WikiDer > Multinomialverteilung

In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Multinomialverteilung ein diskretes, multivariates Wahrscheinlichkeitsverteilung was als Verallgemeinerung der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahl Erfolge im ${displaystyle n}$ unabhängig Bernoulli-Experimente mit gleichen Erfolgschancen ${displaystyle p}$. Wenn ein Zufallsziehungsexperiment nicht nur zwei Ergebnisse (zB Erfolg und Misserfolg) hat, sondern mehr, beschreibt die Multinomialverteilung die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Anzahl der verschiedenen Ergebnisse, wenn ein solches Experiment eine feste Anzahl von Malen wiederholt wird.

Als Beispiel kann man sich vorstellen, eine Karte aus einer gut gemischten Farbe zu ziehen Kartenspielen. Die gezogene Karte wird zurückgelegt und nach gutem Mischen wird das Experiment wiederholt. Infolgedessen ist die Farbe der gezogenen Karte. Es gibt vier Optionen: Spaten (♠), Herzen (♥), Diamanten (♦) und Vereine (♣). Bei jeder Ziehung beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Farben 1/4. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der gezogenen Karten der vier Farben nach 10-maligem Ziehen ist eine Multinomialverteilung. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 1♠, 2♥, 3♦ und 4♣ wird unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Karten in der angezeigten Reihenfolge gezogen werden, mit einer Wahrscheinlichkeit von:

${displaystyle left({frac {1}{4}}ight)^{1}left({frac {1}{4}}ight)^{2}left({frac {1}{4}}ight)^ {3}links({frac {1}{4}}Nacht)^{4}}$

Die Karten können aber auch in anderer Reihenfolge mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ist:

${Anzeigestil {10! ungefähr 1!,2!,3!,4!}}$

Die Wahrscheinlichkeit des besagten Ereignisses ist also:

${Anzeigestil {10! ungefähr 1!,2!,3!,4!}links({frac {1}{4}}ight)^{1}left({frac {1}{4}}ight)^{2}links({ frac {1}{4}}ight)^{3}links({frac {1}{4}}ight)^{4}}$

Definition

Wie ein Experiment ${displaystyle k}$ hat unterschiedliche Ergebnisse mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{k}}$ auf diesen Ergebnissen, also gilt das ${displaystyle p_{1}ldots p_{k}=1}$, und ${displaystyle X_{i}}$ ist die Häufigkeit des Ergebnisses the ${Anzeigestil i}$ erhält man in ${displaystyle n}$ unabhängige Durchführung des Experiments, dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Vektors ${Anzeigestil (X_{1},Punkte,X_{k})}$ gegeben von:

${displaystyle P(X_{1}=x_{1},ldots,X_{k}=x_{k})={n! über x_{1}!cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}cdots p_{k}^{x_{k}}}$,

in welchem ${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{k})}$ sind nicht negative ganze Zahlen, mit ${displaystyle x_{1}ldots x_{k}=n}$.

Diese Verteilung wird als bezeichnet Multinomialverteilung mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{k}}$.

Beispiel

In einem bestimmten Land haben 30 % der Einwohner braunes Haar, 25 % blondes Haar und 45 % haben eine andere Haarfarbe. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung mit sechs zufällig ausgewählten Personen im Rücken zwei braune, eine blonde und damit drei eine unterschiedliche Haarfarbe haben, ist eine multinomielle Wahrscheinlichkeit und berechnet sich wie folgt.

Die Stichprobengröße beträgt ${Anzeigestil n=6}$. Das ${Anzeigestil k=3}$ verschiedene Ergebnisse sind 1: „braun“, 2: „blond“, 3: „andere“, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten 0,3, 0,25 und 0,45. Die angeforderte Wahrscheinlichkeit ist:

${Anzeigestil P(X_{1}=2,X_{2}=1,X_{3}=3)={6! über 3!,2!,1!}0{,}3^{2}cdot 0{,}25^{1}cdot 0{,}45^{3}={frac {720}{6cdot 2cdot 1} }0{,}09cdot 0{,}25cdot 0{,}09=0{,}1215}$

Momente

Jedes von den stochastische Variablen${displaystyle X_{i}}$ ist binomialverteilt, so, dass die erwarteter Wert gleich:

${Display-Operatorname {E} (X_{i})=np_{i}}$,

und der Abweichung wird gegeben von

${Display-Operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$

Das Kovarianz zwischen ${displaystyle X_{i}}$ und ${displaystyle X_{j}}$ ist

${Displaystil-Operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$

wenn ${displaystyle ieq j}$.

Eigentum

Jedes von den ${displaystyle k}$ separate Komponenten hat wie Randverteilung eine Binomialverteilung mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${displaystyle p_{i}}$.