WikiDer > Multivariate Normalverteilung

Multivariat normal
Zufallsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	${displaystyle mu =(mu_{1},Punkte,mu_{n})}$RealVektor) ${Anzeigestil Sigma }$positiv definit reelle n×n-Matrix
Träger	${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$
Zufallsdichte	${displaystyle {frac {{mathrm {e} }^{-{frac {1}{2}}(x-mu)'Sigma ^{-1}(x-mu)}}{sqrt {(2pi)^{ n}|Sigma|}}}}$
Erwartungswert	${Anzeigestil mu}$
Median	${Anzeigestil mu}$
Modus	${Anzeigestil mu}$
Abweichung	${Anzeigestil Sigma }$
verzerren	0
Kurtosis	0
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle exp left(mu 't { egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}t'Sigma tight)}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle exp left(imu 't-{ egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}t'Sigma tight)}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der multivariate Normalverteilung ein besonderer Wahrscheinlichkeitsverteilung: es ist das Analogon der Normalverteilung in mehr Maße. Die Verteilung wird auch als multidimensionale Normalverteilung und multivariate Gaußsche Verteilung bezeichnet.

Definition

Die Stochastik Vektor${displaystyle X=(X_{1},dots ,X_{n})}$ hat ein multivariate Normalverteilung mit Erwartung ${displaystyle mu =(mu_{1},Punkte,mu_{n})}$ und Kovarianzmatrix das positiv definit n×n-Matrix${Anzeigestil Sigma }$, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben ist durch:

${displaystyle f_{X}(x_{1},Punkte,x_{n})=}$

${displaystyle {frac {1}{sqrt {(2pi)^{n}|Sigma |}}}e^{-{ frac {1}{2}}(x-mu)' Sigma ^{-1}(x -mu)}.}$

Darin ist ${Anzeigestil |Sigma |}$ das bestimmend von ${Anzeigestil Sigma }$.

Notation

Es sei kurz angemerkt: ${displaystyle Xsim N(mu, Sigma)}$.

Wie bei der univariaten Normalverteilung ist die Verteilungsfunktion nicht explizit in geschlossener Form geschrieben.

Sonderfall: univariate Normalverteilung

Im Falle ${Anzeigestil n=1}$ ist die Verteilung nicht mehrdimensional, sondern gewöhnlich Normalverteilung.

Sonderfall: bivariate Normalverteilung

wenn ${Anzeigestil n=2}$ heißt die Division auch also bivariate Normalverteilung. Die Kovarianzmatrix wird oft geschrieben als

${displaystyle Sigma ={ egin{pmatrix}sigma _{1}^{2}&ho sigma _{1}sigma _{2}/ho sigma _{1}sigma _{2}&sigma _{2}^{2} Ende{pmatrix}}}$,

in welchem ${Anzeigestil ho}$ das Korrelationskoeffizient zwischen ${displaystyle X_{1}}$ und ${displaystyle X_{2}}$ ist.

Eigenschaften

wenn ${Displaystil X=(X_{1},Punkte,X_{n})sim N(mu,Sigma)}$, gilt:

• Beliebige Linearkombination ${displaystyle Y=a'X=a_{1}X_{1} ldots a_{n}X_{n}}$ hat eine (univariate) Normalverteilung mit Erwartungswert ${Anzeigestil a'mu}$ und Varianz ${displaystyle a'Sigma a}$.
• Das charakteristische Funktion und momenterzeugende Funktion sind wie in der Übersicht oben rechts angegeben angegeben.

Gauss-Prozess

EIN Gauss-Prozess ist ein stochastischer Prozess deren endlichdimensionale Verteilungen (die Verteilung des Wertevektors des Prozesses zu einer endlichen Menge von Zeiten) normal sind. Klassische Beispiele für Gauss-Prozesse sind: de braunes Uhrwerk und der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess.