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EIN Planimeter ist ein Messinstrument mit denen die Oberfläche eines Gebietes auf zum Beispiel a Karte kann durch das Zeichnen bestimmt werden Umfang um den Bereich zu scannen. Seine Funktionsweise basiert auf der Satz von Green Green das stellt eine Verbindung zwischen a . her Flächenintegral und der Schaltungsintegral über die Kontur von der Oberfläche. Ein Planimeter ist nämlich ein Integrator, der das Kreisintegral und damit auch die Fläche bestimmt.

Ein Planimeter ist in verschiedenen Ausführungen erhältlich. In allen Fällen gibt es einen Messarm, der an einem Ende mit einem Messstift oder mit Fadenkreuze mit dem der Umfang der zu vermessenden Oberfläche abgetastet wird. Das andere Ende, der "Ellbogen", ist klappbar und kann sich bei der linearen Version entlang einer festen Linie bewegen. Bei der Polarversion ist der Ellbogen mit einem anderen Arm verbunden, dem Schwenkarm, dessen anderes Ende einen festen Drehpunkt bildet, die Stange. Am Messarm ist ein Messrad befestigt, dessen Achse parallel befindet sich am Arm, so dass sich das Rad nur in die Richtung drehen kann aufrecht auf dem Arm. Das Rad misst die Gesamtverschiebung des Arms in Richtung senkrecht zum Arm. Wird es zum Arm hin bewegt, bleibt es stehen. Die Gesamtverschiebung ist ein Maß für die Fläche.

Linearer Planimeter

Grundprinzip des linearen Planimeters

In der nebenstehenden Abbildung sehen wir das Grundprinzip des Linearplanimeters. Der "Ellbogen" E kann sich entlang einer festen Geraden bewegen. Das Messen einer Fläche beruht auf der Messung der Fläche eines Rechtecks. Wir messen die Fläche des Rechtecks ​​ABCD, indem wir der Kontur des Rechtecks ​​mit dem Messpunkt M folgen. Von A nach B überquert der Messarm das Parallelogramm ABB'A'. Das Messrad, das sich nur senkrecht zum Messarm bewegt, misst den Abstand PQ. Die Fläche des Parallelogramms beträgt PQ × EM. Von C nach D wird das Parallelogramm CC'D'D vom Messarm mit der Fläche P'Q' × EM abgefahren, wenn P'Q' die vom Messrad zurückgelegte Strecke ist. Da sich das Messrad nun in die andere Richtung bewegt, wird P'Q' von PQ abgezogen. Jetzt ist die Fläche von ABB'A' gleich der Fläche des Rechtecks ​​ABB"A" und die Fläche von CC'D'D ist gleich der Fläche des Rechtecks ​​CC"D"D . Die Differenz zwischen diesen beiden Rechtecken ist genau das zu vermessende Rechteck ABCD, dessen Fläche sich also aus dem Produkt der vom Messrad zurückgelegten Strecke PQ-P'Q' und der Länge EM des Messarms ergibt. Bei der Tour der Kontur ABCD müssen wir aber auch BC und DA passieren. Das Messrad legt die gleiche Strecke zurück, wenn wir von B nach C gehen, aber in die entgegengesetzte Richtung, wie wenn wir von D nach A gehen. Net dreht das Rad für diese beiden Teile nicht. Die Gesamtstrecke, die das Messrad zurücklegt, multipliziert mit der Länge des Messarms, ist daher gleich der Fläche des Rechtecks ​​ABCD. Und da der Messarm eine feste Länge hat, lässt sich die Oberfläche durch die Drehung des Rades ablesen.

Annäherung an die Oberfläche

Aber wir müssen nicht nur Rechtecke messen können, sondern beliebige Flächen. Wir können uns einem beliebigen Bereich nähern, indem wir alle Rechtecke darin zeichnen und alle diese Rechtecke separat mit dem Planimeter messen. Das ist viel Arbeit und entlang jeder Seite, die ein Rechteck mit einer anderen gemeinsam hat, gehen wir zweimal in entgegengesetzte Richtungen, damit sich das Messrad nicht dreht. Es reicht also, wenn wir den äußeren Umfang der Rechtecke entlang gehen.

Indem wir die Rechtecke sehr klein wählen, nähern wir uns der Kontur der Fläche an. Aber wir folgen einer Treppenlinie, die viel länger ist als die Kontur und die durch das Verkleinern der Rechtecke nicht kleiner wird! Die vom Messrad zurückgelegte Strecke nähert sich jedoch der Strecke an, die das Rad zurücklegen würde, wenn wir der Kontur folgen. Und der Flächenunterschied ist kleiner als die Fläche aller kleinen Rechtecke auf der Treppe um die Kontur herum und diese Fläche kann beliebig klein gemacht werden.

Das Linearplanimeter kann als Grenzfall einer Polare verstanden werden, deren Pol sich ins Unendliche verjüngt und der Ellbogen auf der durchgezogenen Linie zu liegen kommt.

Mit dem Satz von Green

Linearer Planimeter

Mit dem Satz von Green können wir genau zeigen, dass die vom Rad zurückgelegte Strecke ein Maß für die zu messende Fläche ist. Wir wählen die y-Achse als feste Gerade, entlang der sich der Ellbogen E bewegen kann. Das andere Ende M des Messarms folgt der Kontur C der zu messenden Figur S.

Wir wenden den Satz von Green auf die Komponenten des Vektorfeldes an ${Displaystil N}$, gegeben für ${Anzeigestil |x|leq m}$ durch:

${Anzeigestil N(x,y)=(-{sqrt {m^{2}-x^{2}}},x)}$

Dieses Vektorfeld steht immerhin senkrecht zum Messarm:

${displaystyle {vec {EM}}cdot N=xN_{x} (y-b)N_{y}=0}$

und hat eine feste Größe, gleich der Länge ${displaystyle m}$ des Messarms:

${Anzeigestil |N|=m}$

Das Rad, das sich nur bei einer Bewegung in Richtung senkrecht zum Messarm dreht, rollt bei Bewegung in Richtung des Vektorfeldes vorwärts und in die entgegengesetzte Richtung rückwärts, auf der Unruh rollt eine Strecke multipliziert mit ${displaystyle m}$ beläuft sich auf:

${displaystyle oint _{C}Ncdot (mathrm {d} x,mathrm {d} y)=oint _{C}(N_{x}mathrm {d} x N_{y}mathrm {d} y)=iint _ {S}left({frac {partial N_{y}}{partial x}}-{frac {partial N_{x}}{partial y}}ight)mathrm {d} xmathrm {d} y=iint _{S }left({frac {partial x}{partial x}}-0ight)mathrm {d} xmathrm {d} y=iint _{S}1,mathrm {d} xmathrm {d} y=A}$

Die Gegend ist also ${displaystyle m}$ mal die Strecke, die das Rad im Gleichgewicht zurücklegt.

Polarplanimeter

Polarplanimeter

In der nebenstehenden Abbildung sehen wir das Prinzip des Polarplanimeters, erfunden von den Schweizern Jakob Amsler. Der "Ellbogen" E ist mit einer Drehachse verbunden, die sich um einen festen Drehpunkt, hier den Ursprung, drehen kann. Das andere Ende M des Messarms folgt der Kontur ${Anzeigestil C}$ der zu messenden Figur ${Anzeigestil S}$.

Wir wenden den Satz von Green auf die Komponenten des Vektorfeldes an ${Displaystil N}$, gegeben von:

${Anzeigestil N(x,y)=(-yb,x-a)}$

Dieses Vektorfeld steht immerhin senkrecht zum Messarm:

${displaystyle {vec {EM}}cdot N=(x-a)N_{x} (y-b)N_{y}=0}$

und hat eine feste Größe, gleich der Länge ${displaystyle m}$ des Messarms:

${displaystyle |N|={sqrt {(-y b)^{2} (x-a)^{2}}}=m}$

Dann stellt sich heraus, dass die Integration ${Displaystil N}$ über die Kontur nur die Oberfläche ${Anzeigestil A}$ Erträge aus der Gegend ${Anzeigestil S}$ das durch die kontur ${Anzeigestil C}$ ist beigelegt. Das Rad, das sich nur senkrecht zum Messarm dreht, bestimmt über den konstanten Faktor ${displaystyle m}$ na, nur dieses Integral.

Dann ist:

${displaystyle oint _{C}(N_{x}mathrm {d} x N_{y}mathrm {d} y)=iint _{S}left({frac {partial N_{y}}{partial x}}- {frac {partial N_{x}}{partial y}}ight)mathrm {d} xmathrm {d} y}$

So:

${displaystyle oint _{C}Ncdot (mathrm {d} x,mathrm {d} y)=oint _{C}((-yb)mathrm {d} x (xa)mathrm {d} y)=iint _{ S}links({frac {partial (xa)}{partial x}} {frac {partial (yb)}{partial y}}ight)mathrm {d} xmathrm {d} y=A}$

weil:

${displaystyle {frac {teilweise (x-a)}{teilweise x}} {frac {teilweise (y-b)}{teilweise y}}=1}$

Immerhin mit ${displaystyle d}$ Die Länge des Schwenkarms beträgt:

${Anzeigestil a^{2} b^{2}=d^{2}}$

so dass:

${displaystyle a{frac {teilweise a}{teilweise x}} b{frac {teilweise b}{teilweise x}}=0}$

und somit

${displaystyle {frac {partial b}{partial x}}=-{frac {a}{b}}{frac {partial a}{partial x}}}$

Auch mit ${displaystyle m}$ die Länge des Messarms:

${Anzeigestil (a-x)^{2} (b-y)^{2}=m^{2}}$

so dass:

${displaystyle (x-a){frac {teilweise (x-a)}{teilweise x}} (y-b){frac {teilweise (y-b)}{teilweise x}}=0}$

Daraus folgt:

${displaystyle b(xa){frac {partiell (xa)}{partial x}}=(yb)b{frac {partial b}{partial x}}=-(yb)a{frac {partial a}{partial x }}=-a(yb) a(yb){frac {teilweise (xa)}{teilweise x}}}$

So:

${displaystyle {frac {teilweise (x-a)}{teilweise x}}={frac {a(y-b)}{ay-bx}}}$

Analog:

${displaystyle {frac {teilweise (y-b)}{teilweise y}}={frac {b(x-a)}{bx-ay}}}$

So dass:

${displaystyle {frac {teilweise (x-a)}{teilweise x}} {frac {teilweise (y-b)}{teilweise y}}=1}$

Vor dem ${displaystyle ay-bx=0}$ die beiden Arme sind in einer Linie. Dies ist eine unerwünschte Situation, die zu einer unvorhersehbaren Bewegung des Messarms führt.

Scheibenplanimeter

Eine Variante des Linearplanimeters ist der Scheibenplanimeter. Um Probleme durch glatten, rauen oder gerissenen Karton oder anderes Material, auf dem die zu messende Fläche gezeichnet ist, zu umgehen, läuft das Messrad des Scheibenplanimeters unter gleichen Bedingungen über eine spezielle Scheibe, die zum Gerät gehört. Da die Bewegung des Messarms übertragen werden muss, hat der Scheibenplanimeter diese Gelegenheit genutzt, um das Übersetzungsverhältnis für eine höhere Genauigkeit anzupassen. Ein Scheibenplanimeter ist als Linearplanimeter mit Rolle ausgeführt.

Siehe auch

• Krümmungsmesser