WikiDer > Sharsimon funktsiyalar uchun Plancherel teoremasi

Yilda matematika, Sharsimon funktsiyalar uchun Plancherel teoremasi ning muhim natijasidir vakillik nazariyasi ning semisimple Yolg'on guruhlari, yakuniy shaklida Xarish-Chandra. Bu tabiiy ravishda umumlashma komutativ bo'lmagan harmonik tahlil ning Plancherel formulasi va Fourier inversiya formulasi haqiqiy sonlar guruhini klassikada aks ettirish nazariyasida harmonik tahlil va nazariyasi bilan xuddi shunday yaqin o'zaro bog'liqlikka ega differentsial tenglamalar.Bu alohida holat zonal sferik funktsiyalar generalning Plancherel teoremasi yarim-oddiy Lie guruhlari uchun, shuningdek, Xarish-Chandra tomonidan isbotlangan. Plancherel teoremasi o'z funktsiyasini kengaytirish uchun radial funktsiyalar Laplasiya operatori bog'liq bo'lgan nosimmetrik bo'shliq X; u ham beradi to'g'ridan-to'g'ri integral parchalanish ichiga qisqartirilmaydigan vakolatxonalar ning doimiy vakillik Lda²(X). Bo'lgan holatdagiperbolik bo'shliq, bu kengayishlar ma'lum bo'lgan oldingi natijalar Mehlerdan, Veyl va Fok.

Ushbu materiallarning deyarli barchasi uchun asosiy ma'lumotnoma ensiklopedik matndir Helgason (1984).

Tarix

A bo'yicha Furye konvertatsiyasi uchun mavhum Plankherel formulasining birinchi versiyalari noodatiy mahalliy ixcham guruh G Segal va Mautner tufayli bo'lgan.^[1] Xuddi shu vaqtda, Xarish-Chandra^[2][3] va Gelfand va Naimark^[4][5] uchun aniq formuladan olingan SL (2, R) va murakkab semisimple Yolg'on guruhlari, shuning uchun ayniqsa Lorents guruhlari. Mautner tomonidan "topologik" nosimmetrik bo'shliq uchun oddiyroq mavhum formula olingan G/K a ga mos keladi maksimal ixcham kichik guruh K. Xudo uchun yanada aniq va qoniqarli shakl berdi ijobiy aniq sferik funktsiyalar, sinf maxsus funktsiyalar kuni G/K. Qachondan beri G a semisimple Lie group bu sferik funktsiyalar φ_λ a qismidagi tabiiy parametr bilan tabiiy ravishda belgilangan edi Evklid fazosi a harakati bilan cheklangan aks ettirish guruhi, aniq belgilash markaziy muammoga aylandi Plancherel o'lchovi ushbu parametrlash nuqtai nazaridan. G'oyalarini umumlashtirish Herman Veyl dan oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi, Xarish-Chandra^[6][7] taniqli bilan tanishtirdi c-funktsiyasi v(λ) sferik funktsiyalarning asimptotik harakatini tavsiflash uchun_λ va taklif qilingan v(λ)⁻² dc Plancherel o'lchovi sifatida. U ushbu formulani qachon maxsus holatlar uchun tasdiqladi G murakkab yoki haqiqiy daraja biri, shuning uchun, ayniqsa, qachon ishni qamrab oladi G/K a giperbolik bo'shliq. Umumiy holat c funktsiyasi va sharsimon Furye konvertatsiyasi deb ataladigan xususiyatlar to'g'risida ikkita taxminga qisqartirildi. Keyinchalik Bhanu-Murti tomonidan klassik yarim yarim Lie guruhlarining katta klassi uchun c funktsiyasi uchun aniq formulalar olingan. O'z navbatida, ushbu formulalar Gindikin va Karpelevichni mahsulot formulasini chiqarishga undadi^[8] c-funktsiyasi uchun 1-darajali holat uchun hisobni Xarish-Chandra formulasiga kamaytiradi. Ularning ishi nihoyat Xarish-Chandraning 1966 yilda sharsimon funktsiyalar uchun Plancherel teoremasini isbotlashini yakunladi.^[9]

Ko'pgina maxsus holatlarda, masalan, yarim semimple guruhi yoki Lorents guruhlari uchun to'g'ridan-to'g'ri nazariyani rivojlantirishning oddiy usullari mavjud. Ushbu guruhlarning ayrim kichik guruhlari taniqli metodlarni umumlashtiruvchi usullar bilan davolash mumkin "tushish usuli" sababli Jak Hadamard. Jumladan Flensted-Jensen (1978) haqiqiy yarim yarim guruh uchun sferik konvertatsiya qilish xususiyatlarini uning murakkablashuvidan chiqarishning umumiy usulini berdi.

Sferik konvertatsiya qilishning asosiy dasturlari va motivlaridan biri bu edi Selbergning iz formulasi. Klassik Puasson yig'indisi formulasi vektor guruhidagi Fourier inversiya formulasini kokompakt panjara ustiga yig'indisi bilan birlashtiradi. Ushbu formulaning Selberg analogida vektor guruhi bilan almashtiriladi G/K, Furye konferentsiyasi sferik konvertatsiya bilan, panjara esa kokompakt (yoki kofinit) diskret kichik guruh tomonidan amalga oshiriladi. Ning asl qog'ozi Selberg (1956) bilvosita sferik konvertatsiyani chaqiradi; bo'lgandi Godement (1957) transformatsiyani birinchi o'ringa olib chiqqan, xususan SL uchun elementar davolanishni ta'minlagan (2,R) Selberg tomonidan chizilgan chiziqlar bo'ylab.

Sferik funktsiyalar

Ruxsat bering G bo'lishi a yarim oddiy Yolg'on guruh va K a maksimal ixcham kichik guruh ning G. The Hekge algebra C_v(K G/K), ixcham qo'llab-quvvatlanadiganlardan iborat K-invariant uzluksiz funktsiyalar G, konvolyutsiya bo'yicha harakat qiladi Hilbert maydoni H=L²(G / K). Chunki G / K a nosimmetrik bo'shliq, bu * -algebra kommutativ. Operator me'yorida uning (Heke algebrasi) tasvirining yopilishi birdam bo'lmagan kommutativ hisoblanadi C * algebra ${displaystyle {mathfrak {A}}}$, shuning uchun Gelfand izomorfizmi uzluksiz funktsiyalar bilan aniqlanishi mumkin spektr X.^[10] Spektrdagi nuqtalar ning doimiy * -homomorfizmlari bilan berilgan ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ ichiga C, ya'ni belgilar ning ${displaystyle {mathfrak {A}}}$.

Agar S ' belgisini bildiradi komutant operatorlar to'plami S kuni H, keyin ${displaystyle {mathfrak {A}} ^ {prime}}$ ning komutanti bilan aniqlanishi mumkin doimiy vakillik ning G kuni H. Endi ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ pastki bo'shliqni o'zgarmas qoldiradi H₀ ning K- o'zgarmas vektorlar H. Bundan tashqari abeliyon fon Neyman algebra u yaratadi H₀ maksimal Abeliya. By spektral nazariya, aslida noyob narsa bor^[11] o'lchov m ga mahalliy ixcham bo'sh joy X va unitar o'zgarish U o'rtasida H₀ va L²(Xoperatorlari olib boruvchi, m) ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ mos keladigan ustiga ko'paytirish operatorlari.

Transformatsiya U deyiladi sferik Furye konvertatsiyasi yoki ba'zan faqat sferik konvertatsiya va m ga Plancherel o'lchovi. Hilbert maydoni H₀ bilan aniqlanishi mumkin L²(KG/K), bo'shliq K-invariant kvadrat integral funktsiyalari G.

Belgilar χ_λ ning ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ (ya'ni. ning nuqtalari X) tomonidan tavsiflanishi mumkin ijobiy aniq sferik funktsiyalar φ_λ kuni G, formula orqali

${displaystyle chi _ {lambda} (pi (f)) = int _ {G} f (g) cdot varphi _ {lambda} (g), dg.}$

uchun f yilda C_v(KG/K), qaerda π (f) konvolyutsiya operatorini ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ va integral integral bilan bog'liq Haar o'lchovi kuni G.

Sharsimon funktsiyalar φ_λ kuni G tomonidan berilgan Xarish-Chandraning formulasi:

${displaystyle varphi _ {lambda} (g) = int _ {K} lambda ^ {prime} (gk) ^ {- 1}, dk.}$

Ushbu formulada:

• integral Haar o'lchoviga bog'liq K;
• λ ning elementidir A* = Uy (A,T) qayerda A ichida Abeliya vektor kichik guruhi Ivasava parchalanishi G =KAN ning G;
• λ 'belgilanadi G birinchi navbatda λ ni a ga uzaytirish orqali belgi ning hal etiladigan kichik guruh ANguruh gomomorfizmidan foydalangan holda Ava keyin sozlash

${displaystyle lambda ^ {prime} (kx) = Delta _ {AN} (x) ^ {1/2} lambda (x)}$

uchun k yilda K va x yilda AN, qaerda Δ_AN bo'ladi modulli funktsiya ning AN.

• Ikki xil belgi λ₁ va λ₂ agar sp bo'lsa, xuddi shunday sferik funktsiyani bering₁ = λ₂·s, qayerda s ichida Veyl guruhi ning A

${displaystyle W = N_ {K} (A) / C_ {K} (A),}$

ning miqdori normalizator ning A yilda K uning tomonidan markazlashtiruvchi, a cheklangan aks ettirish guruhi.

Bundan kelib chiqadiki

• X kvota maydoni bilan aniqlanishi mumkin A*/V.

Sferik asosiy qatorlar

Sferik funktsiya φ_λ ning matritsa koeffitsienti bilan aniqlash mumkin sferik asosiy qatorlar ning G. Agar M bo'ladi markazlashtiruvchi ning A yilda K, bu unitar vakillik π deb ta'riflanadi_λ ning G induktsiya qilingan xarakteriga ko'ra B = KISHI ning homomorfizmi tarkibi bilan berilgan KISHI ustiga A va λ belgisi. Induksion vakolat funktsiyalar bo'yicha aniqlanadi f kuni G bilan

${displaystyle f (gb) = Delta (b) ^ {1/2} lambda (b) f (g)}$

uchun b yilda B tomonidan

${displaystyle pi (g) f (x) = f (g ^ {- 1} x),}$

qayerda

${displaystyle | f | ^ {2} = int _ {K} | f (k) | ^ {2}, dk$

Vazifalar f funktsiyalari bilan aniqlanishi mumkin²(K / M) va

${displaystyle chi _ {lambda} (g) = (pi (g) 1,1).}$

Sifatida Kostant (1969) isbotlangan, sferik asosiy qatorlarning tasvirlari kamaytirilmaydi va ikkita tasvir $ phi $_λ va π_m agar Ueyl guruhidagi ba'zi bir σ uchun m = σ (λ) bo'lsa, ular birlikka tengdir A.

Misol: SL (2, C)

Guruh G = SL (2,C) vaqtinchalik harakat qiladi kvaternionik yuqori yarim bo'shliq

${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3} = {x + yi + tj | t> 0}}$

tomonidan Mobiusning o'zgarishi. Murakkab matritsa

${displaystyle g = {egin {pmatrix} a & b c & dend {pmatrix}}}$

kabi harakat qiladi

${displaystyle g (w) = (aw + b) (cw + d) ^ {- 1}.}$

Nuqta stabilizatori j maksimal ixcham kichik guruhdir K = SU (2), shuning uchun ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3} = G / K.}$ U ko'taradi G-variant Riemann metrikasi

${displaystyle ds ^ {2} = r ^ {- 2} (dx ^ {2} + dy ^ {2} + dr ^ {2})}$

tegishli hajm elementi bilan

${displaystyle dV = r ^ {- 3}, dx, dy, dr}$

va Laplasiya operatori

${displaystyle Delta = -r ^ {2} (qisman _ {x} ^ {2} + qisman _ {y} ^ {2} + qisman _ {r} ^ {2}) + rpartial _ {r}.}$

Har bir nuqta ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$ sifatida yozilishi mumkin k(e^tj) bilan k SU (2) va t belgigacha aniqlangan. Laplasiyadagi SU (2) ostida o'zgarmas funktsiyalar bo'yicha quyidagi parametr mavjud bo'lib, haqiqiy parametr funktsiyalari sifatida qaraladi t:

${displaystyle Delta = -partial _ {t} ^ {2} -2coth tpartial _ {t}.}$

SU (2) -variant funktsiyasining integrali quyidagicha berilgan

${displaystyle int f, dV = int _ {- infty} ^ {infty} f (t), sinh ^ {2} t, dt.}$

Kvadrat bilan integrallangan SU (2) - o'zgarmas funktsiyalarni L bilan aniqlash²(R) unitar transformatsiya bilan Uf(t) = f(t) sinx t, Δ operatorga aylantirildi

${displaystyle U ^ {*} Delta U = - {d ^ {2} dan dt ^ {2}} + 1 gacha.}$

Tomonidan Plancherel teoremasi va Fourier inversiya formulasi uchun R, har qanday SU (2) - o'zgarmas funktsiya f sferik funktsiyalar bilan ifodalanishi mumkin

${displaystyle Phi _ {lambda} (t) = {sin lambda t ustidan lambda sinh t},}$

sferik konvertatsiya bilan

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int fPhi _ {- lambda}, dV}$

va sferik inversiya formulasi

${displaystyle f (x) = int {ilde {f}} (lambda) Phi _ {lambda} (x) lambda ^ {2}, dlambda.}$

Qabul qilish ${displaystyle f = f_ {2} ^ {*} yulduz f_ {1}}$ bilan f_men Cda_v(G / K) va ${displaystyle f ^ {*} (g) = {overline {f (g ^ {- 1})}}}$, va baholash men hosil beradi Plancherel formulasi

${displaystyle int _ {G} f_ {1} {overline {f_ {2}}}, dg = int {ilde {f}} _ {1} (lambda) {overline {{ilde {f}} _ {2} (lambda)}}, lambda ^ {2}, dlambda.}$

Ikki o'zgaruvchan funktsiyalar uchun bu quyidagilarni belgilaydi Sharsimon funktsiyalar uchun Plancherel teoremasi: xarita

${displaystyle {egin {case} U: L ^ {2} (K ackslash G / K) o L ^ {2} (mathbb {R}, lambda ^ {2}, dlambda) flongmapsto {ilde {f}} end {holatlar}}}$

unitar va tomonidan belgilangan konvolusiya operatorini yuboradi ${displaystyle fin L ^ {1} (K ackslash G / K)}$ tomonidan aniqlangan ko'paytirish operatoriga ${displaystyle {ilde {f}}}$.

Sferik funktsiya Φ_λ bu o'ziga xos funktsiya laplacian:

${displaystyle Delta Phi _ {lambda} = (lambda ^ {2} +1) Phi _ {lambda}.}$

Shvarts vazifalari kuni R funktsiyalarning sferik o'zgarishi f Xarish-Chandra Shvarts fazosiga tegishli

${displaystyle {mathcal {S}} = left {fleft | sup _ {t} left | (1 + t ^ {2}) ^ {N} (I + Delta) ^ {M} f (t) sinh (t) ight |$

Tomonidan Peyli-Viner teoremasi, ning silliq SU (2) - o'zgarmas funktsiyalarining sferik o'zgarishlari ixcham qo'llab-quvvatlash aniq funktsiyalar mavjud R bu cheklovlar holomorfik funktsiyalar kuni C eksponent o'sish shartini qondirish

${displaystyle | F (lambda) | leq Ce ^ {R | {m {Im}} lambda |}.}$

Funktsiya sifatida G, Φ_λ - L da aniqlangan sferik asosiy qatorning matritsa koeffitsienti²(C), qaerda C chegarasi bilan aniqlanadi ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$. Taqdimot formula bilan berilgan

${displaystyle pi _ {lambda} (g ^ {- 1}) xi (z) = | cz + d | ^ {- 2-ilambda} xi (g (z)).}$

Funktsiya

${displaystyle xi _ {0} (z) = pi ^ {- 1} chap (1+ | z | ^ {2} ight) ^ {- 2}}$

SU (2) va bilan belgilanadi

${displaystyle Phi _ {lambda} (g) = (pi _ {lambda} (g) xi _ {0}, xi _ {0}).}$

Vakolatxonalari π_λ faqat λ belgisi o'zgartirilganda kamaytirilmaydi va birlikka teng. Xarita V ning ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {3})}$ L ga²([0, ∞) xC) (measure o'lchov bilan² dfactor birinchi omil bo'yicha) tomonidan berilgan

${displaystyle Wf (lambda, z) = int _ {G / K} f (g) pi _ {lambda} (g) xi _ {0} (z), dg}$

unitar va parchalanishini beradi ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {3})}$ kabi to'g'ridan-to'g'ri integral sferik asosiy qatorlar.

Misol: SL (2, R)

Guruh G = SL (2,R) Puankarening yuqori yarim tekisligida tranzitiv harakat qiladi

${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2} = {x + ri | r> 0}}$

tomonidan Mobiusning o'zgarishi. Murakkab matritsa

${displaystyle g = {egin {pmatrix} a & b c & dend {pmatrix}}}$

kabi harakat qiladi

${displaystyle g (w) = (aw + b) (cw + d) ^ {- 1}.}$

Nuqta stabilizatori men maksimal ixcham kichik guruhdir K = SO (2), shuning uchun ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ = G / K.Bu ko'taruvchidir G-variant Riemann metrikasi

${displaystyle ds ^ {2} = r ^ {- 2} (dx ^ {2} + dr ^ {2})}$

bog'liq maydon elementi bilan

${displaystyle dA = r ^ {- 2}, dx, dr}$

va Laplasiya operatori

${displaystyle Delta = -r ^ {2} (qisman _ {x} ^ {2} + qisman _ {r} ^ {2}).}$

Har bir nuqta ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ sifatida yozilishi mumkin k( e^t men ) bilan k SO (2) va t belgigacha aniqlangan. Laplasiyan SO (2) ostida o'zgarmas funktsiyalar bo'yicha quyidagi parametrga ega, haqiqiy parametr funktsiyalari sifatida qaraladi t:

${displaystyle Delta = -partial _ {t} ^ {2} -coth tpartial _ {t}.}$

SO (2) -variant funktsiyasining integrali quyidagicha berilgan

${displaystyle int f, dA = int _ {- infty} ^ {infty} f (t), | sinh t |, dt.}$

Ushbu oddiy differentsial tenglama uchun o'ziga xos funktsiya kengayishini olishning bir necha usullari mavjud, shu jumladan:

1. klassik oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi ga qo'llaniladi gipergeometrik tenglama (Mehler, Veyl, Fok);
2. 2-o'lchovli giperbolik makonni 3-o'lchovli giperbolik makonning bir qismi sifatida SL (2,C);
3. Selberg va Godementdan so'ng Abelning integral tenglamasi;
4. orbital integrallar (Xarish-Chandra, Gelfand va Naimark).

Ikkinchi va uchinchi texnika quyida ikki xil tushish usuli bilan tavsiflanadi: issiqlik tenglamasini davolash usullarini yaxshi biladigan Xadamardning klassik usuli.^[12] va to'lqin tenglamasi^[13] giperbolik bo'shliqda; va giperboloid bo'yicha Flensted-Jensen usuli.

Hadamardning kelib chiqish usuli

Agar f(x,r) funktsiya ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ va

${displaystyle M_ {1} f (x, y, r) = r ^ {1/2} cdot f (x, r)}$

keyin

${displaystyle Delta _ {3} M_ {1} f = M_ {1} chapda (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} ight) f,}$

qaerda Δ_n laplasiya yoqilgan ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {n}}$.

SL (2,C) bilan harakat qiladi₃, operator M₀ o'rtacha hisobidan olingan S0 (2) - o'zgarmas funktsiyalar bo'yicha M₁f SU (2) harakati bilan ham qondiradi

${displaystyle Delta _ {3} M_ {0} = M_ {0} chapda (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} tun).}$

Birlashtirilgan operator M₁* tomonidan belgilanadi

${displaystyle M_ {1} ^ {*} F (x, r) = r ^ {1/2} int _ {- infty} ^ {infty} F (x, y, r), dy}$

qondiradi

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {3}} (M_ {1} f) cdot F, dV = int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} fcdot (M_ {1} ^ {) *} F), dA.}$

Qo'shimcha M₀*, o'rtacha hisoblash bilan aniqlanadi M*f SO (2) ustidan qondiradi

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {3}} (M_ {0} f) cdot F, dV = int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} fcdot (M_ {0} ^ {) *} F), dA}$

SU (2) -variant funktsiyalar uchun F va SO (2) - o'zgarmas funktsiyalar f. Bundan kelib chiqadiki

${displaystyle M_ {i} ^ {*} Delta _ {3} = chap (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} tun) M_ {i} ^ {*}.}$

Funktsiya

${displaystyle f_ {lambda} = M_ {1} ^ {*} Phi _ {lambda}}$

SO (2) - o'zgarmas va qondiradi

${displaystyle Delta _ {2} f_ {lambda} = chap (lambda ^ {2} + {frac {1} {4}} ight) f_ {lambda}.}$

Boshqa tarafdan,

${displaystyle b (lambda) = f_ {lambda} (i) = int {sin lambda t ustidan lambda sinh t}, dt = {pi lambda ustida anh {pi lambda 2} dan yuqori,}$

chunki integralni integral yordamida hisoblash mumkin ${displaystyle e ^ {ilambda t} / sinh t}$ ± vertikallari bilan to'rtburchaklar ichkariga kiruvchi kontur atrofidaR va ±R + πi. Shunday qilib o'ziga xos funktsiya

${displaystyle phi _ {lambda} = b (lambda) ^ {- 1} M_ {1} Phi _ {lambda}}$

normallashtirish shartini ies qondiradi_λ(men) = 1. Bunday echim faqat bitta bo'lishi mumkin, chunki Vronskiy oddiy differentsial tenglamaning yo'q bo'lib ketishi yoki sinxda quvvat qatori sifatida kengayishi kerak r.^[14] Bundan kelib chiqadiki

${displaystyle varphi _ {lambda} (e ^ {t} i) = {1 over 2pi} int _ {0} ^ {2pi} (cosh t-sinh tcos heta) ^ {- 1-ilambda}, d heta.}$

Xuddi shunday, bundan kelib chiqadi

${displaystyle Phi _ {lambda} = M_ {1} phi _ {lambda}.}$

Agar SO (2) -variant funktsiyasining sferik o'zgarishi ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ bilan belgilanadi

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int fvarphi _ {- lambda}, dA,}$

keyin

${displaystyle {(M_ {1} ^ {*} F)} ^ {sim} (lambda) = {ilde {F}} (lambda).}$

Qabul qilish f=M₁*F, SL (2,C) uchun inversiya formulasi F darhol hosil beradi

${displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {lambda} (x) {ilde {f}} (lambda) {lambda pi over 2} anh left ({pi lambda over 2} ight ), dlambda,}$

SO (2) - o'zgarmas funktsiyalar uchun sferik inversiya formulasi ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$.

SL ga kelsak (2,C), bu darhol Plancherel formulasini nazarda tutadi f_men Cda_v(SL (2,R) / SO (2)):

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} f_ {1} {overline {f_ {2}}}, dA = int _ {- infty} ^ {infty} {ilde {f}} _ { 1} {overline {ilde {f_ {2}}}} {lambda pi 2} anh chapdan ({pi lambda 2} ight dan yuqori), dlambda.}$

Sferik funktsiya φ_λ bu o'ziga xos funktsiya laplacian:

${displaystyle Delta _ {2} varphi _ {lambda} = chap (lambda ^ {2} + {frac {1} {4}} ight) varphi _ {lambda}.}$

Shvarts vazifalari kuni R funktsiyalarning sferik o'zgarishi f Xarish-Chandra Shvarts fazosiga tegishli

${displaystyle {mathcal {S}} = left {fleft | sup _ {t} left | (1 + t ^ {2}) ^ {N} (I + Delta) ^ {M} f (t) varphi _ {0 } (t) ight |$

Ning SO (2) - o'zgarmas funktsiyalarining sferik o'zgarishlari ixcham qo'llab-quvvatlash aniq funktsiyalar yoqilgan R bu cheklovlar holomorfik funktsiyalar kuni C eksponent o'sish shartini qondirish

${displaystyle | F (lambda) | leq Ce ^ {R | Im lambda |}.}$

Ushbu ikkala natijani SL (2,) uchun tegishli natijalardan kelib chiqish yo'li bilan aniqlash mumkin.C),^[15] sferik konvertatsiya berilgan o'sish sharoitlarini qondirishini to'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali^[16][17] va keyin munosabatdan foydalanib ${displaystyle (M_ {1} ^ {*} F) ^ {sim} = {ilde {F}}}$.

Funktsiya sifatida G, φ_λ - L da aniqlangan sferik asosiy qatorning matritsa koeffitsienti²(R), qaerda R chegarasi bilan aniqlanadi ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$. Taqdimot formula bilan berilgan

${displaystyle pi _ {lambda} (g ^ {- 1}) xi (x) = | cx + d | ^ {- 1-ilambda} xi (g (x)).}$

Funktsiya

${displaystyle xi _ {0} (x) = pi ^ {- 1} (1+ | x | ^ {2}) ^ {- 1}}$

SO (2) va bilan belgilanadi

${displaystyle Phi _ {lambda} (g) = (pi _ {lambda} (g) xi _ {0}, xi _ {0}).}$

Vakolatxonalari π_λ faqat λ belgisi o'zgartirilganda kamaytirilmaydi va birlikka teng. Xarita ${displaystyle W: L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {2}) o L ^ {2} ([0, infty) imes mathbf {R})}$ o'lchov bilan ${displaystyle {frac {lambda pi} {2}} anh chap ({frac {pi lambda} {2}} ight), dlambda}$ birinchi omil bo'yicha, formula bilan berilgan

${displaystyle Wf (lambda, x) = int _ {G / K} f (g) pi _ {lambda} (g) xi _ {0} (x), dg}$

unitar va parchalanishini beradi ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {2})}$ kabi to'g'ridan-to'g'ri integral sferik asosiy qatorlar.

Flensted-Jensenning kelib chiqish usuli

Hadamardning kelib chiqish usuli tarjimalarning 1 parametrli kichik guruhi ta'sirida o'zgarmas funktsiyalarga asoslangan edi. y parametr in ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$. Flensted-Jensen usuli SL (2, da SO (2) ning markazlashtiruvchisidan foydalanadiC) bu SO (2) va 1 parametrli kichik guruhning to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti sifatida bo'linadi K₁ matritsalar

${displaystyle g_ {t} = {egin {pmatrix} cosh t & isinh t -isinh t & cosh tend {pmatrix}}.}$

Nosimmetrik bo'shliq SL (2,C) / SU (2) bo'shliq bilan aniqlanishi mumkin H³ ijobiy 2 × 2 matritsalarning A determinant 1 bilan

${displaystyle A = {egin {pmatrix} a + b & x + iy x-iy & a-bend {pmatrix}}}$

tomonidan berilgan guruh harakati bilan

${displaystyle gcdot A = gAg ^ {*}.,}$

Shunday qilib

${displaystyle g_ {t} cdot A = {egin {pmatrix} acosh 2t + ysinh 2t + b & x + i (ycosh 2t + asinh 2t) xi (ycosh 2t + asinh 2t) & acosh 2t + ysinh 2t-bend {pmatrix}} .}$

Shunday qilib giperboloid ${displaystyle a ^ {2} = 1 + b ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2}}$, g_t faqat koordinatalarni o'zgartiradi y va a. Xuddi shunday SO (2) ning harakati ham koordinatalarda (b,x) tark etish a va y o'zgarishsiz. Bo'sh joy H² haqiqiy qiymatli ijobiy matritsalar A bilan y = 0 ni identifikatsiya matritsasi orbitasida SL (2,R). Koordinatalarni olish (b,x,y) ichida H³ va (b,x) ustida H² hajmi va maydoni elementlari tomonidan berilgan

${displaystyle dV = (1 + r ^ {2}) ^ {- 1/2}, db, dx, dy ,,,, dA = (1 + r ^ {2}) ^ {- 1/2}, db , dx,}$

qayerda r² teng b² + x² + y² yoki b² + x²,Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida r kelib chiqishi bilan giperbolik masofa bilan bog'liq ${displaystyle r = sinh t}$.

The Laplasiya operatorlari formulasi bilan berilgan

${displaystyle Delta _ {n} = - L_ {n} -R_ {n} ^ {2} - (n-1) R_ {n} ,,}$

qayerda

${displaystyle L_ {2} = qisman _ {b} ^ {2} + qisman _ {x} ^ {2} ,,,, R_ {2} = bpartial _ {b} + xpartial _ {x}}$

va

${displaystyle L_ {3} = qisman _ {b} ^ {2} + qisman _ {x} ^ {2} + qisman _ {y} ^ {2} ,,,, R_ {3} = bpartial _ {b} + xpartial _ {x} + ypartial _ {y}.,}$

SU (2) - o'zgarmas funktsiya uchun F kuni H³ va SO (2) - o'zgarmas funktsiya H²ning funktsiyalari sifatida qaraladi r yoki t,

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = 4pi int _ {- infty} ^ {infty} F (t) sinh ^ {2} t, dt ,,,, int _ {H ^ {2} } f, dV = 2pi int _ {- infty} ^ {infty} f (t) sinh t, dt.}$

Agar f(b,x) funktsiya H², Ef bilan belgilanadi

${displaystyle Ef (b, x, y) = f (b, x).,}$

Shunday qilib

${displaystyle Delta _ {3} Ef = E (Delta _ {2} -R_ {2}) f.,}$

Agar f SO (2) -variant, keyin bog'liqdir f funktsiyasi sifatida r yoki t,

${displaystyle (-Delta _ {2} + R_ {2}) f = qisman _ {t} ^ {2} f + coth tpartial _ {t} f + rpartial _ {r} f = qisman _ {t} ^ { 2} f + (c t + anh t) qisman _ {t} f.}$

Boshqa tarafdan,

${displaystyle qisman _ {t} ^ {2} + (coth t + anh t) qisman _ {t} = qisman _ {t} ^ {2} + 2coth (2t) qisman _ {t}.}$

Shunday qilib, sozlash Sf(t) = f(2t),

${displaystyle displaystyle {(Delta _ {2} -R_ {2}) Sf = 4SDelta _ {2} f},}$

fundamentalga olib boradi kelib chiqish munosabati -Flensted-Jensen uchun M₀ = ES:

${displaystyle displaystyle {Delta _ {3} M_ {0} f = 4M_ {0} Delta _ {2} f.}}$

Xuddi shu munosabat bilan ham amal qiladi M₀ tomonidan M, qayerda Mf o'rtacha hisoblash yo'li bilan olinadi M₀f SU (2) ustidan.

Kengaytma Ef ichida doimiy bo'ladi y o'zgaruvchan va shuning uchun transformatsiyalar ostida o'zgarmasdir g_s. Boshqa tomondan, uchunF mos funksiya yoqilgan H³, funktsiyasi QF tomonidan belgilanadi

${displaystyle QF = int _ {K_ {1}} Fcirc g_ {s}, ds}$

dan mustaqil y o'zgaruvchan. O'zgaruvchilarning to'g'ridan-to'g'ri o'zgarishi shuni ko'rsatadiki

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = int _ {H ^ {2}} (1 + b ^ {2} + x ^ {2}) ^ {1/2} QF, dA.}$

Beri K₁ SO (2) bilan qatnov, QF SO (2) ga teng - agar o'zgarmas bo'lsa F bo'ladi, xususan, agar F SU (2) - o'zgarmasdir. Ushbu holatda QF ning funktsiyasi r yoki t, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida M*F tomonidan belgilanishi mumkin

${displaystyle M ^ {*} F (t) = QF (t / 2).}$

Yuqoridagi integral formula hosil bo'ladi

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = int _ {H ^ {2}} M ^ {*} F, dA}$

va shuning uchun, chunki f SO (2) -variant,

${displaystyle M ^ {*} ((Mf) cdot F) = fcdot (M ^ {*} F),}$

quyidagi qo'shma formula:

${displaystyle int _ {H ^ {3}} (Mf) cdot F, dV = int _ {H ^ {2}} fcdot (M * F), dV.}$

Natijada

${displaystyle M ^ {*} Delta _ {3} = 4Delta _ {2} M ^ {*}.}$

Shunday qilib, Hadamardning nasl-nasab usulida bo'lgani kabi.

${displaystyle M ^ {*} Phi _ {2lambda} = b (lambda) varphi _ {lambda}}$

bilan

${displaystyle displaystyle {b (lambda) = M ^ {*} Phi _ {2lambda} (0) = pi anh pi lambda}}$

va

${displaystyle Phi _ {2lambda} = Mvarphi _ {lambda}.}$

Bundan kelib chiqadiki

${displaystyle {(M ^ {*} F)} ^ {sim} (lambda) = {ilde {F}} (2lambda).}$

Qabul qilish f=M*F, SL (2,Cuchun inversiya formulasi F keyin darhol hosil beradi

${displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {lambda} (x) {ilde {f}} (lambda), {lambda pi over 2} anh ({pi lambda 2} over) , dlambda,}$

Abelning integral tenglamasi

Sferik funktsiya φ_λ tomonidan berilgan

${displaystyle varphi _ {lambda} (g) = int _ {K} alfa ^ {prime} (kg), dk,}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {S} f (s) alfa ^ {prime} (s), ds,}$

Shunday qilib

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {0} ^ {infty} f ((a ^ {2} + a ^ {- 2} + b ^ { 2}) / 2) a ^ {- ilambda / 2}, da, db,}$

shuning uchun belgilaydigan F tomonidan

${displaystyle F (u) = int _ {- infty} ^ {infty} f (u + {t ^ {2} 2} dan yuqori), dt,}$

sferik konvertatsiya yozilishi mumkin

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {0} ^ {infty} F ({a ^ {2} + a ^ {- 2} 2} dan yuqori) a ^ {- ilambda}, da = int _ {0} ^ {infty} F (cosh t) e ^ {- itlambda}, dt.}$

Orasidagi bog'liqlik F va f tomonidan klassik ravishda teskari aylantiriladi Abel integral tenglamasi:

${displaystyle f (x) = {- 1 ustidan 2pi} int _ {- infty} ^ {infty} F ^ {prime} (x + {t ^ {2} 2} dan yuqori), dt.}$

Aslini olib qaraganda^[18]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} F ^ {prime} (x + {t ^ {2} 2} dan yuqori), dt = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ { infty} f ^ {prime} (x + {t ^ {2} + u ^ {2} dan 2} gacha), dt, du = {2pi} int _ {0} ^ {infty} f ^ {prime} (x + { r ^ {2} 2} dan yuqori) r, dr = 2pi f (x).}$

Orasidagi bog'liqlik F va ${displaystyle {ilde {f}}}$ tomonidan teskari bo'ladi Fourier inversiya formulasi:

${displaystyle F (cosh t) = {2 over pi} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (ilambda) cos (lambda t), dlambda.}$

Shuning uchun

${displaystyle f (i) = {1 ustidan 2pi ^ {2}} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) lambda, dlambda int _ {- infty} ^ {infty} {sin lambda t / 2 ustidan sinh t} cosh {t ustidan 2}, dt = {1 ustidan 2pi ^ {2}} int _ {- infty} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) {lambda pi 2 dan yuqori anh ({pi lambda 2} dan yuqori), dlambda.}$

Bu nuqta uchun sferik inversiyani beradi men. Endi aniqlangan g SL ichida (2,R) aniqlang^[19]

${displaystyle f_ {1} (w) = int _ {K} f (gkw), dk,}$

yana bir burilish o'zgarmas funktsiyasi ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ bilan f₁(i) =f(g(men)). Boshqa tomondan, biinvariant funktsiyalar uchun f,

${displaystyle pi _ {lambda} (f) xi _ {0} = {ilde {f}} (lambda) xi _ {0}}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${displaystyle {ilde {f}} _ {1} (lambda) = {ilde {f}} (lambda) cdot varphi _ {lambda} (w),}$

qayerda w = g(men). Buni yuqoridagi inversiya formulasi bilan birlashtirish f₁ umumiy sferik inversiya formulasini beradi:

${displaystyle f (w) = {1 over pi ^ {2}} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (w) {lambda pi over 2} anh ( {pi lambda 2} dan yuqori), dlambda.}$

Boshqa maxsus holatlar

Barcha murakkab yarim semple Lie guruhlari yoki Lorents guruhlari SO⁰(N, 1) bilan N g'alati to'g'ridan-to'g'ri odatdagi Fourier konvertatsiyasiga kamaytirish orqali davolash mumkin.^[15][20] Qolgan haqiqiy Lorents guruhlarini Flensted-Jensenning kelib chiqish usuli bilan topish mumkin, xuddi boshqa birinchi yarim darajadagi Lie guruhlari singari.^[21] Flensted-Jensenning kelib chiqish usuli, Lie algebralari bo'lgan haqiqiy yarim oddiy Lie guruhlarini davolashga ham tegishli. normal haqiqiy shakllar Lie algebralari.^[15] SLning maxsus holati (N,R) batafsil ko'rib chiqiladi Jorgenson va Lang (2001); bu guruh SL ning normal haqiqiy shakli (N,C).

Yondashuvi Flensted-Jensen (1978) o'zboshimchalik bilan haqiqiy darajadagi yolg'on guruhlarning keng sinfiga taalluqlidir va Plancherel o'lchovining aniq mahsulot shaklini beradi. ${displaystyle {mathfrak {a}}}$* Harish-Chandraning sferik funktsiyalarini kengaytirishdan foydalanmasdan_λuning c-funktsiyasi bo'yicha, quyida muhokama qilinadi. Umumiy bo'lmagan bo'lsa-da, bu guruh guruhi uchun Plancherel teoremasiga soddalashtirilgan yondashuvni beradi.

Murakkab semisimple Lie guruhlari

Agar G murakkab yarim semiz Lie guruhi, u murakkablashuv uning maksimal ixcham kichik guruhi U, ixcham yarim semiz Lie guruhi. Agar ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ va ${displaystyle {mathfrak {u}}}$ ularning yolg'on algebralari ${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {u}} oplus i {mathfrak {u}}.}$ Ruxsat bering T bo'lishi a maksimal torus yilda U Lie algebra bilan ${displaystyle {mathfrak {t}}.}$ Keyin sozlash

${displaystyle A = exp i {mathfrak {t}}, qquad P = exp i {mathfrak {u}},}$

bor Karton parchalanishi:

${displaystyle G = Pcdot U = UAU.}$

Sonli o'lchovli qisqartirilmaydigan tasvirlar π_λ ning U aniq λ in bilan indekslanadi ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$.^[22] Tegishli belgi formulasi va ning o'lchov formulasi Herman Veyl uchun aniq formulalar bering

${displaystyle chi _ {lambda} (e ^ {X}) = {m {Tr}}, pi _ {lambda} (e ^ {X}), (Xin {mathfrak {t}})), qquad d (lambda ) = dim pi _ {lambda}.}$

Dastlab belgilangan ushbu formulalar ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*} imes {mathfrak {t}}}$ va ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$, holomorfikani ularning murakkablashuvlariga qadar kengaytiring. Bundan tashqari,

${displaystyle chi _ {lambda} (e ^ {X}) = {sum _ {sigma in W} {m {sign}} (sigma) e ^ {ilambda (sigma X)} over the delta (e ^ {X}) },}$

qayerda V bo'ladi Veyl guruhi ${displaystyle W = N_ {U} (T) / T}$ va δ (e^X) mahsulot formulasi (Veylning maxraj formulasi) bilan berilgan bo'lib, ular holomorfik ravishda komplekslanishgacha cho'ziladi. ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Shunga o'xshash mahsulot formulasi mavjud d(λ), λ koeffitsienti.

Kompleks guruh haqida G, a ning ajralmas qismi U-invariant funktsiya F deb baholash mumkin

${displaystyle int _ {G} F (g), dg = {1 ustidan | W |} int _ {mathfrak {a}} F (e ^ {X}), | delta (e ^ {X}) | ^ { 2}, dX.}$

qayerda ${displaystyle {mathfrak {a}} = i {mathfrak {t}}}$.

Ning sferik funktsiyalari G λ in bilan belgilanadi ${displaystyle {mathfrak {a}} = i {mathfrak {t}} ^ {*}}$ va Xarish-Chandra-Berezin formulasi bilan berilgan^[23]

${displaystyle Phi _ {lambda} (e ^ {X}) = {chi _ {lambda} (e ^ {X}) over d (lambda)}.}$

Ular ning kamaytirilmaydigan sferik asosiy seriyasining matritsa koeffitsientlari G xarakteridan kelib chiqqan Borel kichik guruhi ning G λ ga mos keladigan; bu vakolatxonalarni qisqartirish mumkin emas va barchasi L da amalga oshirilishi mumkin²(U/T).

A ning sferik konversiyasi U-invariant funktsiya F tomonidan berilgan

${displaystyle {ilde {F}} (lambda) = int _ {G} F (g) Phi _ {- lambda} (g), dg}$

va sferik inversiya formulasi tomonidan

${displaystyle F (g) = {1 over | W |} int _ {{mathfrak {a}} ^ {*}} {ilde {F}} (lambda) Phi _ {lambda} (g) | d (lambda) | ^ {2}, d, lambda = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {F}} (lambda) Phi _ {lambda} (g) | d (lambda) | ^ {2}, d, lambda,}$

qayerda ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ a Veyl xonasi. Aslida natija Fourier inversiya formulasi kuni ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ beri^[24]

${displaystyle d (lambda) delta (e ^ {X}) Phi _ {lambda} (e ^ {X}) = sum _ {sigma in W} {m {sign}} (sigma) e ^ {ilambda (X) },}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${displaystyle displaystyle {overline {d (lambda)}} {ilde {F}} (lambda)}$ faqat Furye konvertatsiyasi ning ${displaystyle displaystyle F (e ^ {X}) delta (e ^ {X})}$.

E'tibor bering nosimmetrik bo'shliq G/U kabi bor ixcham dual^[25] ixcham nosimmetrik bo'shliq U x U / U, qayerda U diagonal kichik guruhdir. Bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan so'nggi bo'shliq uchun sferik funktsiyalar U o'zi, normallashtirilgan belgilar are_λ/d(λ) ning ichki qismidagi panjara nuqtalari bilan indekslangan ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ va roli A o'ynaydi T. Ning sferik o'zgarishi f a sinf funktsiyasi kuni U tomonidan berilgan

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {U} f (u) {{overline {chi _ {lambda} (u)}} over d (lambda)}, du}$

va sferik inversiya formulasi endi nazariyasidan kelib chiqadi Fourier seriyasi kuni T:

${displaystyle f (u) = sum _ {lambda} {ilde {f}} (lambda) {chi _ {lambda} (u) over d (lambda)} d (lambda) ^ {2}.}$

Ushbu formulalar bilan ixcham bo'lmagan ikkilik formulalari o'rtasida aniq ikkilik mavjud.^[26]

Haqiqiy semimple Lie guruhlari

Ruxsat bering G₀ bo'lishi a normal haqiqiy shakl murakkab yarim oddiy Lie guruhi G, $ L $ algebraidagi konjugat chiziqli involyatsiyaning sobit nuqtalari G. $ Delta $ karton involyutsiyasi bo'lsin G₀ ning involyutsiyasiga qadar kengaytirilgan G, Lie algebrasida murakkab chiziqli, σ bilan harakatlanish uchun tanlangan. $ D $ ning sobit nuqtali kichik guruhi - bu ixcham haqiqiy shakl U ning G, kesishgan G₀ maksimal ixcham kichik guruhda K₀. $ Delta $ ning sobit nuqta kichik guruhi K, ning murakkablashishi K₀. Ruxsat bering G₀= K₀·P₀ ning tegishli karton dekompozitsiyasi bo'ling G₀ va ruxsat bering A ning maksimal Abeliya kichik guruhi bo'ling P₀. Flensted-Jensen (1978) buni isbotladi

${displaystyle displaystyle G = KA _ {+} U,}$

qayerda A₊ Weyl kamerasining yopilishining tasviri ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ eksponent xarita ostida. Bundan tashqari,

${displaystyle K ackslash G / U = A _ {+}.}$

Beri

${displaystyle K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0} = A _ {+}}$

shundan kelib chiqadiki, o'rtasida kanonik identifikatsiya mavjud K G / U, K₀ G₀ /K₀ va A₊. Shunday qilib K₀-invariant funktsiyalari G₀ funktsiyalari bilan aniqlanishi mumkin A₊ funktsiyalar kabi G ostida o'zgarmas qolgan K va ostida o'zgarmas U. Ruxsat bering f funktsiya bo'lishi ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0})}$ va aniqlang Mf yilda${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (U ackslash G / U)}$ tomonidan

${displaystyle displaystyle Mf (a) = int _ {U} f (ua ^ {2}), du.}$

Bu erda kartonning uchinchi parchalanishi G = BAU aniqlash uchun ishlatilgan U G / U bilan A₊.

$ L $ laplasiya yoniq bo'lsin G₀/K₀ va let ga ruxsat bering_v laplasiya bo'ling G/U. Keyin

${displaystyle displaystyle 4MDelta = Delta _ {c} M.}$

Uchun F yilda ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (U ackslash G / U)}$, aniqlang M*F yilda ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0})}$ tomonidan

${displaystyle displaystyle M ^ {*} F (a ^ {2}) = int _ {K} F (ga), dg.}$

Keyin M va M* ikkilik munosabatlarini qondirish

${displaystyle displaystyle int _ {G / U} (Mf) cdot F = int _ {G_ {0} / K_ {0}} fcdot (M ^ {*} F).}$

Jumladan

${displaystyle displaystyle M ^ {*} Delta _ {c} = 4Delta M ^ {*}.}$

Markazidagi boshqa operatorlar uchun ham shunga o'xshash muvofiqlik mavjud universal qoplovchi algebra ning G₀. Bu sharsimon funktsiyalarning o'ziga xos funktsional tavsifidan kelib chiqadi ${displaystyle M ^ {*} Phi _ {2lambda}}$ φ ga mutanosib_λ kuni G₀, mutanosiblik konstantasi tomonidan berilgan

${displaystyle b (lambda) = M ^ {*} Phi _ {2lambda} (1) = int _ {K} Phi _ {2lambda} (k), dk.}$

Bundan tashqari, bu holda^[27]

${displaystyle displaystyle (M ^ {*} F) ^ {sim} (lambda) = {ilde {F}} (2lambda).}$

Agar f = M*F, keyin uchun sferik inversiya formulasi F kuni G shuni anglatadiki f kuni G₀:^[28][29]

${displaystyle f (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g) ,, 2 ^ {{m { dim}}, A} cdot | b (lambda) | cdot | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda,}$

beri

${displaystyle f (g) = M ^ {*} F (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {F}} (2lambda) M ^ {*} Phi _ {2lambda} (g) 2 ^ {{m {dim}}, A} | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g) ,, b (lambda) 2 ^ {{m {dim}}, A} | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda.}$

Uchun integralni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash b(λ), ning hisob-kitoblarini umumlashtiruvchi Godement (1957) SL uchun (2,R) tomonidan ochiq muammo sifatida qoldirilgan Flensted-Jensen (1978).^[30] Uchun aniq mahsulot formulasi b(d) Plancherel o'lchovining oldindan aniqlanishidan ma'lum bo'lganXarish-Chandra (1966), berib^[31][32]

${displaystyle b (lambda) = Ccdot d (2lambda) ^ {- 1} cdot prod _ {alfa> 0} anh {pi (alfa, lambda) over (alfa, alfa)},}$

$ a $ ning ijobiy ildizlari bo'ylab o'zgarib turadi ildiz tizimi yilda ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ va C mahsulotlarining miqdori sifatida berilgan normalizatsiya doimiysi Gamma funktsiyalari.

Xarish-Chandraning Plancherel teoremasi

Ruxsat bering G cheklangan markazga ega bo'lgan ixcham bo'lmagan ulangan haqiqiy yarim yarim yolg'on guruhi bo'ling. Ruxsat bering ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ uning algebrasini belgilang. Ruxsat bering K Cartan involution fixed ning sobit nuqtalari kichik guruhi sifatida berilgan maksimal ixcham kichik guruh bo'ling. Ruxsat bering ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {pm}}$ σ ning ± 1 xususiy maydoni bo'lishi kerak ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${displaystyle {mathfrak {k}} = {mathfrak {g}} _ {+}}$ ning Lie algebrasi K va ${displaystyle {mathfrak {p}} = {mathfrak {g}} _ {-}}$ Cartan dekompozitsiyasini bering

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} + {mathfrak {p}} ,,, G = exp {mathfrak {p}} cdot K.}$

Ruxsat bering ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ ning maksimal Abel subalgebra bo'lishi ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ va a in uchun ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$ ruxsat bering

${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alfa} = {Xin {mathfrak {g}}: [H, X] = alfa (H) X ,, (Hin {mathfrak {a}})}.}$

Agar a ≠ 0 va ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alfa} eq (0)}$, keyin a a deb ataladi cheklangan ildiz va m_a = xira ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alfa}}$ uning deyiladi ko'plik. Ruxsat bering A = exp ${displaystyle {mathfrak {a}}}$, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida G = KAK.Ning cheklanishi Qotillik shakli ichki mahsulotni belgilaydi ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ va shuning uchun ${displaystyle {mathfrak {a}}}$bu imkon beradi ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$ bilan aniqlanishi kerak ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Ushbu ichki mahsulotga nisbatan cheklangan ildizlar $ a $ beradi ildiz tizimi. Uning Veyl guruhi bilan aniqlanishi mumkin${displaystyle W = N_ {K} (A) / C_ {K} (A)}$. Ijobiy ildizlarni tanlash Ueyl xonasini belgilaydi ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$. The kamaytirilgan ildiz tizimi Σ₀ a / 2 ildiz bo'lmasligi uchun a ildizlaridan iborat.

Sferik funktsiyalarni aniqlash _λ λ in uchun yuqoridagi kabi ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$, ning sferik o'zgarishi f Cda_v^∞(K G / K) bilan belgilanadi

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {G} f (g) varphi _ {- lambda} (g), dg.}$

The sferik inversiya formulasi ta'kidlaydi

${displaystyle f (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g), | c (lambda) | ^ {-2}, dlambda,}$

qayerda Xarish-Chandraning c-funktsiyasi v(λ) bilan belgilanadi^[33]

${displaystyle c (lambda) = c_ {0} cdot prod _ {alfa in Sigma _ {0} ^ {+}} {2 ^ {- i (lambda, alfa _ {0})} Gamma (i (lambda, alfa) _ {0})) Gamma ustidan ({1 dan 2} gacha [{1 dan 2} gacha m_ {alfa} + 1 + i (lambda, alfa _ {0})])) Gamma ({1 dan 2} gacha [{1 dan ortiq 2} m_ {alfa} + m_ {2alpha} + i (lambda, alfa _ {0})])}}$

bilan ${displaystyle alfa _ {0} = (alfa, alfa) ^ {- 1} alfa}$ va doimiy v₀ shunday tanlangan v(–menr) = 1 bu erda

${displaystyle ho = {1 dan ortiq 2} sum _ {alfa Sigma ^ {+}} m_ {alfa} alfa.}$