WikiDer > Gamilton matritsasi

Hamiltonian matrix

Yilda matematika, a Gamilton matritsasi a 2n-by-2n matritsa A shu kabi JA bu nosimmetrik, qayerda J bo'ladi nosimmetrik matritsa

va Menn bo'ladi n-by-n identifikatsiya matritsasi. Boshqa so'zlar bilan aytganda, A Hamiltoniyalik bo'lsa va faqat shunday bo'lsa (JA)T = JA qayerda ()T belgisini bildiradi ko'chirish.[1]

Xususiyatlari

Deylik 2n-by-2n matritsa A deb yozilgan blokli matritsa

qayerda a, b, vva d bor n-by-n matritsalar. Keyin shart A Hamiltonian matritsalarini talab qilishga tengdir b va v nosimmetrikdir va bu a + dT = 0.[1][2] Boshqa teng shart - bu A shakldadir A = JS bilan S nosimmetrik.[2]:34

Hamilton matritsasining transpozitsiyasi Hamiltonian ekanligi ta'rifidan bemalol kelib chiqadi. Bundan tashqari, yig'indisi (va har qanday chiziqli birikma) ikkala Hamilton matritsasi yana ular kabi hamiltoniyalik komutator. Bundan kelib chiqadiki, barcha Gamilton matritsalarining maydoni a Yolg'on algebra, belgilangan sp (2.)n). Ning o'lchamlari sp (2.)n) bu 2n2 + n. Tegishli Yolg'on guruh bo'ladi simpektik guruh Sp (2n). Ushbu guruh quyidagilardan iborat simpektik matritsalar, o'sha matritsalar A qondiradigan ATJA = J. Shunday qilib, matritsali eksponent Hamilton matritsasi simpektik xususiyatga ega. Ammo simpektik matritsaning logarifmi Hamiltonian bo'lishi shart emas, chunki Lie algebrasidan guruhga eksponent xarita sur'ektiv emas.[2]:34–36[3]

The xarakterli polinom haqiqiy Hamilton matritsasi hatto. Shunday qilib, agar Gamilton matritsasi bo'lsa λ sifatida o'ziga xos qiymat, keyin −λ, λ* va −λ* o'zgacha qiymatlardir.[2]:45 Bundan kelib chiqadiki iz Hamilton matritsasi nolga teng.

Hamilton matritsasining kvadrati quyidagicha qiyshiq hamiltoniyalik (matritsa) A iflos-gamiltoncha bo'lsa (JA)T = −JA). Aksincha, har qanday qiyshiq-gamilton matritsasi gamilton matritsasining kvadrati sifatida paydo bo'ladi.[4]

Murakkab matritsalarga kengayish

Hamilton matritsalari ta'rifini murakkab matritsalarga ikki usul bilan etkazish mumkin. Bitta imkoniyat - bu matritsani aytish A agar Hamiltoniyalik bo'lsa (JA)T = JA, yuqoridagi kabi.[1][4] Yana bir imkoniyat - bu shartdan foydalanish (JA)* = JA qayerda ()* belgisini bildiradi konjugat transpozitsiyasi.[5]

Hamilton operatorlari

Ruxsat bering V simpektik shakl bilan jihozlangan vektor maydoni bo'ling Ω. Chiziqli xarita deyiladi Hamilton operatori munosabat bilan Ω agar shakl nosimmetrikdir. Bunga teng ravishda, uni qondirish kerak

Asosni tanlang e1, …, e2n yilda V, shu kabi Ω kabi yoziladi . Lineer operator - bu Hamiltonian Ω agar va shu asosda uning matritsasi Hamiltonian bo'lsa.[4]

Adabiyotlar

  1. ^ a b v Ikromov, Xakim D. (2001), "Hamilton matritsalarining gilamya kvadrat ildizlari qayta ko'rib chiqildi", Chiziqli algebra va uning qo'llanilishi, 325: 101–107, doi:10.1016 / S0024-3795 (00) 00304-9.
  2. ^ a b v d Meyer, K. R .; Hall, G. R. (1991), Hamilton dinamik tizimlari va N- odam muammosi, Springer, ISBN 0-387-97637-X.
  3. ^ Dragt, Aleks J. (2005), "Simpektik guruh va klassik mexanika", Nyu-York Fanlar akademiyasining yilnomalari, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196 / annals.1350.025, PMID 15980319.
  4. ^ a b v Waterhouse, Uilyam C. (2005), "Hamilton matritsalarining o'zgaruvchan tuzilishi", Chiziqli algebra va uning qo'llanilishi, 396: 385–390, doi:10.1016 / j.laa.2004.10.003.
  5. ^ Peyj, Kris; Van Kredit, Charlz (1981), "Hamilton matritsalari uchun Schur dekompozitsiyasi", Chiziqli algebra va uning qo'llanilishi, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0.