WikiDer > Kommutatorning pastki maydoni

Bu maqola bu yetim, boshqa maqolalar singari unga havola. Iltimos havolalar bilan tanishtirish dan ushbu sahifaga tegishli maqolalar; harakat qilib ko'ring Havola vositasini toping takliflar uchun. (2013 yil sentyabr)

Matematikada kommutator subspace ikki tomonlama ideal ning chegaralangan chiziqli operatorlar ajratiladigan Hilbert maydoni tomonidan kengaytirilgan chiziqli subspace komutatorlar Chegaralangan operatorlar bilan idealdagi operatorlar. Kommutator pastki makonining zamonaviy tavsifi Calkin yozishmalari va u qabul qilish uchun ideal bo'lgan operatorning Kalkin ketma-ketligi makonining o'zgarmasligini o'z ichiga oladi Cesàro degani. Ushbu aniq spektral tavsif kommutatorlar bilan bog'liq muammolarni va savollarni kamaytiradi izlar ketma-ketlikdagi ikki tomonlama ideallarga (hal etiladigan) muammolar va shartlarga.

Tarix

Xilbert bo'shliqlarida chiziqli operatorlar kommutatorlari 1930-yillarda ular mashhur bo'lganidek taniqli bo'lishdi matritsa mexanikasi, yoki Heisenberg, kvant mexanikasini shakllantirish. Kommutator subspaces-ga 1970-yillarga qadar kam e'tibor berildi. Amerikalik matematik Pol Halmos 1954 yilda ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert fazosidagi har bir chegaralangan operator chegaralangan operatorlarning ikkita komutatori yig'indisi ekanligini ko'rsatdi.^[1]1971 yilda Karl Pirsiy va Devid Toping mavzuni qayta ko'rib chiqdilar va kommutatorning pastki bo'shliqlarini o'rganishdi Shatten ideallari.^[2] Talaba sifatida amerikalik matematik Gari Vayss komutatorlari uchun spektral sharoitlarni o'rganishni boshladi Hilbert-Shmidt operatorlari.^[3][4]Britaniyalik matematik Nayjel Kalton, Vayssning spektral holatini payqab, barcha iz sinflari kommutatorlarini xarakterladi.^[5]Kaltonning natijasi kommutator pastki fazosini zamonaviy tavsiflash uchun asos bo'lib xizmat qiladi. 2004 yilda Ken Dyukema, Tadeush Figel, Gari Vayss va Marius Vodzikki har bir ixcham operatorlarning har ikki tomonlama ideallari uchun kommutator subspace-da normal operatorlarning spektral tavsiflarini nashr etishdi.^[6]

Ta'rif

Ikki tomonlama idealning komutator subspace J chegaralangan chiziqli operatorlar B(H) ajratiladigan Hilbert fazosida H operatorlarining chiziqli oralig'i J shaklning [A,B] = AB − BA barcha operatorlar uchun A dan J va B dan B(H).

Ning kommutatori subspace J ning chiziqli subspace hisoblanadi J Com bilan belgilanadi (J) yoki [B(H),J].

Spektral tavsif

The Calkin yozishmalari a ixcham operator A ikki tomonlama idealga tegishli J agar va faqat birlik qiymatlari m (A) ning A Calkin ketma-ketlik makoniga tegishli j bilan bog'liq J. Oddiy operatorlar kommutatorli Comspace (J) kabi tavsiflanishi mumkin A shunday qilib m (A) tegishli j va The Sezaro degani m ning ketma-ketligi (A) tegishli j.^[6] Quyidagi teorema oddiy operatorlarning farqlarini biroz kengaytiradi^[7] (sozlash B Quyidagi = 0 oldingi jumlaning bayonini beradi).

Teorema. Aytaylik A, B ikki tomonlama idealga tegishli ixcham oddiy operatorlar J. Keyin A − B kommutator pastki fazosiga tegishli Com (J) agar va faqat agar

${ displaystyle left {{ frac {1} {1 + n}} sum _ {k = 0} ^ {n} left ( mu (k, A) - mu (k, B) ) o'ng) o'ng } _ {n = 0} ^ { infty} in j}$

qayerda j ga mos keladigan Kalkin ketma-ketlik maydoni J va m (A), m (B) ning birlik qiymatlari A va Bnavbati bilan.

Sharti bilan o'ziga xos qiymatlar ketma-ketligi barcha operatorlarning J Calkin ketma-ketlik makoniga tegishli j ixtiyoriy (normal bo'lmagan) operatorlar uchun spektral tavsif mavjud. Bu har ikki tomonlama ideal uchun amal qilmaydi, ammo zarur va etarli shartlar ma'lum. Nayjel Kalton va amerikalik matematik Ken Dikema birinchi navbatda juda ko'p hosil bo'lgan ideallar uchun shartni taqdim etdilar.^[8][9]O'zbek va avstraliyalik matematiklar Fedor Sukochev va Dmitriy Zanin o'zlarining shaxsiy xarakteristikalarini to'ldirdilar.^[10]

Teorema. Aytaylik J ikki tomonlama ideal, shunday qilib chegaralangan operator A tegishli J har doim cheklangan operator mavjud bo'lganda B yilda J shu kabi

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, A) leq prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, B), quad n = 0, 1,2, ldots.}$

(1)

Agar chegaralangan operator bo'lsa A va B tegishli J keyin A − B kommutator pastki fazosiga tegishli Com (J) agar va faqat agar

${ displaystyle left {{ frac {1} {1 + n}} sum _ {k = 0} ^ {n} left ( lambda (k, A) - lambda (k, B) right) right } _ {n = 0} ^ { infty} in j}$

qayerda j ga mos keladigan Kalkin ketma-ketlik maydoni J va λ (A), λ (B) - bu operatorlarning xususiy qiymatlari ketma-ketligi A va Bo'z navbatida, o'z qiymatlarining mutlaq qiymati kamayib borishi uchun qayta joylashtirilgan.

Ikki tomonlama ideallarning aksariyati Teoremadagi shartni qondiradi, barcha Banach ideallari va kvazi-Banax ideallarini o'z ichiga oladi.

Xarakteristikaning natijalari

• Har bir operator J mos keladigan Kalkin ketma-ketligi oralig'i bo'lsa, bu kommutatorlarning yig'indisi j qabul qilishda o'zgarmasdir Cesàro degani. Belgilarda Com (J) = J C ga teng (j) = j, bu erda C ketma-ketlikdagi Cesàro operatorini bildiradi.
• Har qanday ikki tomonlama idealda musbat operator va uning diagonalizatsiyasi o'rtasidagi farq kommutatorlar yig'indisidir. Anavi, A - diag (m (A)) Com-ga tegishli (J) har bir ijobiy operator uchun A yilda J qaerda diag (m (A)) ning diagonalizatsiyasi A ajratiladigan Hilbert fazosining ixtiyoriy ortonormal asosida H.
• Har qanday ikki tomonlama idealda qoniqarli (1) ixtiyoriy operator va uning diagonalizatsiyasi o'rtasidagi farq kommutatorlar yig'indisidir. Anavi, A - diag (λ (A)) Com-ga tegishli (J) har bir operator uchun A yilda J qaerda diag (λ (A)) ning diagonalizatsiyasi A ajratiladigan Hilbert fazosining ixtiyoriy ortonormal asosida H va λ (A) - bu o'z qiymatining ketma-ketligi.
• Har bir kvazi-nilpotent operator qoniqarli ikki tomonlama idealda (1) - bu kommutatorlarning yig'indisi.

Izlarga qo'llash

Ikki tomonlama idealda iz φ J ning B(H) chiziqli funktsional functional:J Comda yo'qoladigan → (J). Yuqoridagi oqibatlar shuni anglatadiki

• Ikki tomonlama ideal J nolga teng bo'lmagan izga ega va agar C bo'lsaj) ≠ j.
• φ (A) = diyag (m (A)) har bir ijobiy operator uchun A yilda J qaerda diag (m (A)) ning diagonalizatsiyasi A ajratiladigan Hilbert fazosining ixtiyoriy ortonormal asosida H. Ya'ni, izlar J bilan bevosita yozishmalarda nosimmetrik funktsiyalar kuni j.
• Har qanday ikki tomonlama idealda qoniqarli (1), φ (A) = diyag (λ (A)) har bir operator uchun A yilda J qaerda diag (λ (A)) ning diagonalizatsiyasi A ajratiladigan Hilbert fazosining ixtiyoriy ortonormal asosida H va λ (A) - bu o'z qiymatining ketma-ketligi.
• Har qanday ikki tomonlama idealda qoniqarli (1), φ (Q) Har biri uchun = 0 kvazi-nilpotent operator Q dan J va har qanday iz J.

Misollar

Aytaylik H ajratiladigan cheksiz o'lchovli Hilbert fazosi.

• Yilni operatorlar. The ixcham chiziqli operatorlar K(H) nol ketma-ketlikka yaqinlashadigan maydonga mos keladi, v₀. Nolinchi ketma-ketlikka yaqinlashish uchun Cesàro degani nolga yaqinlashish. Shuning uchun, C (v₀) = v₀ va Com (K(H)) = K(H).
• Sonli darajadagi operatorlar. The cheklangan darajadagi operatorlar F(H) cheklangan nolga teng bo'lmagan shartlar bilan ketma-ketliklar maydoniga mos keladi, v₀₀. Vaziyat

${ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in c_ {00}}$

agar va faqatgina bo'lsa sodir bo'ladi

${ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {N} = 0}$

ketma-ketlik uchun (a₁, a₂, ..., a_N, 0, 0, ...) in v₀₀. Ning yadrosi operator izi Tr yoqilgan F(H) va cheklangan darajadagi operatorlarning komutator kichik maydoni teng, ker Tr = Com (F(H)) ⊊ F(H).

• Izlash klassi operatorlari. The iz sinf operatorlari L₁ ga mos keladi jamlanadigan ketma-ketliklar. Vaziyat

${ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {1}}$

a shartidan kuchliroq₁ + a₂ ... = 0. bilan ketma-ketlikni misol qilib keltirish mumkin

${ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {n log ^ {2} (n)}}, quad n geq 2.}$

va

${ displaystyle a_ {1} = - sum _ {n = 2} ^ { infty} a_ {n}.}$

yig'indisi nolga teng, ammo Cesàro vositalarining jamlanadigan ketma-ketligiga ega emas. Shuning uchun Com (L₁) Ker Tr ⊊ L₁.

• Izlash sinfining zaif operatorlari. The zaif iz operatorlari L_1,∞ ga mos keladi kuchsizl₁ ketma-ketlik maydoni. Vaziyatdan

${ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {1, infty}}$

yoki unga teng ravishda

${ displaystyle left {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty} = O (1)}$

darhol Com (L_1,∞)₊ = (L₁)₊. Zaif kuzatuv klassi operatorlarining kommutator subspace tarkibida trace class operatorlari mavjud. The harmonik ketma-ketlik1,1 / 2,1 / 3, ..., 1 / n, ... tegishli l_1,∞ va u divergent qatorga ega va shuning uchun harmonik ketma-ketlikning Cesàro vositalari tegishli emas l_1,∞.Qisqa bayoni; yakunida, L₁ ⊊ Com (L_1,∞) ⊊ L_1,∞.

Izohlar

Adabiyotlar

• K. Dyykema; T. Figiel; G. Vayss; M. Vodzikki (2004). "Operator ideallarining kommutator tuzilishi" (PDF). Adv. Matematika. 185: 1–79. doi:10.1016 / s0001-8708 (03) 00141-5.

• G. Vayss (2005), "B(H) -kommutatorlar: tarixiy tadqiqot ", Dumitru Gashparda; Dan Timotin; Laszló Zsidó; Isroil Gohberg; Florian-Xoriya Vasilesku (tahr.), Operator nazariyasining so'nggi yutuqlari, operator algebralari va ularning qo'llanilishi, Operator nazariyasi: avanslar va ilovalar, 153, Berlin: Birxäuser Bazel, 307–320-betlar, ISBN 978-3-7643-7127-2

• T. Figiel; N. Kalton (2002), "Funktsiya bo'shliqlaridagi simmetrik chiziqli funksiyalar", M.Kvikelda; M. Englis; A. Kufner; L.-E. Persson; G. Sparr (tahr.), Funktsiya bo'shliqlari, interpolatsiya nazariyasi va tegishli mavzular: Jak Pitrning 65 yoshida sharafiga bag'ishlangan xalqaro konferentsiya materiallari: Lund, Shvetsiya, 2000 yil 17-22 avgust., De Gruyter: Matematika bo'yicha ishlar, Berlin: De Gruyter, 311-332 betlar, ISBN 978-3-11-019805-8

• S. Lord, F. A. Sukochev. D. Zanin (2012). Yagona izlar: nazariya va qo'llanmalar. Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.