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EIN reziprokes Gitter ist der Fourier-Transformation oder Dual bild von a Kristallstruktur zum k-Raum.

Anwendungen

Für einige Anwendungen im Kristallographie und der Festkörperphysik, Wie für die Strukturanalyse mit Röntgenbeugung oder Berechnung einer elektronischen Reifenstruktur von a Metall, muss mit dem reziproken Raster gearbeitet werden. Reziproke Gitter werden für die mathematische Beschreibung von Wechselwirkungen zwischen Wellenphänomene und periodische Potentiale. Unter dem Wellen die durch die Wechselwirkung mit einem Kristallgitter verstreut fallen zum Beispiel Phononen in einem CsCl-Kristall, das Elektronen in einem Halbleiter und der Elektromagnetische Wellen aus einem Bündel röntgen. Reziproke Gitter werden in vielen theoretischen Modellen der Festkörperphysik verwendet.

Wellen in Kristallgittern

Wellenphänomene werden mit einer periodischen Funktion beschrieben ${Anzeigestil phi}$, wobei die Wellenlänge ${ Anzeigestil Lambda }$ und die Fortpflanzungsrichtung sind wichtig:

${displaystyle phi _{mathbf {k} }(mathbf {r} )sim e^{pm i,mathbf {k} cdot mathbf {r} }}$

oder

${displaystyle phi _{mathbf {k} }(mathbf {r} )sim cos(pm mathbf {k} cdot mathbf {r} )}$

in welchem ${displaystyle mathbf {r} }$ ist eine Position im Raum und ${displaystyle mathbf {k} }$ das Wellenvektor. Der Wellenvektor hat eine Länge ${displaystyle |mathbf {k} |=2pi /lambda }$, ähnlich wie Kreiswellenzahl, und ist in Ausbreitungsrichtung der Welle orientiert. Es internes Produkt${displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {r} }$ gibt dem Phase der Welle in Ausbreitungsrichtung.

Reflexion von Wellen

Streuung einer eingehenden blauen Welle von einem Gitter. Der Weglängenunterschied zwischen den beiden reflektierten roten Wellen beträgt ${Displaystil 2dsin(heta)}$.

Die rechte Abbildung zeigt schematisch die Streuung einer blau dargestellten Welle an den Gitterpunkten in zwei Ebenen eines Gitters. Wenn wir annehmen, dass die vertikale Richtung in der Abbildung die ${Anzeigestil z}$-Richtung ist und dass die ${Anzeigestil z}$-Komponente des Wellenvektors ${displaystyle mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ wird gegeben von:

${displaystyle k_{z}={frac {2,pi ,sin heta }{lambda }}}$

dann findet durch konstruktive Interferenz zwischen den reflektierten Strahlen verschiedener Schichten erfolgt eine Verstärkung in Richtung der roten Pfeile in der Abbildung als Phasendifferenz zwischen den roten Pfeilen ${Displaystil 2pi }$ ist. Dieser Zustand tritt ein, wenn:

${displaystyle k_{z}={frac {n,pi }{d}}}$

Zur Reflexion nur die aufrecht Entfernung ${displaystyle d}$ zwischen den Ebenen im Raster ist wichtig. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Ebenen in horizontaler Richtung gegeneinander verschoben sind, solange ihr gegenseitiger Abstand unverändert bleibt.

Reflexionsbedingungen

Für die Reflexion muss mindestens eine Komponente des Wellenvektors gleich sein ${displaystyle npi }$ mal die gegenseitig Entfernung, ${Anzeigestil 1/d}$, zwischen den Rasterebenen. Außerdem muss diese Komponente des Wellenvektors senkrecht zu den beiden Gittervektoren in den die Welle streuenden Ebenen sein.

Das reziproke Gitter basiert auf dem grundlegende Vektoren des primitive Elementarzelle in dem Kristallstruktur aufgebaut. Es darf nicht nur eine beliebige Elementarzelle ausgewählt werden, sie muss einige Bedingungen erfüllen. Zum Beispiel muss es das kleinstmögliche Volumen haben und es muss a Atom an einem beliebigen Scheitelpunkt der ausgewählten Elementarzelle.

wenn ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {c} }$ die Basisvektoren einer primitiven Elementarzelle eines Kristallgitters sind, dann sind die Basisvektoren ${displaystyle mathbf {A} }$, ${displaystyle mathbf {B} }$ und ${displaystyle mathbf {C} }$ des reziproken Gitters folgende Bedingungen erfüllen:

• Der reziproke Basisvektor steht senkrecht zu den beiden Basisvektoren in einer Seitenfläche der primitiven Elementarzelle des Kristallgitters.
• Die Projektion des Basisvektors im reziproken Gitter auf den entsprechenden Basisvektor im Kristallgitter muss gleich sein ${Displaystil 2pi }$.

Die erste Bedingung erforderlich Orthogonalität zwischen den Basisvektoren des reziproken Gitters und Vektoren in den Seitenflächen der primitiven Elementarzelle des Kristallgitters. Das heißt, alle inneren Produkte zwischen den reziproken Basisvektoren und den beiden Basisvektoren in verschiedenen Seiten der primitiven Elementarzellen im Kristallgitter müssen gleich 0 sein:

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {b} =0,qquad mathbf {A} cdot mathbf {c} =0}$

${displaystyle mathbf {B} cdot mathbf {a} =0,qquad mathbf {B} cdot mathbf {c} =0}$

${displaystyle mathbf {C} cdot mathbf {a} =0,qquad mathbf {C} cdot mathbf {b} =0}$

Die zweite Bedingung erfordert, dass das Skalarprodukt zwischen den reziproken Basisvektoren und den entsprechenden Basisvektoren des Kristallgitters ${Displaystil 2pi }$:

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {a} =2,pi ,qquad mathbf {B} cdot mathbf {b} =2,pi ,qquad mathbf {C} cdot mathbf {c} =2,pi }$

Basierend auf diesen Bedingungen wird die Basis des reziproken Gitters konstruiert.

Konstruktion

Das Ergebnis der Kreuzprodukt zwischen den beiden Vektoren ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {c} }$ ist ein Vektor auf der senkrecht zu der Ebene steht, in der die Vektoren ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {c} }$ Lüge. Das Kreuzprodukt von ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {c} }$ erfüllt somit die ersten beiden Anforderungen der Orthogonalität, die die inneren Produkte mit dem reziproken Basisvektor ${displaystyle mathbf {A} }$ gefragt werden. Daher können wir schon schreiben:

${displaystyle mathbf {A} =C,(mathbf {b} imes mathbf {c} )}$

in welchem ${displaystyle mathbf {C} }$ ist eine noch zu bestimmende Konstante.

Das innere Produkt von ${displaystyle mathbf {A} }$ mit ${displaystyle mathbf {a} }$ muss die zweite Voraussetzung für meet erfüllen ${displaystyle mathbf {A} }$:

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {a} =C,mathbf {a} cdot (mathbf {b} imes mathbf {c} )=2,pi }$

Das Produkt ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} imes mathbf {c} )}$ gleich der Lautstärke ${Anzeigestil V}$ von dem Parallelepiped von was ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {c} }$ die Rippen sind, so dass:

${displaystyle C={frac {2,pi }{V}}}$

was den Aufbau der reziproken Elementarzelle vervollständigt.

Einheitszelle

Die Basisvektoren des reziproken Gitters sind durch die folgenden Gleichungen gegeben:

${displaystyle mathbf {A} = {frac {2,pi }{V}},mathbf {b} imes mathbf {c} }$

${displaystyle mathbf {B} = {frac {2,pi }{V}},mathbf {c} imes mathbf {a} }$

${displaystyle mathbf {C} ={frac {2,pi }{V}},mathbf {a} imes mathbf {b} }$

in welchem:

${displaystyle V=mathbf {a} cdot (mathbf {b} imes mathbf {c} )}$

ist das Volumen der primitiven Elementarzelle.

Basisvektoren und Brillouin-Zonen

Eine Welle oder a Wellenfunktion mit einem Wellenvektor, dessen Komponente mit einem halbreziproken Gittervektor zusammenfällt, erfüllt die Braggsches Gesetz. EIN Wigner-Seitz-Zelle ist eine Elementarzelle, die aus Ebenen aufgebaut ist, die auf der Hälfte der Gittervektoren liegen. EIN Brillouin-Zone ist eine Wigner-Seitz-Zelle in einem reziproken Gitter. Wellenvektoren oder Komponenten von Wellenvektoren, die an den Seiten einer Brillouin-Zone liegen, erfüllen die Bedingung für die Reflexion.

Beispiel

Kristallographische Elementarzelle eines räumlich zentrierten kubischen Gitters.

Die kristallographische Elementarzelle von a kubisch räumlich zentriert enthält zwei Atome. Das primitive Elementarzelle eines kubisch raumzentrierten Gitters enthält ein Atom, ist halb so groß und hat als Basisvektoren:

${displaystyle mathbf {a} ={frac {a}{2}},(1,-1,1)}$

${displaystyle mathbf {b} ={frac {a}{2}},(1,1,-1)}$

${displaystyle mathbf {c} ={frac {a}{2}},(-1,1,1)}$

Das Kreuzprodukt zwischen b und c ist:

${displaystyle mathbf {b} imes mathbf {c} ={frac {a^{2}}{2}},(1,0,1)}$

Ein rhombisches Dodekaeder mit der gleichen Form wie die Brillouin-Zone im reziproken Gitter eines kubisch raumzentrierten Gitters.

so dass das Volumen der primitiven Elementarzelle gleich ist:

${displaystyle V=mathbf {a} cdot (mathbf {b} imes mathbf {c} )=a^{3}/2}$

Substitution und zyklisch permutieren gibt die Basisvektoren für das reziproke Gitter an:

${displaystyle mathbf {A} ={frac {2,pi }{a}},(1,0,1)}$

${displaystyle mathbf {B} ={frac {2,pi }{a}},(1,1,0)}$

${displaystyle mathbf {C} ={frac {2,pi }{a}},(0,1,1)}$

Dies sind die Basisvektoren einer primitiven Elementarzelle von a kubisch flächenzentriertes Gitter mit einer Rippe ${Displaystil 4pi /a}$. Das Brillouin-Zone in diesem Raster ist a rhombisches Dodekaeder wie in der Animation rechts gezeigt.