4, 2, 1)

EIN Ellipsoid ist ein quadratische Fläche mit drei senkrechten Symmetrieachsen.

Die Beziehung, dass ein Ellipsoid im Kartesisches Koordinatensystem beschreibt ist:

{displaystyle {x^{2} über a^{2}} {y^{2} über b^{2}} {z^{2} über c^{2}}=1}

In welchem ein, b und c fixiert die Form des Ellipsoids und gilt:

${displaystyle a={ frac {1}{2}}L}$ : halbe maximale Länge
${displaystyle b={ frac {1}{2}}B}$ : halbe maximale Breite
${displaystyle c={ frac {1}{2}}H}$ : halbe maximale Höhe

Wann ein = b = c dann handelt es sich um a Kugel.

Wenn wir fragen ein ≥ b ≥ c, gilt dann für:

ein ≠ b ergibt a ungleich Ellipsoid
c = 0 & ein ≠ c & b ≠ c liefert a ebenEllipse
b = c & ein ≠ b & ein ≠ c liefert a ausbreitensphäroid (zigarrenförmig)
ein = b & ein ≠ c & b ≠ c liefert a Oblate Sphäroid (pillenförmig)
ein = b = c erzeugt eine Kugel.

Jedes Ellipsoid kann durch Skalieren einer Kugel in eine oder zwei Richtungen (entlang orthogonaler Achsen) gebildet werden.

Parametervergleich

Konstruktion eines abgeplatteten Ellipsoids durch Drehen von a Ellipse (schwarz) um seine Nebenachse (orange)

Die folgende parametrische Gleichung stellt eine Ellipse in der xy-Ebene dar: ${displaystyle [acos(heta),bsin(heta),0]{frac {}{}}}$ ( ${Anzeigestil-Heta}$ von 0 bis ${Displaystil 2pi }$ ), n / A Drehung um die x-Achse wird die parametrische Gleichung zum Beispiel wordt ${displaystyle [acos(heta),bsin(heta)cos(phi),bsin(heta)sin(phi)]{frac {}{}}}$ , ( ${Anzeigestil-Heta}$ und ${Anzeigestil phi}$ von 0 bis ${Displaystil 2pi }$ )Erlaubt die Konstruktion eines gestreckten oder abgeflachten Ellipsoids, jedoch nicht eines ungleichen.

Volumen

Es Volumen eines Ellipsoids lässt sich leicht mit der Beziehung berechnen:

{displaystyle V={ frac {4}{3}}pi abc}

Basierend auf der maximalen Länge, Breite und Höhe wird das Volumen ausgedrückt durch:

{displaystyle V={ frac {1}{6}}pi LBHca. 0{,}524 LBH}

Oberfläche

Das Oberfläche ist viel schwieriger zu berechnen. Die analytische Herleitung ergibt:

{displaystyle A=2pi left(c^{2} {frac {bc^{2}}{sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(heta,m) b{sqrt {a^ {2}-c^{2}}}E(heta ,m)ight)}

wofür:

{displaystyle m={frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}

{displaystyle heta = arcsin {links(acht)}}

{displaystyle e={sqrt {1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}

und ${Anzeigestil F(heta, m)}$ und ${Anzeigestil E(heta,m)}$ sind unvollständig elliptische Integrale erster und zweiter Ordnung.

Daraus ergeben sich ungefähr die folgenden Beziehungen:

flache Ellipse:

{displaystyle = 2pi links (abight)}

(Faktor 2 wegen oberer Scheibe unterer Scheibe)

gestrecktes Ellipsoid:

{displaystyle ca. 2pi left(c^{2} ac{frac {arcsin {left(eight)}}{e}}ight)}

abgeflachtes Ellipsoid:

{displaystyle ca. 2pi left(a^{2} c^{2}{frac {operatorname {arctanh} {left(eight)}}{e}}ight)}

ungleiches Ellipsoid:

{displaystyle ca. 4pi übrig({frac {a^{p}b^{p} a^{p}c^{p} b^{p}c^{p}}{3}}ight)^{1/ p}}

Vor dem p ≈ 1,6075 ergibt einen relativen Fehler von bis zu 1,061% (Knud Thomsens Formel); ein Wert von p = 8/5 = 1,6 ist optimal für nahezu sphärische Ellipsoide mit einem relativen Fehler von bis zu 1,178 % (David W. Cantrells Formel).

Die Kugel und drei Arten von Ellipsoiden im Bild: blau die ungleiche, gelb die gestreckte und rot die abgeflachte Form.

Siehe auch

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