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Binomialverteilung
Zufallsfunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	${displaystyle ngeq 0}$ Anzahl der Versuche (ganze) ${displaystyle 0leq pleq 1}$ Erfolgschance (Real)
Träger	${displaystyle kin {0,dots,n}}$
Zufallsfunktion	${displaystyle { binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle I_{1-p}(n-lfloor kfloor ,1 lfloor kfloor )}$ mit ${Anzeigestil I}$ die unvollständige Beta-Funktion.
Erwartungswert	${Anzeigestil n,p}$
Median	einer raus ${displaystyle {lEtage n,Etage -1,lEtage n,Etage ,lEtage n,Etage 1}}$
Modus	${displaystyle lfloor (n 1),pfloor }$
Abweichung	${Anzeigestil n,p,(1-p)}$
verzerren	${displaystyle {frac {1-2,p}{sqrt {n,p,(1-p)}}}}$
Kurtosis	${displaystyle {frac {1-6,p,(1-p)}{n,p,(1-p)}}}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle (1-p p,e^{t})^{n}}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle (1-p p,e^{i,t})^{n}}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Binomialverteilung ein Verteilung der Anzahl der Erfolge ${Anzeigestil X}$ in einer Reihe von ${displaystyle n}$ unabhängige Alternativen mit Erfolgschancen ${displaystyle p}$. Ein solches Experiment heißt auch a Bernoulli-Experiment erwähnt.

Im Falle ${Anzeigestil n=1}$, entspricht die Binomialverteilung der Bernoulli-Verteilung.

Definition

In einer Reihe von ${displaystyle n}$ Bernoulli-Experimente können ${displaystyle 0,1,ldots,n}$ Erfolg verhindern. Die Anzahl der Erfolge ist a stochastische Variable${Anzeigestil X}$. wenn ${displaystyle p}$ die Chance auf Erfolg ist, sagt man ${Anzeigestil X}$Binomial- wird mit Parametern geteilt ${displaystyle n}$ und Erfolgschancen ${displaystyle p}$, und Anmerkungen:

${Displaystil Xsim B(n,p)}$,

oder auch

${displaystyle Xsim mathrm {Bin} (n,p)}$.

Die Chance auf genau ${displaystyle k}$ Erfolge können leicht berechnet werden, wenn man bedenkt, dass jede Reihe von Ergebnissen mit ${displaystyle k}$ Erfolge und ${displaystyle n-k}$ Ausfälle gleiche Chance ${displaystyle p^{k}(1-p)^{n-k}}$ hast. Weil da ${displaystyle { binom {n}{k}}}$ (sehen Binomialkoeffizient) verschiedene Sequenzen sind mit genau ${displaystyle k}$ Erfolge, wird der Wahrscheinlichkeitsfunktion vor dem ${Anzeigestil k=0,1,ldots,n}$ gegeben von:

${displaystyle f(k;n,p)=P(X=k)={binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Beispiel

Wir werfen 4 mal mit einem (fairen) Würfel. Wir können eine 6 0, 1, 2, 3 oder 4 Mal würfeln. Wie oft wir 6 werfen, ${Anzeigestil X}$, ist ${Anzeigestil B(4.1/6)}$-geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 6 der 4 Würfe würfeln? Hier ist ${Anzeigestil n=4, p=1/6}$ und ${Anzeigestil k=1}$, So:

${displaystyle P(X=1)=f(1;4,{ frac {1}{6}})={ binom {4}{1}}({ frac {1}{6}})^{1} (1-{ frac {1}{6}})^{3}=4 imes { frac {1}{6}} imes { frac {125}{216}}=0{,}386}$

Momente

Das erwarteter Wert und der Abweichung von a ${Anzeigestil B(n,p)}$-verteilte stochastische Variable ${Anzeigestil X}$ werden am einfachsten bestimmt durch ${Anzeigestil X}$ geschrieben als die Summe von ${displaystyle n}$ unabhängig, ${Anzeigestil B(1,p)}$-verteilte Variablen: ${displaystyle X=X_{1} ldots X_{n}}$. Dann folgt:

${displaystyle EX=E(X_{1} ldots X_{n})=nE(X_{1})=np}$

und

${Displaystyle-Operatorname {var} (X)=Operatorname {var} (X_{1} ldots X_{n})=n,Operatorname {var} (X_{1})=np(1-p)}$.

Die obigen Beziehungen können auch durch Berechnungen ähnlich der folgenden abgeleitet werden:

${displaystyle EX(X-1)(X-2)=Summe _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2){frac {n!}{k!(nk)!} }p^{k}(1-p)^{nk}}$

${displaystyle =n(n-1)(n-2)p^{3}Summe _{k=3}^{n}{frac {(n-3)!}{(k-3)!(nk) !}}p^{k-3}(1-p)^{nk}=n(n-1)(n-2)p^{3}}$.

Aus dieser Beziehung die dritte Moment${displaystyle EX^{3}}$ bestimmt werden, und damit die verzerren der Verteilung.

Es folgt auch gleich:

${displaystyle EX=sum _{k=0}^{n}k{frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=np}$

und

${displaystyle EX(X-1)=sum _{k=0}^{n}k(k-1){frac {n!}{k!(nk)!}}p^{k}(1-p )^{nk}=n(n-1)p^{2}}$.

Aus dieser letzten Beziehung folgt wieder:

${displaystyle EX^{2}=n(n-1)p^{2}np}$,

so dass

${Displaystyle-Operatorname {var} (X)=EX^{2}-(EX)^{2}=n(n-1)p^{2} np-n^{2}p^{2}=np( 1-p)}$.

Ansatz

Es ist ziemlich mühsam oder fast unmöglich, für große Werte der Anzahl der Experimente zu tun ${displaystyle n}$ Berechne die genauen Wahrscheinlichkeiten. Dies ist auch nicht notwendig, da die Binomialverteilung für große ${displaystyle n}$ erreichbar über a Normalverteilung oder von a Poisson-Verteilung.

wenn Faustregel nimmt man das an ${Anzeigestil B(n,p)}$-Verteilung für ${Anzeigestil n>25}$ kann durch eine geeignete Normalverteilung gut angenähert werden, sofern die Erfolgswahrscheinlichkeit ${displaystyle p}$ nicht zu klein oder zu groß. Als Faustregel gilt: ${displaystyle np>5}$ und ${Anzeigestil n(1-p)>5}$. Für kleinere und größere Werte von ${displaystyle p}$ die Binomialverteilung ist zu schief, um durch die symmetrische Normalverteilung richtig angenähert zu werden. Eine Approximation durch eine geeignete Poisson-Verteilung ist dann möglich.

Normaler Ansatz

Die stochastische Variable ${Anzeigestil X}$ ist ${Anzeigestil B(n,p)}$-geteilt. Zum Erhöhen ${displaystyle n}$ nähert sich der Teilung von ${Anzeigestil X}$ zu einer Normalverteilung, d. h. mit einem Erwartungswert ${displaystyle EX=np}$ und Varianz ${displaystyle mathrm {var} (X)=np(1-p)}$. Es gilt also:

${Anzeigestil P(Xleq k)approx P(Yleq k)=Pleft(Zleq {frac {k-np}{sqrt {np(1-p)}}}ight)}$.

Darin ist ${Anzeigestil Y N(np,np(1-p))}$-geteilt und ${Anzeigestil Z}$ Standard normalverteilt.

Da die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist,

${Anzeigestil P(Xleq k)=P(X$,

was zu zwei (und mehr) möglichen Näherungen führt, was für nicht zu große Werte von ${displaystyle n}$ ganz anders. Um dieses Problem zu überwinden, wird die sogenannte Durchgangskorrektur nimmt zu und nimmt in besserer Näherung einen Wert zwischen den angegebenen Extremen an, nämlich:

${displaystyle P(Xleq k)=P(X$.

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 25 Würfen mit einer sauberen Münze maximal 10 Kreuze zu machen? Name ${Anzeigestil X}$ die Anzahl der Kreuze; ${Anzeigestil X}$ ist deshalb ${displaystyle B(25,{ frac {1}{2}})}$- ist geteilt. Die angeforderte Wahrscheinlichkeit ist:

${Anzeigestil P(Xleq 10)=0{,}2122}$.

weil ${displaystyle EX=np=12{,}5}$ und ${displaystyle mathrm {var} (X)=np(1-p)=6{,}25}$, kann diese Wahrscheinlichkeit mit a ${Displaystil N(12{,}5;6{,}25)}$Verteilung.

${Displaystyle P(Xleq 10)approx P(Yleq 10)=Pleft(Zleq {frac {10-12{,}5}{sqrt {6{,}25}}}ight)=P(Z<-1)= 0{,}1587}$.

Man kann auch berechnen:

${Anzeigestil P(X<11)ungefähr P(Y<11)=Pleft(Zleq {frac {11-12{,}5}{sqrt {6{,}25}}}ight)=P(Z<-0 {,}6)=0{,}2743}$.

Dies sind zwei sehr unterschiedliche Ansätze, bei denen der wahre Wert jedoch dazwischen liegt. Mit der Stetigkeitskorrektur wird die Approximation:

${Displaystyle P(Xleq 10)approx P(Yleq 10{,}5)=Pleft(Zleq {frac {10{,}5-12{,}5}{sqrt {6{,}25}}}ight)= P(Z<-0{,}8)=0{,}2119}$.

Poisson-Ansatz

Weil die ${Anzeigestil B(n,p)}$-Verteilung zur Erhöhung ${displaystyle n}$ und konstanter Wert von ${displaystyle np=mu}$ nähert sich der Poisson-Verteilung mit Parameter ${Anzeigestil mu}$, kann das ${Anzeigestil B(n,p)}$-Verteilung für große Werte von ${displaystyle n}$ und Werte von ${displaystyle p}$ nahe 0 kann durch eine geeignete Poisson-Verteilung angenähert werden. Also in diesem Fall: ${Displaystil Xsim B(n,p)}$:

${Anzeigestil P(Xleq k)ungefähr P(Yleq k)}$.

Darin ist ${Anzeigestil Y}$ Poisson-Verteilung mit Parameter ${displaystyle np}$.

Auch für Werte von ${displaystyle p}$ in der Nähe von 1 kann diese Näherung verwendet werden, obwohl man nicht die Verteilung von . hat ${Anzeigestil X}$ Ansätze, aber die Verteilung von ${Anzeigestil n-X}$, Das ${Anzeigestil B(n,1-p)}$-ist verteilt, also mit einem kleinen Wert von value ${displaystyle Bp}$.

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem sauberen Würfel in 25 Würfen höchstens 2 mal 6 zu werfen? Name ${Anzeigestil X}$ die Anzahl von 6. So ${Anzeigestil X}$ ist ${Anzeigestil B(25,1/6)}$-geteilt. Die angeforderte Wahrscheinlichkeit ist:

${Anzeigestil P(Xleq 2)=0{,}1887}$.

weil ${displaystyle EX=np=25/6}$ wir können diese Wahrscheinlichkeit mit einer Poisson-Verteilung mit Parameter 25/6 approximieren.

${Anzeigestil P(Xleq 2)ungefähr P(Yleq 2)=0{,}2147}$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 25 Würfen mit einem sauberen Würfel mindestens 20 Mal keine 6 zu werfen? Name ${Anzeigestil X}$ wie oft eine 6 nicht gewürfelt wird. ${Anzeigestil X}$ ist deshalb ${Anzeigestil B(25.5/6)}$-geteilt. Die angeforderte Wahrscheinlichkeit ist:

${Anzeigestil P(Xgeq 20)=0{,}7720}$.

Jetzt ist ${displaystyle p}$ ziemlich groß, aber die Frage kann auch als Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 mal 6 formuliert werden.

${Anzeigestil P(Xgeq 20)=P(25-Xleq 5)}$.

Und ${Anzeigestil 25-X}$ ist wieder ${Anzeigestil B(25,1/6)}$-verteilt, also:

${Anzeigestil P(Xgeq 20)=P(25-Xleq 5)ungefähr P(Yleq 5)=0{,}7586}$.

Siehe auch

• Das Multinomialverteilung ist eine Erweiterung der Binomialverteilung, die verwendet wird, wenn das Experiment nicht zwei, sondern mehr Ergebnisse hat.
• Das hypergeometrische Verteilung ist das Analogon der Binomialverteilung bei einer Stichprobe aus einer endlichen Grundgesamtheit ohne zurückzulegen.
• Newtons Binomial.

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