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In dem euklidische Geometrie heißen zwei gerade Linien, zwei Flugzeuge oder eine Gerade und eine Ebene parallel oder parallel wenn sie überall gleich weit ('gleich breit') voneinander entfernt sind. Die genauen Definitionen machen sich eine weitere Eigenschaft paralleler Objekte zunutze, nämlich dass sie nicht Punkt bedeuten egal wie weit sie ausgefahren sind.

Zwei Linien im Flugzeug

Abbildung 1. Abstand zwischen zwei parallelen Linien

parallel Linien sind in der euklidischen Ebene (zweidimensional), gerade Linien, die keine Gemeinsamkeiten haben Punkt - Nein Überschneidung - haben.

Wenn zwei parallele Linien in der Ebene gezeichnet werden (siehe Abbildung 1), dann wird diese Ebene in drei Teile geteilt: zwei Teile, die sich sehr ähnlich sind und einen Streifen zwischen diesen Linien. Wenn jetzt auf diesem Streifen ein Rechteck (du) ${Anzeigestil PP'Q'Q}$ wird platziert mit ${Anzeigestil P,,Q}$ auf ${displaystyle l}$ und ${Anzeigestil P',,Q'}$ auf ${displaystyle m}$, dann passt dieses Rechteck an allen Stellen genau zwischen die Linien, vorausgesetzt ${Anzeigestil P,,Q}$ an der Leitung ${displaystyle l}$ und ${Anzeigestil P',,Q'}$ an der Leitung ${displaystyle m}$ bleib stehen. Dies ist auch der Fall, wenn die Zeilen unendlich lang sind. Dies zeigt, dass die Linien unmöglich einen Schnittpunkt haben können. Die Breite des Streifens – das ist die Länge des Liniensegments ${displaystyle PP'(=QQ')}$ – ist der Abstand zwischen den Linien ${Anzeigestil l,,m}$.

Die Breite des Streifens zwischen den Linien ${displaystyle l}$ und ${displaystyle m}$ ändert sich nicht, der Streifen ist überall gleich breit.

Wenn zuerst das Rechteck mit einem kürzeren Liniensegment platziert wird ${displaystyle PP'}$ und dann werden die Linien gezogen, dann wird der Streifen natürlich schmaler. Bei Wiederholung ${Anzeigestil P}$ schließlich auf ${displaystyle m}$ kommt zu lügen, lügt auch gleichzeitig ${Anzeigestil Q}$ auf ${displaystyle m}$.

So gesehen gibt es drei Möglichkeiten für die Lage zweier Linien in einer ebenen Ebene. Sie haben:

• zwei Punkte gemeinsam – sie fallen zusammen;
• einen gemeinsamen Punkt – sie schneiden sich;
• keine Gemeinsamkeiten – sie sind parallel.

In der euklidischen Geometrie ist einer der Axioms: genau eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte. Wenn zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben, dann haben sie alle Punkte gemeinsam.

In der geometrischen Forschung ist es ziemlich oft notwendig zu zeigen, ob zwei Geraden parallel sind oder nicht. Um einen solchen Beweis so einfach wie möglich zu gestalten, ist es sinnvoll, die obige Definition für Parallelität mit diesem Beweis zu verwenden.

Zwei Linien im Raum

Abbildung 2. Schnittlinien

In dem euklidischer Raum (dreidimensional) sind zwei parallele Geraden im selben eben. Wenn nicht, schneiden sich diese Linien.

Wenn im Raum zwei Zeilen ${Anzeigestil l,,m}$ in der gleichen Ebene liegen (siehe Abbildung 2 die Ebene ${Anzeigestil W}$, das auch ${Anzeigestil V}$ ist auch unendlich groß), dann ist die Lage dieser Linien identisch mit der beschriebenen Situation in der ebenen Geometrie: es gibt auch einen solchen Streifen in der Ebene ${Anzeigestil W}$, zwischen der gestrichelten Linie ${displaystyle l}$ und die linie ${displaystyle m}$. In diesem Fall gibt es wieder drei Möglichkeiten: zusammenfallen (2), schneiden (1), parallel (0) – in Klammern steht die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden. Und diese Zahl ist gleich der Anzahl der gemeinsamen Punkte von ${displaystyle l}$ mit dem flugzeug ${Anzeigestil V}$, Letztendlich ${displaystyle m}$ besteht in ${Anzeigestil V}$.

Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit. Mit ${Anzeigestil P}$ an der Leitung ${displaystyle l}$ wird ${displaystyle l}$ aus der Parallellage in der Ebene ${Anzeigestil W}$ umgedreht ${Anzeigestil P}$. Dann ist der Schnittpunkt ${Anzeigestil S}$ der Zeilen in ${Anzeigestil V}$ (nämlich immer an ${displaystyle m}$). Aber wenn dann (also nachher) der Punkt ist ${Anzeigestil P}$ wird an eine Position vor verschoben ${Anzeigestil W}$ oder dahinter ${Anzeigestil W}$ (${displaystyle P_{v}}$ und ${displaystyle P_{a}}$ in der Abbildung), wobei die Linie ${displaystyle l}$ unverändert in der erreichten Position (das Flugzeug ${Anzeigestil W}$ bleibt an Ort und Stelle), dann schneiden ${displaystyle l_{v}}$ oder ${displaystyle l_{a}}$ die Linie ${displaystyle m}$ nicht einmal bei einer kleinen Verschiebung von ${Anzeigestil P}$, und eine solche verschobene Linie liegt nicht mehr bei ${displaystyle m}$ in der gleichen Ebene. Die verschobene Linie ${displaystyle l}$ schneidet immer noch das Flugzeug ${Anzeigestil V}$. In dieser Situation schneidet sich die verschobene Linie ${displaystyle l}$ und ${displaystyle m}$ gegenseitig; siehe die punkte ${displaystyle S_{v}}$ und ${displaystyle S_{a}}$ im Flugzeug ${Anzeigestil V}$.

Linie parallel zur Ebene, Ebene parallel zur Ebene

Per Definition gilt auch:

(a) eine Linie ist parallel zu einer Ebene, wenn diese Linie und diese Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben;

(b) zwei Ebenen sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.

Mehr oder weniger identische Definitionen beim Schneiden von Linien und Ebenen zu erhalten (und auch weil es in Beweisen nützlich und sinnvoll ist) ist auch ${displaystyle W//W}$ habe dann gewählt ${Displaystil V,,W}$ kein gemeinsamer Punkt (keine gemeinsamen Punkte). Wenn sie nicht parallel sind, haben sie 1, 2, 3, ... Punkte gemeinsam. Die Mathematik (Stereometrie) macht es auch hier durch ein paar Axiome leicht, nämlich:

(a) wenn ${Displaystil V,,W}$ drei Punkte haben, die nicht auf derselben Linie liegen, dann fallen ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ zusammen;

Dies behandelt auch die Anzahl von 4, 5, ... nicht-kollinearen gemeinsamen Punkten.

(b) wenn ${Displaystil V,,W}$ zwei Punkte gemeinsam haben, dann haben sie die Linie durch diese beiden Punkte gemeinsam (sie schneiden sich und die Linie ist der Schnittpunkt beider Ebenen);

(c) wenn ${Displaystil V,,W}$ genau einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie auch noch einen zweiten gemeinsamen Punkt (und dann wieder Fall b; sie schneiden sich).

${Anzeigestil l//m}$ bedeutet: die Zeilen ${Anzeigestil l,m}$ sind parallel oder: die Linie ${displaystyle l}$ ist parallel zur Linie ${displaystyle m}$. Das Schild ${displaystyle //}$ hat die gleiche Bedeutung für line ${displaystyle //}$ flach und flach ${displaystyle //}$ eben.

Beispiele

zweidimensional

• zwei Zeilen, die aufrecht stehen auf der gleichen Geraden, sind parallel (Satz);
• die Linie durch die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks ist parallel zur (Unterstützung des)^[1] dritte Seite dieses Dreiecks (Satz);
• die (Träger der) Seiten von a Parallelogramm sind zwei mal zwei parallel (Definition); und damit, zwei mal zwei, die Seiten von einem Rechteck und ein Quadrat;
• ein regelmäßiges Sechseck hat drei Paare paralleler Seiten (Satz);
• (außerhalb der Mathematik) die Mitarbeiter auf Notenpapier.

dreidimensional

• zwei Geraden senkrecht zur gleichen Ebene sind parallel (Satz);
• die (Träger der) Rippen von a Prisma sind parallel (Definition) und damit auch die Rippen der Körper Block und Balken;
• die Deskriptoren von a Zylinderfläche sind parallel (Definition);
• bei einem geraden Kreiszylinder sind die Querschnitte der Zylinderebene mit einer zur Achse senkrechten Ebene parallele Kreise (Theorem);
• das Seitenflächen von a Würfel sind zwei mal zwei parallel.
• (außerhalb der Mathematik): Außen- und Innenwand eines Gebäudes, Glasplatten bei Doppelglas; Regale in einem Bücherregal.

Zwei Eigenschaften

Abbildung 4. Länge des senkrechten Verbindungssegments

Abbildung 5. Linie parallel zu einer Ebene

• Die Länge des senkrechten Verbindungsliniensegments eines Linienpunktes mit einem dazu parallelen Punkt einer Linie ist für alle Punkte dieser Linie gleich (informell: zwei parallele Linien haben überall den gleichen Abstand).

In Abbildung 4 sind die Linien ${Anzeigestil l,,m}$ parallel. ${Anzeigestil P}$ ist ein Punkt von ${displaystyle l}$ und ${Anzeigestil Q}$ ist irgendein anderer Punkt von ${displaystyle l}$; ${Anzeigestil P',,Q'}$ sind die senkrechten Projektionen von ${Anzeigestil P,,Q}$ auf ${displaystyle m}$. ${displaystyle PP',,QQ'}$ sind die zueinander senkrechten Verbindungsliniensegmente. Jetzt ist Viereck ${Anzeigestil PP'Q'Q}$ ein Rechteck, damit ${displaystyle PP'=QQ'}$. Was zu beweisen war.

Diese Eigenschaft bietet die Möglichkeit, auch zusammenfallende Linien parallel zu nennen, deren Abstand überall gleich Null ist.

• Eine Linie ${displaystyle l}$ die parallel zu einer Ebene ist ${Anzeigestil V}$, ist parallel zu einer Linie ${displaystyle m}$ im ${Anzeigestil V}$.

In Abbildung 5 ist ${Anzeigestil W}$ ein Flugzeug durch ${displaystyle l}$ Welche ${Anzeigestil V}$ schneidet. Der Schnittpunkt von ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ ist ${displaystyle m}$. weil ${Anzeigestil l//V}$ ist, hat ${displaystyle l}$ nichts gemeinsam mit ${Anzeigestil V}$. ${displaystyle l}$ hat daher nichts gemein mit ${displaystyle m}$ (also wird hier die Definition verwendet), aber ${displaystyle l}$ ist gut mit ${displaystyle m}$ in der gleichen Ebene ${Anzeigestil W}$. So ${Anzeigestil l//m}$.

Berechnen Sie die Entfernung

Habe die parallelen Linien ${Anzeigestil l,,m}$ in einem standard ${displaystyle xOy}$- Koordinatensystem der Gleichungen

${Anzeigestil l: y=rx am: y=rx b}$

dann kann die länge sein ${displaystyle d}$ (${displaystyle ={ ext{distanz}}(l,,m)}$) eines senkrechten Verbindungsliniensegments berechnet werden. Die Koordinaten der Endpunkte ${Anzeigestil P,,P'}$ eines solchen Geradensegments sind die Lösungen der Gleichungssysteme:

${displaystyle left{{ egin{array}{*{35}{l}}y=rx a/y=-{ frac {1}{r}}x/end{array}}ight. left{{ egin{array}{*{35}{l}}y=rx b/y=-{ frac {1}{r}}x/end{array}}ight.}$

Die zweite Gleichung eines Systems ist die Punktgleichung ${Anzeigestil O}$ gehender Träger der Senkrechten.

Die Lösungen sind:

${displaystyle P=left({frac {-ra}{r^{2} 1}},{frac {a}{r^{2} 1}}ight) P'=left({frac {-rb}{ r^{2} 1}},{frac {b}{r^{2} 1}}ight)}$

Folglich:

${displaystyle d={frac {|a-b|}{sqrt {r^{2} 1}}}}$

In den Gleichungen der Linien ${Anzeigestil l,,m}$ oben ist die Zahl ${displaystyle r}$ - das Multiplikator von ${Anzeigestil x}$ - das Steigung: ${displaystyle r}$ bestimmt die Richtung der Linien. Die Linien haben also die gleiche Richtung, oder anders ausgedrückt: ${Anzeigestil l//m}$. wenn ${Anzeigestil a=b}$ ist, fallen die Linien doch zusammen aus der Formel für ${displaystyle d}$ dann folgt ${Anzeigestil d=0}$. Dies macht deutlich, dass zusammenfallende Geraden als parallel betrachtet werden können.

Besonderheiten

• Die oben erwähnte Parallelität hängt von der sogenannten paralleles Postulat von Euklid, der 5. Axiom im Dienst Elemente. Dieses Axiom in der von as eingeführten Form John Playfair (1748-1819):
  • Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau eine Gerade, die parallel zu dieser Geraden ist.

• Parallelität ist nur ein sinnvolles Konzept in der euklidische Geometrie. Im nichteuklidische Geometrie kompliziertere Konventionen gelten für die Schnittpunkte zweier Geraden.

• In bestimmten geometrischen (auch euklidischen) Konfigurationen ist es manchmal nützlich zu vereinbaren, dass sich zwei parallele Geraden im unendlich schneiden, a unsachgemäße Kreuzung haben. Dies beruht auf dem Phänomen, dass die Ecke zwischen zwei sich schneidenden Linien wird immer kleiner, wenn sich diese Linien der parallelen Position nähern. Der Eckpunkt wird immer weiter weg sein. Über die Grenze, parallel kommt der Punkt dann im Unendlichen zu liegen.

• In dem Linienperspektive parallele Linien scheinen sich auch im zu schneiden Fluchtpunkt.

Kurven

Abbildung 7. Huygens-Kreise

Abbildung 8. Zwei parallele Kurven von ${displaystyle K:,y=3sin({ frac {1}{2}}x)}$

Auch mit Kurven (gekrümmte Linien) Parallelität kann diskutiert werden. Das Fehlen von Kreuzungen reicht jedoch nicht aus (a Parabel und ein Ganzes, das sich darin befindet Kreis wird sicher nicht parallel genannt). Deshalb ist es üblich auch die Entfernung ${displaystyle d}$ von einem Punkt ${Anzeigestil P}$ zu einer Kurve ${Anzeigestil K}$ involvieren; in Formel:^[2]

${displaystyle d={ ext{distanz}}(P,K)={ ext{minimum}}{links|XPight| { ext{where}} für alle X:Xin K}}$

Den Wert von ermitteln ${displaystyle d}$ ist in der Praxis manchmal ein Problem. Es ist jedoch möglich, zu verwenden Huygens Kreise,^[3] diese sind konzentrisch Kreise mit ${Anzeigestil P}$ als Zentrum. ${displaystyle d}$ ist dann die Länge der Strahl des kleinsten Huygens-Kreises, der genau einen Punkt enthält ${Anzeigestil R,(=X)}$ mit ${Anzeigestil K}$ hat gemeinsam; siehe Abbildung 7.

Im Allgemeinen wird ${Anzeigestil R}$ das gemeinsame Anlaufstelle sind aus diesem Huygens-Kreis und ${Anzeigestil K}$. Das Liniensegment ${Anzeigestil RP}$ ist dann in ${Anzeigestil R}$ senkrecht zum Tangente${displaystyle t}$ im ${Anzeigestil R}$ zum Kreis.

Hier passt folgende (etwas informelle) Definition, die auch für die Konstruktion von verwendet werden kann ${Anzeigestil K'}$:

• Die Kurven ${Anzeigestil K}$ und ${Anzeigestil K'}$ sind parallel, wenn die Punkte ${Anzeigestil P}$ von ${Anzeigestil K'}$ erhalten Sie durch Drücken der normalen ${displaystyle n}$^[4] von ${Anzeigestil K}$ in den punkten ${Anzeigestil R}$ von ${Anzeigestil K}$ ein Liniensegment ${Anzeigestil RP}$ mit ${Anzeigestil |RP|=d}$ immer auf der gleichen Seite von ${Anzeigestil K}$ abliefern. ${Anzeigestil K}$ und ${Anzeigestil K'}$ sind in diesem Fall parallele Kurven.

Das Ergebnis einer Operation auf einer Kurve ${Anzeigestil K}$ nach dieser Definition ist eine Kurve ${Anzeigestil K'}$ was im Allgemeinen nicht vom gleichen Typ ist wie ${Anzeigestil K}$ (${Anzeigestil K'}$ ist von einem höheren Grad als ${Anzeigestil K}$). Nur die Gerade und der Kreis ergeben parallele Kurven, die dem Original ähnlich sind. Schon bei kleinen Werten von ${displaystyle d}$ können glatt Kurven haben eine parallele Kurve mit Singularitäten (siehe Abbildung 8).

die Kurve ${Anzeigestil K'}$ wird auch Isodistanzlinie von genannt ${Anzeigestil K}$ erwähnt; siehe Externer Link, Math4all.

Wenn die Kurve ${Anzeigestil K}$ im ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ wird mit dem fixiert Vektorgleichung

${Anzeigestil {vec {x}}(t)=(,x(t),,y(t),)}$

dann ist die Kurve ${Anzeigestil K'}$ eine parallele Kurve von ${Anzeigestil K}$ wenn ${Anzeigestil K'}$ hat die folgende Vektorgleichung:

${displaystyle {{vec {x}}_{d}}(t)={vec {x}}(t) dcdot {vec {n}}(t)}$

Darin ist ${displaystyle deq 0}$ und ${displaystyle {vec {n}}}$ das normaler Vektor von ${displaystyle {vec {x}}}$ mit Länge${Anzeigestil 1}$.

Sprache

Als eine der wenigen Sprachen hat das Niederländische einen eigenen Parallelbegriff für das beabsichtigte Konzept. Der Begriff wurde geprägt von Simon Steven (1548-1620). Andere Sprachen haben normalerweise ein Wort, das der Parallele entspricht oder davon abgeleitet ist (< Gr. παράλληλος (par-allè-los), d. h. nebeneinander). Aus rein mathematischer Sicht ist der Begriff parallel vorzuziehen, da parallel (gleicher Abstand voneinander) eine in der Definition nicht erwähnte Eigenschaft paralleler Geraden ausdrückt,^[5] es ist eine beweisbare Eigenschaft dieser Linien.

An anderer Stelle verwenden

In dem Erdkunde zum imaginären werden Breitengrade auf der Erde auch Parallelkreise oder Parallelen genannt. Jeder Breitengrad ist dann parallel zum Äquator, ein von der Mathematik abweichendes Distanzkonzept.

Das Wort parallel wird auch in der verwendet Elektrotechnik und Elektronik benutzt. An einer parallele Verbindung aus zwei oder mehr Komponenten, die so in einem Stromkreis angeordnet sind, dass die Stromspannung ist bei allen Komponenten gleich. Parallel geschaltete Komponenten müssen nicht parallel in einer Schaltung angeordnet werden, solange obige Bedingung erfüllt ist.

Abbildung 9. (a) Offsetkurve und (b) Isodistanzlinie eines Quadrats

Im CAD-Programme können konzentrische Kreise, parallele Linien, Bögen und Oberflächen werden mit speziellen Befehlen gezeichnet.^[6] Nur gerade Linien und Kreise ergeben Zahlen, die der angegebenen Definition von Parallele entsprechen, siehe Abbildung 9.

In dem Linguistik ist Parallelität ein Redewendung.

In dem Psychotherapie ein paralleler Prozess ist ein Interaktionsmuster zwischen Personengruppen.^[7]

In der Alltagssprache kommt das Wort parallel auch in anderen Bedeutungen als parallel vor. Wie:

• ähnlich zu: Parallelen zu ziehen bedeutet Ähnlichkeiten oder Beziehungen zwischen zwei Dingen zu benennen;
• gleichzeitig: Parallelprozessor, Parallelmarkt, Parallelklasse oder -gruppe;
• daneben oder daneben: Parallelstraße, Parallelfahrbahn, Parallelspur, Parallelimport.

Siehe auch

• antiparallel
• F- und Z-Winkel
• Senkrecht (Geometrie)
• Konfliktlinie
• Staatsgewässer

Externe Links

• Math4all: ISO-Abstandslinien (Abstände und Grenzen)
• Eric W. Weisstein: (und) Parallele Kurven. Via: MathWorld – Eine Webressource von Wolfram