WikiDer > Rangzeichenschlüssel

Das Wilcoxons Rangzeichentest, ebenfalls Wilcoxon Rangzeichentest genannt, ist ein verteilungsfreier Test für den Median einer stetigen Verteilung. Es handelt sich um einen "Ein-Stichproben-Test". Dieser Schlüssel ähnelt dem Zeichenschlüssel, sondern basiert nicht nur auf der Anzahl der Zeichen, sondern auch auf der entsprechenden Ranglisten. Der Schlüssel ist wie der Wilcoxon-Test für zwei Proben, benannt nach dem Urheber Frank Wilcoxon.

Beispiel

Ein Vermesser hat ein neues Theodolit weil der alte ersetzt werden muss. Um zu überprüfen, ob das Instrument richtig aufgestellt ist, misst er eine Zahl, sagen wir 10 mal einer Standardhöhe von 3 Metern. Ergibt die Messung einen Wert größer als 3, kennzeichnen wir die Differenz mit einem X. Ist die Messung kleiner als 3, nennen wir die (absolute) Differenz Y. Der Rang-Vorzeichen-Test sieht nicht nur wie der Vorzeichen-Test bei . aus die Anzahl der X' und, aber auch wie die X's im Verhältnis zu den Y's liegen, entsprechend der gegenseitigen Vereinbarung. Ein Ergebnis wie:

X X X X X Y Y Y Y Y

in der es zwar genauso viele X wie Y gibt, aber alle X kleiner als die Y sind, scheint dies darauf hinzudeuten, dass der Theodolit eine Abweichung nach unten zeigt.

Der Rangtest berechnet daher die Summe der Ränge der X (oder Y) in der Rangfolge aller Abweichungen. Extrem große und extrem kleine Werte deuten auf eine Abweichung vom Theodoliten hin.

Angenommen, das Ergebnis wird gefunden:

3,021

3,014

2,973

3,015

2,982

3,019

3,004

3,012

2,990

3,016

Die Abweichungen sind also (der Einfachheit halber x1000):

21

14

-27

15

-18

19

4

12

-10

16

In absoluten Werten und nach Größe geordnet ergibt dies:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	Ja	X	X	X	X	Ja	X	X	Ja
4	10	12	14	15	16	18	19	21	27

Die Summe ${Anzeigestil T}$ der Ordnungszahlen der X ist also:

${Anzeigestil T=1 3 4 5 6 8 9=36}$

Die Nullhypothese geht davon aus, dass die Verteilung der Abweichungen symmetrisch um 0 ist, so dass positive Abweichungen einer bestimmten Größenordnung "gleich wahrscheinlich" sind wie negative. Auf dieser Grundlage ist die Verteilung von ${Anzeigestil T}$ unter der Nullhypothese berechnet.

Definition

Das zufällige Variablen${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ konstituieren zufällige Probevon einem kontinuierliche Verteilung mit Median${Anzeigestil-Heta}$. Die Teststatistik ${Anzeigestil W}$ des Wilcoxon-Rangzeichentests zum Testen der Nullhypothese

${displaystyle H_{0}:heta =heta _{0}}$

besteht aus der Summe der Ranglisten der positiven Unterschiede ${displaystyle X_{i}-heta_{0}}$ in der geordneten Reihenfolge der Absolutwerte aller dieser Differenzen.

${displaystyle W=sum _{i=1}^{n}R^{ }(X_{i}-heta _{0})}$

Also darin ${displaystyle R^{ }(X_{i}-heta _{0})}$ der Rang von ${displaystyle X_{i}-heta_{0}}$ in der geordneten Reihe ${displaystyle |X_{1}-heta _{0}|,dots ,|X_{n}-heta _{0}|}$ wenn ${displaystyle X_{i}-heta_{0}>0}$ und 0 sonst. Je nach Alternativhypothese wird die Nullhypothese bei zu kleinen, zu großen oder zu kleinen und zu großen Werten von rejected verworfen ${Anzeigestil W}$.

Verteilung

Die Verteilung unter der Nullhypothese der Teststatistik ${Anzeigestil W}$ kann mit kombinatorisch Ressourcen bestimmt werden. Es wurden Tabellen berechnet, in denen die kritischen Werte nachgeschlagen werden können. Für den Erwartungswert und die Varianz gilt:

${displaystyle operatorname {E} _{0}W={ frac {1}{4}}n(n 1)}$

${Displaystil-Operatorname {var} _{0}W={ frac {1}{24}}n(n 1)(2n 1)}$

Dies ermöglicht größere Werte von ${displaystyle n}$ (> 20) a normaler Ansatz berechnet werden.

Gepaarte Beobachtungen

Der Test wird oft mit einer Probe verwendet ${displaystyle (X_{1},Y_{1}),ldots ,(X_{n},Y_{n})}$ gepaarte Beobachtungen, um zu sehen, ob die Verteilungen von ${Anzeigestil X}$ und von ${Anzeigestil Y}$ sind gegeneinander versetzt. Dazu wird der Test auf die Unterschiede angewendet ${Displaystil D_{i}=X_{i}-Y_{i}}$.