WikiDer > Restklasse

In dem Arithmetik wird verstanden von Restklassemodular ein positives gerade Zahl${displaystyle n}$, das Sammlung ganze Zahlen, die bei Division durch ${displaystyle n}$ das gleiche sich ausruhen Ausbeute. Dieser Rest wird nicht negativ gewählt. Die Zahlen in einer bestimmten Restklasse sind also per Definition kongruent modular ${displaystyle n}$.

In vielen Fällen ${displaystyle n}$ eine feste Zahl, und beachten Sie die Restklasse, zu der die ganze Zahl ${Anzeigestil z}$ gehört mit einem Bindestrich über dem ${Anzeigestil z}$:

${displaystyle {overline {z}}={ldots,z-2n,z-n,z,zn,z 2n,ldots}}$

Es gibt genau ${displaystyle n}$ verschiedene Restklassen modulo ${displaystyle n}$.

Im Allgemeinen gehören zwei ganze Zahlen zur gleichen Restklasse modulo ${displaystyle n}$ genau dann, wenn ihre Differenz a mehrere ist von ${displaystyle n}$ (wenn sie kongruent sind modular ${displaystyle n}$).

Beispiel

Sie ${Anzeigestil n=5}$. Es gibt fünf verschiedene Restklassen modulo 5. Es handelt sich um die folgenden fünf unendlichen Mengen:

${displaystyle {overline {0}}=left{ldots ,-10,-5,0,5,10,15,ldots ight}}$

${displaystyle {overline {1}}=left{ldots ,-9,-4,1,6,11,16,ldots ight}}$

${displaystyle {overline {2}}=left{ldots ,-8,-3,2,7,12,17,ldots ight}}$

${displaystyle {overline {3}}=left{ldots ,-7,-2,3,8,13,18,ldots ight}}$

${displaystyle {overline {4}}=left{ldots ,-6,-1,4,9,14,19,ldots ight}}$

die Klasse

${displaystyle {overline {5}}=left{ldots ,-5,0,5,10,15,20,ldots ight}}$

ist keine neue Klasse, es ist nur eine andere Schreibweise der Klasse ${displaystyle {overline {0}}}$.

Mengenlehre

Die Restklassen modulo ${displaystyle n}$ sind die Partitionsklassen gehört zu Äquivalenzrelation "ist deckungsgleich mit".

Beliebige ganze Zahl ${Anzeigestil z}$ gehört zu genau einer Restklasse modulo ${displaystyle n}$, nämlich die Klasse, in der der Rest der ganzzahlige Division von ${Anzeigestil z}$ durch ${displaystyle n}$ gehört.

Gruppentheorie

Die Restklasse modulo ${displaystyle n}$ wo die Zahl ${Anzeigestil z}$ gehört, ist der Co-Klasse von ${Anzeigestil z}$ relativ zu Untergruppe

${displaystyle nmathbb {Z} ={overline {0}}=left{ldots ,-2n,-n,0,n,2n,ldots ight}}$

aus der Gruppe ${displaystyle (mathbb {Z} , )}$ von ganzen Zahlen. Da die Addition von ganzen Zahlen a abelsche Gruppe Form müssen wir nicht zwischen linken und rechten Cousins ​​unterscheiden.

Das Faktorgruppe${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ definiert eine kommutative Gruppenoperation auf der Menge der Restklassen modulo ${displaystyle n}$. Das ist das Endliche zyklische Gruppe mit ${displaystyle n}$ Elemente.

Ringtheorie

Für die Ergänzung, wenn ${displaystyle a_{1}}$ und ${displaystyle a_{2}}$ kongruent modulo sein ${displaystyle n}$, und auch ${displaystyle b_{1}}$ und ${displaystyle b_{2}}$ kongruent modulo sein ${displaystyle n}$, das was auch immer ${Displaystil a_{1} b_{1}}$ und ${Displaystil a_{2} b_{2}}$ kongruent modulo sein ${displaystyle n}$.Das gleiche gilt für die Multiplikation: ${displaystyle a_{1}cdot b_{1}}$ und ${displaystyle a_{2}cdot b_{2}}$ sind kongruent modulo ${displaystyle n}$.

Das Teilungsring${displaystyle nmathbb {Z} }$ des Kommutativs Ring${displaystyle (mathbb {Z} , ,cdot )}$ ist ein Ideal, damit wir die Faktor Ring oder Quotientenring${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ in Betracht ziehen kann.

Die Menge der Restklassen modulo ${displaystyle n}$ bildet also a Kommutativer Ring mit Einheitselement.

In diesem Ring sind nicht alle nichttrivialen Elemente notwendigerweise reversibel, d. h. es ist nicht immer a Körper. Dies ist nur der Fall, wenn ${displaystyle n}$ ein Primzahl ist (der Sonderfall ${Anzeigestil n=1}$ wird in der Regel vernachlässigt). In allen anderen Fällen ist der Ring nicht einmal nullteilerfrei: wenn ${displaystyle n}$ lässt sich als Produkt zweier natürlicher Zahlen schreiben ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ (streng verstanden zwischen 1 und ${displaystyle n}$), dann ist

${displaystyle {overline {a}}cdot {overline {b}}={overline {0}}}$

Die reversiblen Elemente von ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ bilden eine abelsche Gruppe für die Multiplikation von Restklassen, notiert${displaystyle (mathbb {Z} /nmathbb {Z} )^{*}}$

Die Anzahl der Elemente dieser Multiplikationsgruppe ist die Euler-Indikator (totient) von ${displaystyle n}$, also die Anzahl der natürlichen Zahlen zwischen 0 und ${displaystyle n}$ das hat keine Teiler gemeinsam mit ${displaystyle n}$.

In diesem Zusammenhang ist die Satz von Euler bis auf die Beobachtung, dass jedes Element in dieser endlichen Gruppe ein endliches Auftrag hast. Es wird erhalten neutrales Element indem ein gegebenes Element mit sich selbst so oft multipliziert wird, wie es Elemente in der gesamten Gruppe gibt.