WikiDer > To'lqin tenglamasi

A zarba to'lqin tenglamasi tomonidan modellashtirilgan sobit so'nggi nuqtalari bilan mag'lubiyat bo'ylab sayohat qilish.

Nuqta manbasidan keladigan sferik to'lqinlar.

2D to'lqin tenglamasiga yechim

The to'lqin tenglamasi muhim ikkinchi darajali chiziqli qisman differentsial tenglama ning tavsifi uchun to'lqinlar- ular sodir bo'lganidek klassik fizika-kabi mexanik to'lqinlar (masalan, suv to'lqinlar, tovush to'lqinlari va seysmik to'lqinlar) yoki yorug'lik to'lqinlar. Bu kabi sohalarda paydo bo'ladi akustika, elektromagnetikava suyuqlik dinamikasi.

Tarixiy jihatdan a tebranuvchi ip kabi a musiqa asbobi tomonidan o'rganilgan Jan le Rond d'Alembert, Leonhard Eyler, Daniel Bernulliva Jozef-Lui Lagranj.^{[1][2][3][4][5]} 1746 yilda d'Alembert bir o'lchovli to'lqin tenglamasini, o'n yil ichida Eyler uch o'lchovli to'lqin tenglamasini kashf etdi.^[6]

Kirish

To'lqin tenglamasi a qisman differentsial tenglama bu ba'zi narsalarni cheklashi mumkin skalar funktsiya siz = siz (x₁, x₂, …, x_n; t) vaqt o'zgaruvchisi t va bir yoki bir nechta fazoviy o'zgaruvchilar x₁, x₂, … x_n. Miqdor siz masalan, bo'lishi mumkin bosim suyuqlikda yoki gazda yoki ko'chirish, tebranadigan qattiq zarrachalarning ba'zi bir aniq yo'nalishlari bo'yicha, ularning dam olish joylaridan uzoqlashishi. Tenglama

${ displaystyle { frac { qismli ^ {2} u} { qismli t ^ {2}}} ; = ; c ^ {2} chap ({ frac { qismli ^ {2} u} { qismli x_ {1} ^ {2}}} + { frac { qismli ^ {2} u} { qismli x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { qismli ^ {2} u} { qisman x_ {n} ^ {2}}} o'ng)}$

qayerda v sobit manfiy emas haqiqiy koeffitsient.

Ning yozuvlaridan foydalanish Nyuton mexanikasi va vektor hisobi, to'lqin tenglamasini quyidagicha ixchamroq yozish mumkin

${ displaystyle { ddot {u}} = c ^ {2} nabla ^ {2} u,}$

bu erda er-xotin nuqta er-xotin vaqt hosilasini bildiradi siz, ∇ bo'ladi nabla operatoriva ∇² = ∇ · ∇ (fazoviy) Laplasiya operatori:

${ displaystyle { ddot {u}} = { frac { kısmi ^ {2} u} { qisman t ^ {2}}} quad quad nabla = chap ({ frac { qismli) { qismli x_ {1}}}, { frac { qismli} { qismli x_ {2}}}, ldots, { frac { qismli} { qismli x_ {n}}} o'ng) quad quad nabla ^ {2} = { frac { qismli ^ {2}} { qisman x_ {1} ^ {2}}} + { frac { qismli ^ {2}} { qisman x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { qismli ^ {2}} { qismli x_ {n} ^ {2}}}}$

Ushbu tenglamaning echimi juda murakkab bo'lishi mumkin, ammo uni oddiy echimlarning chiziqli birikmasi sifatida tahlil qilish mumkin sinusoidal tekislik to'lqinlari tarqalishining turli yo'nalishlari va to'lqin uzunliklari bilan, lekin barchasi bir xil tarqalish tezligiga ega v. Ushbu tahlil qilish mumkin, chunki to'lqin tenglamasi chiziqli; Shunday qilib, eritmaning har qanday ko'paytmasi ham yechim bo'ladi va har qanday ikkita echimning yig'indisi yana echim bo'ladi. Ushbu xususiyat superpozitsiya printsipi fizika bo'yicha.

Faqatgina to'lqin tenglamasi fizik echimni ko'rsatmaydi; kabi boshqa shartlar bilan muammoni o'rnatish orqali noyob echim odatda olinadi dastlabki shartlar, bu to'lqinning amplitudasi va fazasini belgilaydi. Muammolarning yana bir muhim klassi tomonidan belgilangan yopiq joylarda yuzaga keladi chegara shartlari, buning uchun echimlar namoyish etiladi turgan to'lqinlar, yoki harmonikalar, musiqa asboblari harmonikasiga o'xshash.

To'lqin tenglamasi a ning eng oddiy misoli giperbolik differentsial tenglama. U va uning modifikatsiyalari asosiy rol o'ynaydi doimiy mexanika, kvant mexanikasi, plazma fizikasi, umumiy nisbiylik, geofizikava boshqa ko'plab ilmiy va texnik fanlar.

Bitta kosmik o'lchamdagi to'lqin tenglamasi

Frantsuz olimi Jan-Batist le Rond d'Alembert (1717 yilda tug'ilgan) bitta kosmik o'lchovda to'lqin tenglamasini kashf etdi.^[6]

Bir kosmik o'lchamdagi to'lqin tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

${ displaystyle { kısmi ^ {2} u ustidan qisman t ^ {2}} = c ^ {2} { qisman ^ {2} u ustidan qisman x ^ {2}}}$.

Ushbu tenglama odatda faqat bitta bo'shliq o'lchamiga ega deb ta'riflanadi x, chunki bitta boshqa mustaqil o'zgaruvchi vaqt t. Shunga qaramay, qaram o'zgaruvchi siz ikkinchi bo'shliq o'lchovini aks ettirishi mumkin, masalan, siljish siz sodir bo'ladi yichida joylashgan qatorda bo'lgani kabi yo'nalish x–y samolyot.

To'lqin tenglamasini chiqarish

Bitta kosmik o'lchamdagi to'lqin tenglamasi turli xil fizikaviy sharoitlarda olinishi mumkin. Eng mashhuri, uni ikki o'lchovli tekislikda tebranayotgan, uning har bir elementi qarama-qarshi yo'nalishdagi tortishish kuchi bilan tortib olinadigan ip uchun olish mumkin. kuchlanish.^[7]

Bir kosmik o'lchovda to'lqin tenglamasini chiqarish uchun yana bir jismoniy sozlamadan foydalaniladi Guk qonuni. In elastiklik nazariyasi, Hook qonuni - bu moddiy jismning deformatsiyalanadigan miqdori ( zo'riqish) deformatsiyani keltirib chiqaradigan kuch bilan chiziqli bog'liqdir ( stress).

Xuk qonunidan

Bir o'lchovli holatdagi to'lqin tenglamasini Xuk qonunidan quyidagi tarzda olish mumkin: kichik massa massalarini tasavvur qiling. m uzunlikdagi massasiz buloqlar bilan o'zaro bog'liq h. Buloqlar a bahor doimiysi ning k:

Bu erda bog'liq o'zgaruvchi siz(x) joylashgan massa muvozanatidan masofani o'lchaydi x, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida siz(x) asosan elastik materialda harakatlanadigan bezovtalik (ya'ni kuchlanish) hajmini o'lchaydi. Massaga ta'sir ko'rsatadigan kuchlar m joylashgan joyda x + h ular:

${ displaystyle { begin {aligned} F _ { rm {Newton}} & = m cdot a (t) = m cdot { frac { qismli ^ {2}} { qismli t ^ {2}} } u (x + h, t) F _ { rm {Hooke}} & = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k chap [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} right] -k [u (x + h, t) -u (x, t)] end {hizalangan}}}$

Joylashuvdagi vazn uchun harakat tenglamasi x + h bu ikki kuchni tenglashtirish orqali berilgan:

${ displaystyle { kısmi ^ {2} ustidan qisman t ^ {2}} u (x + h, t) = {k ustidan m} [u (x + 2h, t) -u (x + h) , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}$

bu erda vaqtga bog'liqlik siz(x) aniq ko'rsatilgan.

Agar vazn massivi quyidagidan iborat bo'lsa N og'irliklar uzunligi bo'ylab teng ravishda joylashtirilgan L = Nh umumiy massa M = Nmva jami bahor doimiysi massiv K = k/N yuqoridagi tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

${ displaystyle { kısmi ^ {2} ustidan qisman t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} ustidan M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) ustidan h ^ {2}}.}$

Cheklovni olish N → ∞, h → 0 va silliqlikni qabul qilsa:

${ displaystyle { kısmi ^ {2} u (x, t) ustidan qisman t ^ {2}} = {KL ^ {2} ustidan M} { qismli ^ {2} u (x, t) over kısmi x ^ {2}},}$

a ta'rifidan kelib chiqqan ikkinchi lotin. KL²/M bu aniq holatda tarqalish tezligining kvadrati.

Qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanadigan ikkita to'lqinning superpozitsiyasi sifatida 1-d turgan to'lqin

Barda stress pulsi

Bar orqali uzunlamasına tarqaladigan stress pulsida bar juda ko'p sonli buloqlarga o'xshaydi va Xuk qonuni uchun chiqarilgan tenglamaning kengaytmasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Lineer elastik materialdan tayyorlangan bir xil novda, ya'ni doimiy kesma, qattiqlikka ega K tomonidan berilgan

${ displaystyle K = {EA over L},}$

Qaerda A tasavvurlar maydoni va E bo'ladi Yosh moduli materialning. To'lqin tenglamasi bo'ladi

${ displaystyle { kısmi ^ {2} u (x, t) ustidan qisman t ^ {2}} = {EAL ustidan M} { qismli ^ {2} u (x, t) ustidan qismli x ^ {2}}.}$

AL satrining hajmiga teng va shuning uchun

${ displaystyle { frac {AL} {M}} = { frac {1} { rho}},}$

qayerda r materialning zichligi. To'lqin tenglamasi ga kamayadi

${ displaystyle { frac { qismli ^ {2} u (x, t)} { qismli t ^ {2}}} = {E over rho} { qismli ^ {2} u (x, t ) over qismli x ^ {2}}.}$

Barda kuchlanish to'lqinining tezligi shuning uchun √E/r.

Umumiy echim

Algebraik yondashuv

Bir o'lchovli to'lqin tenglamasi a uchun odatiy emas qisman differentsial tenglama bunda nisbatan oddiy umumiy echim topish mumkin. Yangi o'zgaruvchilarni aniqlash:^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} xi & = x-ct eta & = x + ct end {aligned}}}$

to'lqin tenglamasini o'zgartiradi

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} u} { qismli xi qisman eta}} = 0,}$

bu umumiy echimga olib keladi

${ displaystyle u ( xi, eta) = F ( xi) + G ( eta)}$

yoki unga teng ravishda:

${ displaystyle u (x, t) = F (x-ct) + G (x + ct).}$

Boshqacha qilib aytganda, 1D to'lqin tenglamasining echimlari to'g'ri harakatlanadigan funktsiya yig'indisidir F va chap sayohat funktsiyasi G. "Sayohat qilish" ushbu individual o'zboshimchalik funktsiyalarining shakliga nisbatan ekanligini anglatadi x doimiy bo'lib qoladi, ammo funktsiyalar tezlikda vaqt bilan chapga va o'ngga tarjima qilinadi v. Bu tomonidan olingan Jan le Rond d'Alembert.^[9]

Ushbu natijaga erishishning yana bir usuli - to'lqin tenglamasi "faktorlangan" bo'lishi mumkinligini ta'kidlash:

${ displaystyle chap [{ frac { kısmi} { qismli t}} - c { frac { qismli} { qisman x}} o'ng] chap [{ frac { qismli} { qismli t}} + c { frac { qismli} { qismli x}} o'ng] u = 0.}$

Natijada, agar biz aniqlasak v shunday qilib,

${ displaystyle { frac { qismli u} { qismli t}} + c { frac { qismli u} { qismli x}} = v,}$

keyin

${ displaystyle { frac { kısmi v} { qismli t}} - c { frac { qisman v} { qisman x}} = 0.}$

Bundan, v shaklga ega bo'lishi kerak G(x + ct)va bundan to'liq echimning to'g'ri shakli siz xulosa qilish mumkin.^[10]

Dastlabki qiymat muammosi uchun ixtiyoriy funktsiyalar F va G dastlabki shartlarni qondirish uchun aniqlanishi mumkin:

${ displaystyle u (x, 0) = f (x)}$

${ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x).}$

Natija d'Alembert formulasi:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {f (x-ct) + f (x + ct)} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct } ^ {x + ct} g (s) mathrm {d} s}$

Klassik ma'noda agar f(x) ∈ C^k va g(x) ∈ C^k−1 keyin siz(t, x) ∈ C^k. Biroq, to'lqin shakllari F va G delta-funktsiya kabi umumlashtirilgan funktsiyalar ham bo'lishi mumkin. Bunday holda, yechim o'ngga yoki chapga harakatlanadigan impuls sifatida talqin qilinishi mumkin.

Asosiy to'lqin tenglamasi a chiziqli differentsial tenglama va shuning uchun u superpozitsiya printsipi. Bu shuni anglatadiki, ikki yoki undan ortiq to'lqinlar natijasida yuzaga kelgan aniq siljish har bir to'lqin tomonidan alohida-alohida kelib chiqadigan siljishlarning yig'indisidir. Bundan tashqari, to'lqinning xatti-harakatlarini to'lqinni tarkibiy qismlarga ajratish orqali tahlil qilish mumkin, masalan. The Furye konvertatsiyasi to'lqinni sinusoidal tarkibiy qismlarga ajratadi.

Samolyot to'lqinlarining o'ziga xos rejimlari

Bir o'lchovli to'lqin tenglamasining echimlarini hal qilishning yana bir usuli - bu avvalo uning chastotasini tahlil qilishdir shaxsiy kodlar. O'ziga xos rejim deb ataladigan vaqt - bu aniq belgilangan vaqt ichida tebranadigan echim doimiy burchak chastotasi ω, shuning uchun to'lqin funktsiyasining vaqtinchalik qismi shaklni oladi e^.Iωt = cos (ωt) − men gunoh (ωt)va amplituda funktsiyadir f(x) fazoviy o'zgaruvchining x, berish a o'zgaruvchilarni ajratish to'lqin funktsiyasi uchun:

${ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- i omega t} f (x).}$

Bu ishlab chiqaradi oddiy differentsial tenglama fazoviy qism uchun f(x):

${ displaystyle { frac { kısalt ^ {2} u _ { omega}} { qismli t ^ {2}}} = { frac { qismli ^ {2}} { qisman t ^ {2}} } chap (e ^ {- i omega t} f (x) o'ng) = - omega ^ {2} e ^ {- i omega t} f (x) = c ^ {2} { frac { kısmi ^ {2}} { qisman x ^ {2}}} chap (e ^ {- i omega t} f (x) o'ng),}$

Shuning uchun:

${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} f (x) = - left ({ frac { omega} {c}} o'ng) ^ {2} f (x),}$

bu aniq xususiy qiymat tenglamasi uchun f(x), shuning uchun eigenmode nomi berilgan. Bu taniqli odamga ega tekislik to'lqini echimlar

${ displaystyle f (x) = Ae ^ { pm ikx},}$

bilan to'lqin raqami k = ω/v.

Ushbu xos mod uchun umumiy to'lqin funktsiyasi keyinchalik chiziqli kombinatsiyadir

${ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- i omega t} chap (Ae ^ {- ikx} + Be ^ {ikx} o'ng) = Ae ^ {- i (kx + omega t)} + Be ^ {i (kx- omega t)},}$

bu erda murakkab raqamlar A, B umuman muammoning har qanday boshlang'ich va chegara shartlariga bog'liq.

O'z modmlari to'lqin tenglamasiga to'liq echimini tuzishda foydalidir, chunki ularning har biri faza faktori bilan vaqt o'tishi bilan ahamiyatsiz rivojlanadi ${ displaystyle e ^ {- i omega t}}$. shuning uchun to'liq echim an ga ajralishi mumkin xususiy rejimni kengaytirish

${ displaystyle u (x, t) = int _ {- infty} ^ { infty} s ( omega) u _ { omega} (x, t) mathrm {d} omega}$

yoki tekis to'lqinlar nuqtai nazaridan,

${ displaystyle { begin {aligned} u (x, t) & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- i (kx + omega t)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {i (kx- omega t)} mathrm {d} omega & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- ik (x + ct)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {ik (x-ct)} mathrm {d} omega & = F (x-ct) + G (x + ct) end { tekislangan}}}$

bu algebraik yondashuv bilan bir xil shaklda. Vazifalar s_±(ω) nomi bilan tanilgan Fourier komponenti va boshlang'ich va chegara shartlari bilan belgilanadi. Bu so'zda chastota-domeni to'g'ridan-to'g'ri alternativa usuli vaqt domeni kabi targ'ibotlar FDTD usuli to'lqinli paket siz(x, t), vaqt kengayishi bo'lmagan holda to'lqinlarni aks ettirish uchun to'liq hisoblanadi. Vaqt kengayishi mavjud bo'lganda to'lqinlarni ifodalash uchun Fourier kengayishining to'liqligi, vaqt o'zgarishiga imkon beruvchi chirp to'lqinlari echimlari bilan kurashdi. ω.^[11] Chirp to'lqinlari echimlari ayniqsa juda katta, ammo ilgari tushunarsiz bo'lgan radar qoldiqlari tomonidan nazarda tutilgan ko'rinadi uchish anomaliyasiva sinusoidal echimlardan har qanday masofada faqat mutanosib ravishda siljigan chastotalarda va vaqtning kengayishida, manbaning o'tgan chirp holatlariga mos keladigan tarzda olinishi bilan farq qiladi.

Uch fazoviy o'lchamdagi skalar to'lqin tenglamasi

Shveytsariyalik matematik va fizik Leonhard Eyler (1707 yilda tug'ilgan) uchta kosmik o'lchamdagi to'lqin tenglamasini kashf etdi.^[6]

Uch fazoviy o'lchamdagi to'lqin tenglamasi uchun boshlang'ich qiymat masalasining echimini sharsimon to'lqin uchun mos echimdan olish mumkin. Natijada, natijada ikkita kosmik o'lchamda bir xil echimni olish uchun ham foydalanish mumkin.

Sferik to'lqinlar

Ning texnikasi yordamida to'lqin tenglamasini echish mumkin o'zgaruvchilarni ajratish. Doimiy chastotali echimni olish uchun avval Furye to'lqin tenglamasini vaqt bo'yicha o'zgartiraylik

${ displaystyle Psi ({ vec {r}}, t) = int _ {- infty} ^ { infty} Psi ({ vec {r}}, omega) e ^ {- i omega t} mathrm {d} omega.}$

Shunday qilib, biz olamiz,

${ displaystyle left ( nabla ^ {2} + { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} right) Psi ({ vec {r}}, omega) = 0.}$

Bu Gelmgolts tenglamasi va o'zgaruvchilarni ajratish yordamida hal qilish mumkin. Agar muammoni tavsiflash uchun sferik koordinatalardan foydalanilsa, u holda Helmgols tenglamasining burchak qismiga yechim berilgan sferik harmonikalar va endi radial tenglama bo'ladi ^[12]

${ displaystyle left [{ frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} r ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} r}} + k ^ {2} - { frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} right] f_ {l} (r) = 0}$

Bu yerda k ≡ ω/v va to'liq echim endi tomonidan berilgan

${ displaystyle Psi ({ vec {r}}, omega) = sum _ {lm} left [A_ {lm} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + A_ {lm} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) right] Y_ {lm} ( theta, phi),}$

qayerda h⁽¹⁾
_l(kr) va h⁽²⁾
_l(kr) ular sferik Hankel funktsiyalari.

Misol

Ushbu sferik to'lqinlarning mohiyatini yaxshiroq tushunish uchun, orqaga qaytib, qachon bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik l = 0. Bunday holda, burchakka bog'liqlik bo'lmaydi va amplituda faqat radius masofasiga bog'liq, ya'ni. Ψ (r→,t) → siz(r, t). Bunday holda to'lqin tenglamasi ga kamayadi

${ displaystyle chap ( nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { qismli ^ {2}} { qismli t ^ {2}}} o'ng ) Psi ({ vec {r}}, t) = 0 rightarrow chap ({ frac { qismli ^ {2}} { qismli r ^ {2}}} + { frac {2} {) r}} { frac { qismli} { qismli r}} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { qismli ^ {2}} { qisman t ^ {2} }} o'ng) u (r, t) = 0}$

Ushbu tenglamani quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} (ru)} { qismli t ^ {2}}} - c ^ {2} { frac { qismli ^ {2} (ru)} { qisman r ^ {2}}} = 0; ,}$

qaerda miqdori ru bir o'lchovli to'lqin tenglamasini qondiradi. Shuning uchun, shaklda echimlar mavjud

${ displaystyle u (r, t) = { frac {1} {r}} F (r-ct) + { frac {1} {r}} G (r + ct),}$

qayerda F va G bir o'lchovli to'lqin tenglamasining umumiy echimlari bo'lib, ularni mos ravishda chiquvchi yoki kiruvchi sferik to'lqin sifatida talqin qilish mumkin. Bunday to'lqinlar a tomonidan hosil bo'ladi nuqta manbaiva ular faqat amplitudaning pasayishi bilan o'zgartirilgan aniq signallarni beradi r ortadi (yuqori o'ngdagi sferik to'lqinning rasmini ko'ring). Bunday to'lqinlar faqat g'alati o'lchamlarga ega bo'lgan kosmik holatlarda mavjud bo'ladi.^{[iqtibos kerak]}

Uchburchak qaramligiga ega bo'lgan 3D to'lqin tenglamasiga sferik bo'lmagan to'lqin echimlarining fizik misollari uchun qarang dipol nurlanishi.

Monoxromatik sferik to'lqin

To'lqin uzunligi 10 birlik bo'lgan, nuqta manbasidan tarqaladigan sferik to'lqinlar frontlarini kesib tashlash.

Garchi "monoxromatik" so'zi aniq emas, chunki u nurni anglatadi yoki elektromagnit nurlanish aniq belgilangan chastota bilan, ruh to'lqin tenglamasining xos rejimini uch o'lchovda kashf qilishdir. Oldingi qismidagi lotinlardan so'ng Samolyot to'lqinlarining o'ziga xos rejimlari, agar biz yana aniq belgilangan vaqt ichida tebranadigan sferik to'lqinlarga echimlarimizni cheklasak doimiy burchak chastotasi ω, keyin o'zgartirilgan funktsiya ru(r, t) shunchaki tekis to'lqinli echimlarga ega,

${ displaystyle ru (r, t) = Ae ^ {i ( omega t pm kr)},}$ yoki

${ displaystyle u (r, t) = { frac {A} {r}} e ^ {i chap ( omega t pm kr right)}.}$

Bundan shuni kuzatishimiz mumkinki, kvadrat to'lqin amplitudasi sifatida tavsiflangan sferik to'lqin tebranishining eng yuqori intensivligi.

${ displaystyle I = | u (r, t) | ^ {2} = { frac {| A | ^ {2}} {r ^ {2}}}}$.

ga mutanosib stavkada tushadi 1/r², ning misoli teskari kvadrat qonun.

Umumiy boshlang'ich qiymat masalasini echish

To'lqin tenglamasi chiziqli siz va u makon va vaqtdagi tarjimalar tomonidan o'zgartirilmaydi. Shuning uchun biz sharsimon to'lqinlarni tarjima qilish va yig'ish orqali juda ko'p turli xil echimlarni ishlab chiqarishimiz mumkin. Ruxsat bering φ(ξ, η, ζ) uchta mustaqil o'zgaruvchining ixtiyoriy funktsiyasi bo'lib, sharsimon to'lqin shakllansin F delta funktsiyasi bo'ling: ya'ni, ruxsat bering F ajralmas birlik bo'lgan, ammo qo'llab-quvvatlovchi (funktsiya nolga teng bo'lmagan mintaqa) kelib chiqishiga qadar kamayadigan doimiy funktsiyalarning zaif chegarasi bo'ling. Sharsimon to'lqinlar oilasi markazida bo'lsin (ξ, η, ζ)va ruxsat bering r shu nuqtadan radiusli masofa bo'ling. Shunday qilib

${ displaystyle r ^ {2} = (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} + (z- zeta) ^ {2}.}$

Agar siz og'irlik funktsiyasi bilan bunday to'lqinlarning superpozitsiyasi φ, keyin

${ displaystyle u (t, x, y, z) = { frac {1} {4 pi c}} iiint varphi ( xi, eta, zeta) { frac { delta (r- ct)} {r}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta , mathrm {d} zeta;}$

maxraj 4πc bu qulaylik.

Delta funktsiyasi ta'rifidan, siz sifatida ham yozilishi mumkin

${ displaystyle u (t, x, y, z) = { frac {t} {4 pi}} iint _ {S} varphi (x + ct alfa, y + ct beta, z + ct gamma) mathrm {d} omega,}$

qayerda a, bva γ birlik sharidagi koordinatalar Sva ω maydon elementidir S. Ushbu natija quyidagicha izohlanadi siz(t, x) bu t ning o'rtacha qiymatidan kattaroq φ radius sferasida ct markazida x:

${ displaystyle u (t, x, y, z) = tM_ {ct} [ phi].}$

Bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle u (0, x, y, z) = 0, quad u_ {t} (0, x, y, z) = phi (x, y, z).}$

O'rtacha qiymat tenglikning funktsiyasidir t, va shuning uchun agar shunday bo'lsa

${ displaystyle v (t, x, y, z) = { frac { qismli} { qisman t}} chap (tM_ {ct} [ psi] o'ng),}$

keyin

${ displaystyle v (0, x, y, z) = psi (x, y, z), quad v_ {t} (0, x, y, z) = 0.}$

Ushbu formulalar to'lqin tenglamasi uchun boshlang'ich qiymat masalasini hal qilishni ta'minlaydi. Ular ma'lum bir nuqtada echim ekanligini ko'rsatadi Pberilgan (t, x, y, z) faqat radius doirasidagi ma'lumotlarga bog'liq ct bilan kesilgan engil konus orqaga qarab tortilgan P. Bu shunday emas ushbu sohaning ichki qismidagi ma'lumotlarga bog'liq. Shunday qilib, sharning ichki qismi a lakuna hal qilish uchun. Ushbu hodisa deyiladi Gyuygens printsipi. Bu kosmik o'lchovning g'alati sonlari uchun to'g'ri keladi, bu erda bitta o'lchov uchun Dirac o'lchoviga nisbatan interval chegarasida integratsiya amalga oshiriladi. Hatto kosmik o'lchamlarda ham qoniqtirilmaydi. Lakunalar fenomeni keng ko'lamli tadqiq qilingan Atiya, Bott va Gording (1970, 1973).

Ikkala kosmik o'lchamdagi skalar to'lqin tenglamasi

Ikki kosmik o'lchamda to'lqin tenglamasi

${ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} chap (u_ {xx} + u_ {yy} o'ng).}$

Agar hisobga olsak, biz ushbu muammoni hal qilish uchun uch o'lchovli nazariyadan foydalanishimiz mumkin siz uchinchi o'lchovdan mustaqil bo'lgan uchta o'lchamdagi funktsiya sifatida. Agar

${ displaystyle u (0, x, y) = 0, quad u_ {t} (0, x, y) = phi (x, y),}$

u holda uch o'lchovli eritma formulasi bo'ladi

${ displaystyle u (t, x, y) = tM_ {ct} [ phi] = { frac {t} {4 pi}} iint _ {S} phi (x + ct alfa, , y + ct beta) mathrm {d} omega,}$

qayerda a va β birlik sharidagi dastlabki ikkita koordinatalar va dω bu sharning maydon elementidir. Ushbu integral disk ustida ikki tomonlama integral sifatida qayta yozilishi mumkin D. markaz bilan (x, y) va radius ct:

${ displaystyle u (t, x, y) = { frac {1} {2 pi ct}} iint _ {D} { frac { phi (x + xi, y + eta)} {{sqrt {(ct) ^ {2} - xi ^ {2} - eta ^ {2}}}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta.}$

Ko'rinib turibdiki, echim (t, x, y) nafaqat yorug'lik konusidagi ma'lumotlarga bog'liq

${ displaystyle (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2},}$

shuningdek, ushbu konusning ichki qismi bo'lgan ma'lumotlar bo'yicha.

Umumiy o'lchamdagi skalar to'lqinining tenglamasi va Kirchhoff formulalari

Biz echimlarni topmoqchimiz siz_tt - Δsiz = 0 uchun siz : Rⁿ × (0, ∞) → R bilan siz(x, 0) = g(x) va siz_t(x, 0) = h(x). Qo'shimcha ma'lumot uchun Evans-ga qarang.

G'alati o'lchamlar

Faraz qiling n ≥ 3 toq tamsayı va g ∈ C^m+1(Rⁿ), h ∈ C^m(Rⁿ) uchun m = (n + 1)/2. Ruxsat bering γ_n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (n − 2) va ruxsat bering

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { gamma _ {n}}} left [ kısalt _ {t} chap ({ frac {1} {t}} kısalt _ {t} o'ng) ^ { frac {n-3} {2}} chap (t ^ {n-2} { frac {1} {| qisman B_ {t} (x) |}} ) int _ { qisman B_ {t} (x)} gdS o'ng) + chap ({ frac {1} {t}} qisman _ {t} o'ng) ^ { frac {n-3} { 2}} chap (t ^ {n-2} { frac {1} {| qisman B_ {t} (x) |}} int _ { qisman B_ {t} (x)} hdS o'ng ) o'ng]}$

keyin

siz ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))

siz_tt - Δsiz = 0 yilda Rⁿ × (0, ∞)

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {hizalangan}}}$

Hatto o'lchamlari

Faraz qiling n ≥ 2 teng sonli va g ∈ C^m+1(Rⁿ), h ∈ C^m(Rⁿ), uchun m = (n + 2)/2. Ruxsat bering γ_n = 2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ n va ruxsat bering

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { gamma _ {n}}} left [ kısalt _ {t} chap ({ frac {1} {t}} kısalt _ {t} o'ng) ^ { frac {n-2} {2}} chap (t ^ {n} { frac {1} {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {g} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} mathrm {d} y right ) + chap ({ frac {1} {t}} qismli _ {t} o'ng) ^ { frac {n-2} {2}} chap (t ^ {n} { frac {1) } {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {h} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} mathrm {d} y right) right]}$

keyin

siz ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))

siz_tt - Δsiz = 0 yilda Rⁿ × (0, ∞)

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {hizalangan}}}$

Chegaralar bilan bog'liq muammolar

Bitta bo'shliq o'lchovi

Shturm-Liovil formulasi

Ikki nuqta orasiga cho'zilgan egiluvchan ip x = 0 va x = L uchun to'lqin tenglamasini qondiradi t > 0 va 0 < x < L. Chegara nuqtalarida, siz turli xil chegara shartlarini qondirishi mumkin. Ilovalar uchun mos bo'lgan umumiy shakl

${ displaystyle -u_ {x} (t, 0) + au (t, 0) = 0,}$

${ displaystyle u_ {x} (t, L) + bu (t, L) = 0,}$

qayerda a va b salbiy emas. Agar $ u $ ni so'nggi nuqtada yo'q qilish kerak bo'lsa, bu holat tegishli bo'lganda ushbu shartning chegarasi a yoki b cheksizlikka yaqinlashadi. Usuli o'zgaruvchilarni ajratish ushbu muammoning echimlarini maxsus shaklda izlashdan iborat

${ displaystyle u (t, x) = T (t) v (x).}$

Buning natijasi shu

${ displaystyle { frac {T ''} {c ^ {2} T}} = { frac {v ''} {v}} = - lambda.}$

The o'ziga xos qiymat λ chegara-qiymat masalasining ahamiyatsiz echimi bo'lishi uchun aniqlanishi kerak

${ displaystyle v '' + lambda v = 0,}$

${ displaystyle -v '(0) + av (0) = 0, quad v' (L) + bv (L) = 0.}$

Bu umumiy muammoga xos holat Sturm-Liovil nazariyasi. Agar a va b musbat, xususiy qiymatlari hammasi ijobiy, echimlari esa trigonometrik funktsiyalardir. Uchun kvadrat bilan birlashtiriladigan dastlabki shartlarni qondiradigan echim siz va siz_t ushbu funktsiyalarni tegishli trigonometrik qatorlarda kengaytirishdan olish mumkin.

Raqamli usullar bilan tekshirish

Uzluksiz mag'lubiyatni cheklangan sonli teng masofali massa nuqtalari bilan yaqinlashtirish quyidagi fizik modelni oladi:

1-rasm: Ip uchun diskret modelning ketma-ket uchta massa nuqtasi

Agar har bir massa nuqtasi massaga ega bo'lsa m, ipning tarangligi f, massa nuqtalari orasidagi bo'linish Δx va siz_men, men = 1, …, n bularning hisobi n muvozanat nuqtalaridagi nuqtalar (ya'ni ipning ikkita biriktiruvchi nuqtasi orasidagi to'g'ri chiziqdagi o'rni) kuchning nuqtaga qarab vertikal komponenti men + 1 bu

${ displaystyle { frac {u_ {i + 1} -u_ {i}} { Delta x}} f}$

(1)

va kuchning nuqtaga qarab vertikal komponenti men − 1 bu

${ displaystyle { frac {u_ {i-1} -u_ {i}} { Delta x}} f}$

(2)

Ushbu ikki kuchning yig'indisini olish va massaga bo'lish m vertikal harakatga to'g'ri keladi:

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = chap ({ frac {f} {m Delta x}} o'ng) chap (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} o'ng)}$

(3)

Sifatida massa zichligi

${ displaystyle rho = { frac {m} { Delta x}}}$

bu yozilishi mumkin

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = chap ({ frac {f} { rho { Delta x} ^ {2}}} o'ng) chap (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} o'ng)}$

(4)

To'lqin tenglamasi ruxsat berish yo'li bilan olinadi Δx → 0 bu holda siz_men(t) shaklni oladi siz(x, t) qayerda siz(x, t) ikki o'zgaruvchining doimiy funktsiyasi, ··siz_men shaklni oladi ∂²siz/∂t² va

${ displaystyle { frac {u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i}} {{ Delta x} ^ {2}}} to { frac { qismli ^ {2} u} { qisman x ^ {2}}}}$

Ammo alohida formulalar (3) massa nuqtasining sonli soniga ega bo'lgan davlat tenglamasi a uchun mos keladi raqamli tarqalish mag'lubiyat harakati. Chegara sharti

${ displaystyle u (0, t) = u (L, t) = 0}$

qayerda L Ipning uzunligi diskret formulada eng tashqi nuqtalar uchun shaklni oladi siz₁ va siz_n harakat tenglamalari

${ displaystyle { ddot {u}} _ {1} = { chap ({ frac {c} { Delta x}} o'ng)} ^ {2} chap (u_ {2} -2u_ {1) } o'ng)}$

(5)

va

${ displaystyle { ddot {u}} _ {n} = { chap ({ frac {c} { Delta x}} o'ng)} ^ {2} chap (u_ {n-1} -2u_ {n} o'ng)}$

(6)

uchun esa 1 < men < n

${ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = { chap ({ frac {c} { Delta x}} o'ng)} ^ {2} chap (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} o'ng)}$

(7)

qayerda v = √f/r.

Agar mag'lubiyat 100 diskret massa nuqtasi bilan yaqinlashtirilsa, 100 ta ikkinchi darajali differentsial tenglamalar olinadi (5), (6) va (7) yoki unga tenglashtirilgan 200 ta birinchi tartibli differentsial tenglamalar.

Bularni zamon talablariga ko'ra targ'ib qilish

${ displaystyle { frac {L} {c}} k (0.05), , k = 0, cdots, 5}$

8-tartib yordamida ko'p bosqichli usul 2-rasmda ko'rsatilgan 6 ta holat topilgan:

2-rasm: Ip ketma-ket 6 ta davrda, birinchisi (qizil) qolgan vaqtdagi ip bilan boshlang'ich vaqtga to'g'ri keladi

3-rasm: ketma-ket 6 ta davrda ip

4-rasm: ketma-ket 6 ta davrda ip

5-rasm: ketma-ket 6 ta davrda ip

6-rasm: ketma-ket 6 ta davrda ip

7-rasm: ketma-ket 6 ta davrda ip

Qizil egri chiziq nol vaqtidagi dastlabki holat bo'lib, unda ip oldindan belgilangan shaklda "qo'yib yuboriladi"^[13] hamma bilan ${ displaystyle { dot {u}} _ {i} = 0}$. Moviy egri - bu vaqtdagi holat ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} (0.25),}$ ya'ni vaqtga mos keladigan vaqtdan keyin nominal to'lqin tezligi bilan harakatlanadigan to'lqin v=√ f/r Ip uzunligining to'rtdan biriga kerak bo'ladi.

3-rasmda vaqti-vaqti bilan ipning shakli ko'rsatilgan ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 6, cdots, 11}$. To'lqin tezlik bilan to'g'ri yo'nalishda harakat qiladi v=√ f/r Ipning ikki chetidagi chegara shartlari bilan faol cheklovsiz. To'lqin shakli doimiy, ya'ni egri chiziq shakldadir f(x − ct).

4-rasmda vaqti-vaqti bilan ipning shakli ko'rsatilgan ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 12, cdots, 17}$. O'ng ekstremal cheklov to'lqinning ipning uchini ko'tarishiga to'sqinlik qiladigan harakatga to'sqinlik qila boshlaydi.

5-rasmda vaqti-vaqti bilan ipning shakli ko'rsatilgan ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 18, cdots, 23}$ harakat yo'nalishi teskari bo'lganda. Qizil, yashil va ko'k egri chiziqlar bu holatlardir ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 18, cdots, 20}$ 3 ta qora egri chiziqlar ba'zida holatlarga to'g'ri keladi ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 21, cdots, 23}$ to'lqin chapga qarab orqaga qaytishni boshlaydi.

6-rasm va 7-rasmda oxir-oqibat ipning shakli aks ettirilgan ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 24, cdots, 29}$ va ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} k (0.05), , k = 30, cdots, 35}$. Endi to'lqin chapga qarab harakatlanadi va so'nggi nuqtalardagi cheklovlar endi faol emas. Nihoyat, mag'lubiyatning boshqa chekkasi yana 6-rasmda ko'rsatilgandek teskari yo'naltiriladi.

Bir nechta kosmik o'lchamlar

To'lqin tenglamasining ikki o'lchovdagi echimi, butun tashqi chet bo'ylab nolga siljish chegara sharti bilan.

Bir o'lchovli boshlang'ich chegara nazariyasi kosmik o'lchamlarning ixtiyoriy soniga etkazilishi mumkin. Domenni ko'rib chiqing D. yilda m- o'lchovli x chegara bilan bo'shliq B. Keyin to'lqin tenglamasini qondirish kerak, agar x ichida D. va t > 0. Chegarasida D, echim siz qondirishi kerak

${ displaystyle { frac { u u {{ u003d u003d u003d qism}} + au = 0, ,}$

qayerda n uchun tashqi birlik normal hisoblanadi Bva a manfiy bo'lmagan funktsiyadir B. Ish qaerda siz yo'qoladi B uchun cheklovchi ishdir a cheksizlikka yaqinlashish. Dastlabki shartlar

${ displaystyle u (0, x) = f (x), quad u_ {t} (0, x) = g (x), ,}$

qayerda f va g ichida aniqlanadi D. Ushbu muammoni kengaytirish yo'li bilan hal qilish mumkin f va g laplasiyaning o'ziga xos funktsiyalarida D, chegara shartlarini qondiradigan. Shunday qilib o'ziga xos funktsiya v qondiradi

${ displaystyle nabla cdot nabla v + lambda v = 0, ,}$

yilda D, va

${ displaystyle { frac { kısmi v} { kısmi n}} + av = 0, ,}$

kuni B.

Ikkita kosmik o'lchamlarda, o'z funktsiyalari chegara bo'ylab cho'zilgan barabanning tebranish usullari sifatida talqin qilinishi mumkin. B. Agar B aylana bo'lsa, u holda bu o'ziga xos funktsiyalar qutbli burchakning trigonometrik funktsiyasi bo'lgan burchakli tarkibiy qismga ega. θ, a ga ko'paytiriladi Bessel funktsiyasi radial komponentning (butun tartib tartibida). Qo'shimcha ma'lumotlar Gelmgolts tenglamasi.

Agar chegara uchta fazoviy o'lchamdagi shar bo'lsa, o'z funktsiyalarining burchak qismlari sferik harmonikalarva radiusli komponentlar Bessel funktsiyalari yarim tamsayı tartibida.

Bir o'lchovdagi bir hil bo'lmagan to'lqin tenglamasi

Bir o'lchovdagi bir hil bo'lmagan to'lqin tenglamasi quyidagicha:

${ displaystyle u_ {tt} (x, t) -c ^ {2} u_ {xx} (x, t) = s (x, t) ,}$

tomonidan berilgan dastlabki shartlar bilan

${ displaystyle u (x, 0) = f (x) ,}$

${ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x) ,}$

Funktsiya s(x, t) ko'pincha manba funktsiyasi deb ataladi, chunki amalda u to'lqin manbalarining ularni tashiydigan muhitga ta'sirini tavsiflaydi. Manba funktsiyalarining fizik misollari qatoriga to'lqinni harakatga keltiruvchi kuch yoki ichidagi zaryad yoki oqim zichligi kiradi Lorenz o'lchovi ning elektromagnetizm.

Boshlang'ich qiymat muammosini hal qilishning bir usuli (yuqoridagi boshlang'ich qiymatlari bilan) toq sonli kosmik o'lchamdagi to'lqin tenglamasining maxsus xususiyatidan foydalanish, ya'ni uning echimlari nedensellikni hurmat qilishdir. Ya'ni, har qanday nuqta uchun (x_men, t_men), qiymati siz(x_men, t_men) ning qiymatlariga bog'liq f(x_men + ct_men) va f(x_men − ct_men) va funktsiya qiymatlari g(x) o'rtasida (x_men − ct_men) va (x_men + ct_men). Buni ko'rish mumkin d'Alembert formulasi, yuqorida aytib o'tilgan, bu erda bu miqdorlar faqatgina uni namoyon qiladi. Jismoniy jihatdan, agar maksimal tarqalish tezligi bo'lsa v, u holda ma'lum bir vaqtga ma'lum bir nuqtaga tarqalib keta olmaydigan to'lqinning biron bir qismi amplituda bir vaqtning o'zida va vaqtida ta'sir qila olmaydi.

Yechimni topish nuqtai nazaridan ushbu nedensiallik xususiyati shuni anglatadiki, ko'rib chiqilayotgan chiziqning har qanday nuqtasi uchun faqatgina ko'rib chiqilayotgan nuqtaga ta'sir ko'rsatishi mumkin bo'lgan barcha nuqtalarni qamrab oladigan maydon hisobga olinishi kerak. Nuqtaga tasodifan ta'sir qiladigan maydonni belgilang (x_men, t_men) kabi R_C. Faraz qilaylik, biz ushbu mintaqa bo'yicha bir hil bo'lmagan to'lqin tenglamasini birlashtirdik.

${ displaystyle iint limitlar _ {R_ {C}} chap (c ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) right) , mathrm {d } x , mathrm {d} t = iint limitlar _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}$

Buni juda soddalashtirish uchun biz foydalanishimiz mumkin Yashil teorema quyidagilarni olish uchun chap tomonni soddalashtirish uchun:

${ displaystyle int _ {L_ {0} + L_ {1} + L_ {2}} chap (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) mathrm {d} x right) = iint limitlar _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}$

Chap tomon endi sabablar mintaqasi chegaralari bo'ylab uchta chiziqli integrallarning yig'indisidir. Bularni hisoblash juda oson bo'lib chiqadi

${ displaystyle int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} - u_ {t} (x, 0) , mathrm {d} x = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x.}$

Yuqorida, vaqtga nisbatan birlashtiriladigan atama yo'qoladi, chunki vaqt oralig'i nolga teng, shuning uchun dt = 0.

Mintaqaning boshqa ikki tomoni uchun ham shuni ta'kidlash kerak x ± ct doimiy, ya'ni x_men ± ct_men, bu erda belgi mos ravishda tanlangan. Buning yordamida biz munosabatlarni olishimiz mumkin dx ± vdt = 0, yana to'g'ri belgini tanlash:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {L_ {1}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = int _ {L_ {1}} chap (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ {t) } (x, t) , mathrm {d} t right) & = c int _ {L_ {1}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu ( x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}). end {hizalanmış}}}$

Va shunga o'xshash yakuniy chegara segmenti uchun:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {L_ {2}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = - int _ {L_ {2}} chap (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ {) t} (x, t) , mathrm {d} t right) & = - c int _ {L_ {2}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}). end {hizalanmış}}}$

Uchta natijani qo'shib, ularni asl integralga qaytarish:

${ displaystyle { begin {aligned} iint _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t & = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) & = 2cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i} } g (x) , mathrm {d} x end {hizalanmış}}}$

Uchun hal qilish siz(x_men, t_men) biz etib boramiz

${ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i}) = { frac {f (x_ {i} + ct_ {i}) + f (x_ {i} -ct_ {i})} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + { frac {1} {2c}} int _ {0} ^ {t_ {i}} int _ {x_ {i} -c chap (t_ {i} -t o'ng)} ^ {x_ {i } + c chap (t_ {i} -t o'ng)} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}$

In the last equation of the sequence, the bounds of the integral over the source function have been made explicit. Looking at this solution, which is valid for all choices (x_men, t_men) compatible with the wave equation, it is clear that the first two terms are simply d'Alembert's formula, as stated above as the solution of the homogeneous wave equation in one dimension. The difference is in the third term, the integral over the source.

Other coordinate systems

In three dimensions, the wave equation, when written in elliptic cylindrical coordinates, may be solved by separation of variables, leading to the Mathieu differential equation.

Further generalizations

Elastic waves

The elastic wave equation (also known as the Navier–Cauchy equation) in three dimensions describes the propagation of waves in an izotrop bir hil elastik o'rta. Most solid materials are elastic, so this equation describes such phenomena as seysmik to'lqinlar ichida Yer va ultratovushli waves used to detect flaws in materials. While linear, this equation has a more complex form than the equations given above, as it must account for both longitudinal and transverse motion:

${displaystyle ho {ddot {mathbf {u} }}=mathbf {f} +(lambda +2mu ) abla ( abla cdot mathbf {u} )-mu abla imes ( abla imes mathbf {u} )}$

qaerda:

• λ va m are the so-called Lamé parametrlari describing the elastic properties of the medium,
• r is the density,
• f is the source function (driving force),
• va siz is the displacement vector.

Foydalanish orqali ∇ × (∇ × siz) = ∇(∇ ⋅ siz) - ∇ ⋅ ∇ siz = ∇(∇ ⋅ siz) - ∆siz the elastic wave equation can be rewritten into the more common form of the Navier–Cauchy equation.

Note that in the elastic wave equation, both force and displacement are vektor quantities. Thus, this equation is sometimes known as the vector wave equation.As an aid to understanding, the reader will observe that if f va ∇ ⋅ siz are set to zero, this becomes (effectively) Maxwell's equation for the propagation of the electric field E, which has only transverse waves.

Dispersion relation

Yilda tarqoq wave phenomena, the speed of wave propagation varies with the wavelength of the wave, which is reflected by a dispersion relation

${displaystyle omega =omega (mathbf {k} ),}$

qayerda ω bo'ladi burchak chastotasi va k bo'ladi to'lqin vektori tasvirlash tekislik to'lqini echimlar. For light waves, the dispersion relation is ω = ±v |k|, but in general, the constant speed v gets replaced by a variable o'zgarishlar tezligi:

${displaystyle v_{mathrm {p} }={frac {omega (k)}{k}}.}$

Shuningdek qarang

Izohlar

Adabiyotlar

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta matematikasi., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta matematikasi., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• L. Evans, "Partial Differential Equations". American Mathematical Society Providence, 1998.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", PHYSNET loyihasi.

Tashqi havolalar

• Nonlinear Wave Equations tomonidan Stiven Volfram and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer tomonidan Wolfram namoyishlari loyihasi.
• Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308

Vikimedia Commons-ga tegishli ommaviy axborot vositalari mavjud To'lqin tenglamasi.