WikiDer > Simplex (Mathematik)

EIN Simplex oder nein-Simplex ist in der Mathematik ein ${displaystyle n}$-dimensionales Analogon von Dreieck. Genauer gesagt ist ein Simplex it konvex Einhüllende von n 1 unabhängigen Punkten in a Vektorraum, das heißt, nein ${Displaystil m2}$ der Punkte in a ${displaystyle m}$-dimensional Unterraum Lüge.

Bestimmtes,

• ein 0-simplex-Eins Punkt,
• ein 1-simplex Liniensegment,
• ein 2 Simplex Dreieck,
• ein 3-simplex Tetraeder,

in allen Fällen mit ihren Einbauten.

normales Simplex

Ein Simplex heißt regulär, wenn der Abstand zwischen zwei der ${displaystyle n1}$ Punkte ist immer gleich. Wenn dieser Abstand immer 1 ist, ist der Inhalt des Regulären Simplex

${displaystyle {frac {sqrt {n 1}}{n!{sqrt {2^{n}}}}}.}$

Das Standard-Simplex

Der Standard 2 Simplex in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$.

EIN ${displaystyle n}$-simplex ist a ${displaystyle n}$-dimensionales Objekt. Es kann sich im befinden ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ aber auch in jedem höherdimensionalen Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{q}}$ mit ${displaystyle q>n}$.

Eine symmetrischere Form erhält man, wenn sie Simplex mit der Einheitsvektoren als Eckpunkte. Es wird so simpel Standard ${displaystyle n}$-Simplex heißt und ist die Teilmenge ${Anzeigestil Delta ^{n}}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{n 1}}$ gegeben von

${displaystyle Delta ^{n}=left{(t_{0},cdots ,t_{n})in mathbb {R} ^{n 1}mid Sigma _{i}{t_{i}}=1{mbox{ und }}t_{i}geq 0{mbox{ für alle }}iight}.}$

der Simplex ${Anzeigestil Delta ^{n}}$ befindet sich in der affin Hyperebene erhalten durch die Bedingung ${displaystyle t_{i}geq 0}$ aus der obigen Definition weggelassen. Der Standard ${displaystyle n}$-simplex ist ein Stammgast polytop mit Ständer ${Anzeigestil (n-1)}$-Simplexe als Seiten.

Die Eckpunkte des Standards ${displaystyle n}$-simplex sind die Punkte

${displaystyle e_{0}=(1,0,0,ldots ,0,0)}$

${displaystyle e_{1}=(0,1,0,ldots ,0,0)}$

${displaystyle ldots }$

${displaystyle e_{n}=(0,0,0,ldots ,0,1)}$.

Es gibt ein kanonisches Bild des Standards ${displaystyle n}$-einfach zu jedem ${displaystyle n}$-Simplex mit Scheitelpunkten ${displaystyle (v_{0},v_{1},ldots,v_{n})}$ gegeben von

${displaystyle (t_{0},t_{1},ldots ,t_{n})mapto sum _{i}t_{i}v_{i}.}$

Die Koeffizienten ${displaystyle t_{i}}$ sind die (normalisierten) baryzentrische Koordinaten von einem Punkt in der ${displaystyle n}$Simplex genannt.

Siehe auch

• Simplex-Methode
• Nelder-Mead-Methode