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EIN t-test ist ein parametrischstatistischer Test mit dem unter anderem überprüft werden kann, ob die (Bevölkerung)durchschnittlich von a normal verteilt die Menge von einem bestimmten Wert abweicht, oder ob es einen Unterschied zwischen den Mittelwerten zweier Bevölkerungsgruppen gibt. Mit einem t-Test kann man dann Chance auf Überschreitung oder ein Konfidenzintervall bestimmen.

Geschichte

Das t-test (und die dazugehörigen t-Verteilung) wurde entwickelt von William Sealy Gosset wer arbeitete unter dem PseudonymSchüler. Der Test wird daher auch regelmäßig als Studenten t-test angegeben. Gosset arbeitete für die Guinness Brauerei, wo er die Qualität des gebrauten Bieres überwachte. Seine Ergebnisse veröffentlichte er in 1908 im Statistikmagazin Biometrie. Sein Arbeitgeber verlangte von ihm, dies unter einem Pseudonym zu tun, da der Einsatz statistischer Methoden als „Geschäftsgeheimnis“ galt.

Die Grundidee

Die Grundidee des t-Tests ist diese: zu prüfen, ob a Normalverteilung mit Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$ das erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ ein bestimmter Wert ${displaystyle mu_{0}}$ hat, man nimmt a Stichprobe der Größe ${displaystyle n}$ aus dieser Verteilung und es wird berechnet Stichprobenmittelwert${displaystyle {ar {X}}}$. Unter dem Nullhypothese ist dieser Mittelwert normalverteilt mit Erwartung? ${displaystyle mu_{0}}$ und Standardabweichung ${displaystyle sigma /{sqrt {n}}}$. Der standardisierte Stichprobenmittelwert

${displaystyle Z={frac {{ ar {X}}-mu _{0}}{sigma /{sqrt {n}}}}}$

ist unter der Nullhypothese standardnormalverteilt, so dass leicht überprüft werden kann, ob ein Stichprobenergebnis von Bedeutung ist.

In vielen praktischen Fällen ist jedoch nicht nur der Erwartungswert unbekannt, sondern auch die Standardabweichung. Es ist nun offensichtlich, die Standardabweichung durch die Stichprobenstandardabweichung zu schätzen ${Anzeigestil S}$ und berechnen:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-mu _{0}}{S/{sqrt {n}}}}}$.

Als Ergebnis ist die Teststatistik ${Anzeigestil T}$ unter der Nullhypothese keine Standardnormalverteilung mehr, sondern a t-Verteilung die etwas breiter ist als die normale normale.

Benutzen

Der t-Test wird unter anderem in folgenden Situationen verwendet:

• Als Test für die Nullhypothese, dass der Mittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit einem bestimmten vorgegebenen Wert entspricht.
• Als Test für die Nullhypothese, dass die Mittelwerte zweier normalverteilter Grundgesamtheiten gleich sind. Für diesen Test gibt es verschiedene Varianten, je nachdem welche Annahmen getroffen werden.
• Als Sonderfall der erstgenannten Möglichkeit bei Regressionsanalyse um zu testen, ob die Steigung oder der Achsenabschnitt einem vorgegebenen Wert entspricht.

Bedarf

Ein t-Test kann verwendet werden, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Beim t-Test für eine Probe muss die betreffende Probe a zufällige Probe ist von a Normalverteilung, mit möglicherweise unbekannt Abweichung.

Bei zwei Stichproben müssen beide Stichproben aus einer Normalverteilung stammen. Die beiden Samples müssen entweder unabhängig voneinander sein oder angeblich gepaart sein. Bei zwei unabhängigen Stichproben sollten bei Verwendung des Standard-t-Tests beide Populationen die gleiche Varianz aufweisen. Wenn beide Populationen unterschiedliche Varianzen aufweisen, kann ein modifizierter t-Test verwendet werden. Bei gepaarten Beobachtungen handelt es sich um einen t-Test für die Einzelstichprobe der Differenzen.

Verstöße gegen diese Annahmen haben Konsequenzen für die Robustheit und der Unverwechselbarkeit des t-Tests. Mit Hilfe von a F-Taste es kann getestet werden, ob sich die Varianzen in den beiden Gruppen signifikant voneinander unterscheiden. Die Normalität der Populationen kann mit dem Kolmogorov-Smirnov-Test.

Wenn die Bedingungen der zentraler Grenzwertsatz erfüllt ist, kann der t-Test für große Stichproben approximiert werden. Schließlich sind die für die Berechnung der Teststatistik benötigten Stichprobenmittelwerte näherungsweise normalverteilt.

t-Test für eine Probe

Definition

Sie ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ ein zufälligStichprobe von einem Normalverteilung mit unbekannter Erwartung ${Anzeigestil mu}$ und möglicherweise unbekannte Standardabweichung. Das t-test zum Testen der Nullhypothese:

${displaystyle H_{0}:mu =mu _{0}}$,

basiert auf der Teststatistik:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-mu _{0}}{S}}{sqrt {n}}}$,

in welchem ${displaystyle { ar {X}}={frac {1}{n}}Summe _{i=1}^{n}X_{i}}$ die Probedurchschnittlich ist und ${displaystyle S={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{ar {X}})^{2}}}}$ die ProbeStandardabweichung.

Unter der Nullhypothese hat ${Anzeigestil T}$ ein t-Verteilung mit ${Anzeigestil n-1}$ Freiheitsgrade.

Der t-Test für eine Gruppe kann auf eine einzelne Stichprobe angewendet werden, um zu testen, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit von einem bestimmten Wert abweicht. Der t-Test in dieser Form wird auch auf die Differenzwerte zweier abhängiger Gruppen angewendet, wenn diese Differenzen eine Zufallsstichprobe bilden, die die oben genannten Bedingungen erfüllt.

Beispiel 1

Gibt es einen Durchschnitt von 250 g Margarine in einer Wanne, wie der Hersteller behauptet? Um dies zu überprüfen, eine Probe von ${Anzeigestil n=25}$ Dosen werden genommen und ihr Inhalt gewogen. Wenn der Stichprobenmittelwert . wird ${displaystyle { ar {x}}=248{,}2}$ g gefunden und als Standardabweichung ${Anzeigestil s=2{,}5}$ G. Es muss auf a getestet werden Signifikanzniveau${displaystyle alpha }$ von 5%. Angenommen, der Inhalt der Wannen wird mit Erwartung normal verteilt ${Anzeigestil mu}$ und Standardabweichung ${Displaystil-Sigma}$, können geprüft einbiegen in:

${displaystyle H_{0}:mu =250}$

gegen

${displaystyle H_{1}:mu <250}$

Die Teststatistik T lautet also:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-250}{S}}{sqrt {n}}}$.

Aus dem Beispiel folgt für ${Anzeigestil T}$ ein Wert:

${displaystyle t={frac {{ ar {x}}-250}{s}}{sqrt {n}}={frac {248{,}2-250}{2{,}5}} 5=-3 {,}6}$

Die Nullhypothese wird für zu kleine Werte von abgelehnt ${Anzeigestil T}$. Um zu überprüfen, ob der gefundene Wert ${displaystyle t}$ zu klein ist, sind zwei Ansätze möglich.

Die erste Methode vergleicht ${displaystyle t}$ mit dem kritischen Wert ${displaystyle t_{alpha ,u }}$ entsprechend dem angegebenen Signifikanzniveau von 5 %. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn ${displaystyle tleq t_{alpha ,u }}$. Jetzt kannst du ${displaystyle t_{alpha ,u }}$ so festgelegt werden, dass:

${Anzeigestil P(Tleq t_{alpha ,u};H_{0})=P(T(24)leq t_{alpha ,u})=alpha =0{,}05}$.

Von dem Tabelle der t-Verteilung kann anhand der Symmetrie gelesen werden:

${Anzeigestil P(T(24)geq 1{,}711)=P(T(24)leq -1{,}711)=0{,}05}$,

damit es gefunden wird:

${displaystyle t_{alpha ,u }=-1{,}711}$.

Schon seit ${displaystyle t$, muss die Nullhypothese verworfen werden. Daraus lässt sich schließen, dass die Becher systematisch zu wenig Margarine enthalten.

Bei der zweiten Methode wird die (linke) Überschreitungswahrscheinlichkeit ${displaystyle p}$ von ${displaystyle t}$ berechnet und die Nullhypothese als verworpen verworfen ${displaystyle p$.

${Anzeigestil p=P(Tleq t;H_{0})=P(T(24)leq -3{,}6)}$.

Aus einer Tabelle der t-Verteilung mit ${Anzeigestil n-1=24}$ Freiheitsgrade kann man so lesen ${displaystyle p}$ weniger als 5 % beträgt. Die Nullhypothese muss daher verworfen werden und es kann der Schluss gezogen werden, dass die Becher systematisch zu wenig Margarine enthalten. Der Wert von ${displaystyle p}$ kann mit Statistiksoftware oder Programmen wie Office Excel berechnet werden und beträgt ca. 0,00072.

t-Test für zwei Stichproben

Wie bereits erwähnt, gibt es zwei Situationen für den t-Test mit zwei Stichproben:

• Zwei gepaarte Proben
• Zwei unabhängige Stichproben

Gepaarte Stichprobendefinition

spät ${Anzeigestil (X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),ldots ,(X_{n},Y_{n})}$ sei eine Zufallsstichprobe gepaarter Beobachtungen aus einer Simultanverteilung mit Erwartungswerten ${displaystyle mu_{X}}$ und ${displaystyle mu_{Y}}$, damit die Unterschiede ${Displaystil Z_{i}=X_{i}-Y_{i}}$ sind normal verteilt. Um die Nullhypothese zu testen:

${displaystyle H_{0}:mu _{X}=mu _{Y}}$

der t-Test wird für die einzelne Stichprobe der Differenzen verwendet ${Anzeigestil Z}$ und testet:

${displaystyle H_{0}:mathrm {E} Z=0}$

Beispiel 2

Ist ein Schlankheitsmittel wirksam, wie der Hersteller behauptet? Um das zu überprüfen ${Anzeigestil n=10}$ Themen folgten. Sie werden jeweils vor und nach der Behandlung gewogen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse.

Test-Objekt		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Gewicht X vor dem		110	85	73	91	163	88	92	75	103	115
Gewicht Ja nach dem		99	83	75	86	141	79	96	70	91	102
Unterschied z=X-Ja		11	2	–2	5	22	9	–4	5	12	13

Es gibt gepaarte Beobachtungen. Die beiden Gewichte ein und desselben Themas können nicht als unabhängig betrachtet werden. Es ist auch unwahrscheinlich, dass die Gewichte vor der Behandlung und ebenso nach der Behandlung aus einer Normalverteilung stammen. Für die Differenzpunkte ${Anzeigestil Z}$ Es kann davon ausgegangen werden, dass es sich um eine Zufallsstichprobe aus einer Normalverteilung handelt. Wenn das Medikament keine Wirkung hat, ist die Erwartung ${displaystyle mu_{Z}}$ des Differenzwerts 0. Es wird also geprüft:

${displaystyle H_{0}:mu _{Z}=0}$

gegen

${displaystyle H_{1}:mu _{Z}>0}$

Die Teststatistik ${Anzeigestil T}$ ist deshalb:

${displaystyle T={frac {{ ar {Z}}-0}{S}}{sqrt {n}}}$.

Aus dem Beispiel folgt für ${Anzeigestil T}$ ein Wert:

${displaystyle t={frac { ar {z}}{s}}{sqrt {n}}={frac {7{,}3}{7{,}75}}{sqrt {10}}=2{, }98}$

Die Nullhypothese wird für zu große Werte von . abgelehnt ${Anzeigestil T}$. Um zu überprüfen, ob der gefundene Wert ${displaystyle t}$ zu groß ist, ist die (rechte) Überschreitungswahrscheinlichkeit von ${displaystyle t}$ entschlossen. Aus einer Tabelle der t-Verteilung mit ${Anzeigestil n-1=9}$ Freiheitsgrade lässt sich ablesen, dass der p-Wert dieses Ergebnisses ${displaystyle t}$ weniger als 1% beträgt.

${Anzeigestil P(Tgeq t;H_{0})=P(T(9)geq 2{,}98)=0{,}008<0{,}01}$.

Auch in diesem Beispiel wird die Nullhypothese verworfen (bei 5%) und es wird angenommen, dass das Medikament wirksam ist oder dass ein Placebobewirken.

Definition auf unabhängigen Stichproben

spät ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}$ und ${displaystyle Y_{1},Y_{2},ldots ,Y_{m}}$ zwei unabhängige Stichproben stammen von einer ${displaystyle {mathrm {N} }(mu _{X}, Sigma ^{2}),}$- und ein ${displaystyle {mathrm {N} }(mu _{Y}, Sigma ^{2}),}$Verteilung mit unbekannten Erwartungswerten und unbekannten, aber gleichen Varianzen. Der t-Test zum Testen der Nullhypothese:

${displaystyle H_{0}:mu _{X}=mu _{Y}}$

ist ein Test basierend auf der Teststatistik:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-{ ar {Y}}}{S{sqrt {{frac {1}{n}} {frac {1}{m}}}}}}}}$,

in welchem ${displaystyle {ar {X}}}$ und ${displaystyle {ar {Y}}}$ das Beispielmittel sein und ${Displaystil S^{2}}$ die sogenannte gepoolt Varianz ist gegeben durch:

${displaystyle S^{2}={frac {(n-1)S_{X}^{2} (m-1)S_{Y}^{2}}{n m-2}}}$,

das ist der gewichtete Durchschnitt der beiden getrennten Stichprobenabweichungen${Displaystil S_{X}^{2}}$ und ${displaystyle S_{Y}^{2}}$.

Unter der Nullhypothese hat ${Anzeigestil T}$ ein t-Verteilung mit ${Anzeigestil n m-2}$ Freiheitsgrade. Je nach gewählter Alternative wird die Nullhypothese einseitig oder beidseitig verworfen.

In dieser Definition wird davon ausgegangen, dass beide Populationsvarianzen einander gleich sind. Ist dies nicht der Fall, muss ein modifizierter t-Test durchgeführt werden.

Beispiel 3

Sind 40-jährige Frauen im Durchschnitt schwerer als 30-jährige? Um dies zu überprüfen, wird eine Stichprobe von ${Anzeigestil n=10}$ Frauen im Alter von 30 Jahren und eine Zufallsstichprobe von ${Anzeigestil m=15}$ Frauen im Alter von 40 Jahren, unabhängig von der ersten Stichprobe. Jede Frau wird gewogen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse.

Gewicht in kg
X von 30-Jährigen	77	65	73	58	63	49	51	82	103	69
ja von 40-Jährigen	102	73	56	55	83	72	88	70	81	85	44	71	62	78	75

Es gibt zwei unabhängige Stichproben. Die beiden in der Tabelle übereinander aufgeführten Gewichte haben nichts miteinander zu tun. Es wird davon ausgegangen, dass beide Stichproben aus Normalverteilungen mit gleichen Varianzen bzw. Erwartungswerten stammen ${displaystyle mu_{X}}$ und ${displaystyle mu_{Y}}$. Es wird getestet:

${displaystyle H_{0}:mu _{X}=mu _{Y}}$

gegen

${displaystyle H_{1}:mu _{X}$

Die Teststatistik T lautet also:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-{ ar {Y}}}{S{sqrt {{frac {1}{n}} {frac {1}{m}}}}}}}} ={ frac {{ ar {X}}-{ ar {Y}}}{S{sqrt {{frac {1}{10}} {frac {1}{15}}}}}}}$.

Aus dem Beispiel folgt:

${displaystyle { ar {x}}=69{,}0}$

${displaystyle { ar {y}}=73{,}0}$

${Displaystil s_{X}^{2}=255{,}8}$

${Displaystil s_{Y}^{2}=213{,}7}$

So

${displaystyle s={sqrt {frac {9s_{X}^{2} 14s_{Y}^{2}}{23}}}={sqrt {230{,}2}}=15{,}2}$

Vor dem ${Anzeigestil T}$ so wird folgender Wert gefunden:

${displaystyle t={frac {{ ar {x}}-{ ar {y}}}{s{sqrt {{frac {1}{10}} {frac {1}{15}}}}}}}= { frac {69{,}0-73{,}0}{15{,}2{sqrt {{frac {1}{10}} {frac {1}{15}}}}}}=-0{ , }65}$

Die Nullhypothese wird für zu kleine Werte von abgelehnt ${Anzeigestil T}$. Um zu überprüfen, ob der gefundene Wert ${displaystyle t}$ zu klein ist, ist die (linke) Überschreitungswahrscheinlichkeit von ${displaystyle t}$ entschlossen. Aus einer Tabelle der t-Verteilung mit ${Anzeigestil n m-2=23}$ Freiheitsgrade kann der p-Wert dieses Ergebnisses abgelesen werden.

${Anzeigestil P(Tleq t;H_{0})=P(T(23)leq -0{,}65)=0{,}26}$.

Diese Überschreitungswahrscheinlichkeit ist zu groß, um die Nullhypothese abzulehnen. Zwar waren die 40-jährigen Frauen in der Stichprobe durchschnittlich 4 kg schwerer als die 30-jährigen, aber dieser Unterschied ist angesichts der Streuung innerhalb der Gruppen nicht signifikant.

Software

Der t-Test ist einer der am häufigsten verwendeten Tests in der Statistik und daher in den meisten Statistik- und Datenverarbeitungsprogrammen enthalten. Zum Beispiel in der statistischen Programmiersprache R Führe den t-Test mit der Funktion durch t.test. Im Python Der t-Test ist in der SciPy-Bibliothek verfügbar. In den Tabellen von Microsoft Excel und OpenOffice Calc gibt es die funktion ttest bzw. T.TEST oder "T.TEST". Im matlab wird der Befehl verwendet ttest für den T-Test und ttest2 für zwei unabhängige Stichproben. Ein häufig verwendetes Programm für solche statistischen Tests ist SPSS.