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Poisson-Verteilung
Zufallsfunktion
Verteilungsfunktion Die horizontale Achse in beiden Abbildungen ist der Index ${displaystyle k}$. Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion, also auch die Verteilungsfunktion, nur für ganzzahlige Werte von ${displaystyle k}$ ist definiert. Das Verbinden der Leitungen zeigt keine Kontinuität an.
Parameter	${Anzeigestil Lambda in (0,infty)}$
Träger	${displaystyle kin {0,1,2,ldots}}$
Zufallsfunktion	${displaystyle {frac {e^{-lambda}lambda^{k}}{k!}}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle {frac {Gamma (k 1,lambda)}{k!}}}$
Erwartungswert	${ Anzeigestil Lambda }$
Median	NACH DEM
Modus	${displaystyle lfloor Lambda-Boden }$
Abweichung	${ Anzeigestil Lambda }$
verzerren	${Anzeigestil Lambda ^{-1/2}}$
Kurtose	${Anzeigestil Lambda ^{-1}}$
Entropie	${ Anzeigestil Lambda [1!-!ln(lambda)]! !e^{-lambda }sum _{k=0}^{infty }{frac {lambda ^{k}ln(k!)}{k!}}}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle exp(lambda (e^{t}-1))}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle exp(lambda (e^{it}-1))}$
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Das Poisson-Verteilung ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilung, das gilt insbesondere für stochastische Variablen die das Auftreten bestimmter Ereignisse während eines bestimmten Zeitintervalls, einer bestimmten Entfernung, einer bestimmten Fläche, eines bestimmten Volumens usw. zählen.

Die Poisson-Verteilung ist benannt nach Simeon Poisson, der diese Wahrscheinlichkeitsverteilung entdeckte und zusammen mit seiner statistischen Theorie in 1838 veröffentlicht in seinem Werk Investigations sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

wenn ${Anzeigestil X}$ ist die stochastische Variable, die die Häufigkeit des Auftretens zählt, dann gemäß der Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass genau ${displaystyle k}$ Ereignisse stattfinden, mit take ${displaystyle k}$ ein natürliche Zahl: 0, 1, 2, ... :

${displaystyle P(X=k)={frac {lambda^{k}}{k!}}e^{-lambda}}$

Darin ist:

• ${displaystyle e}$ es Basis des natürlichen Logarithmus, ${displaystyle e=2{,}71828ldots}$,
• ${displaystyle k!}$ das Fakultät von ${displaystyle k}$,
• ${ Anzeigestil Lambda }$ ein positives reelle Zahl, gleich der erwarteten Anzahl von Ereignissen im Zeitintervall. Wenn beispielsweise alle 2 Minuten 1 Ereignis erwartet wird und das Zeitintervall 10 Minuten beträgt, dann ist eine Poisson-Verteilung mit ${Anzeigestil Lambda=5}$ sollte benutzt werden.

Poisson-Prozess

Manchmal ${ Anzeigestil Lambda }$ etwas anderes, nämlich die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit. In diesem Fall mit ${displaystyle N_{t}}$ die Anzahl der Ereignisse, die vor der Zeit aufgetreten sind ${displaystyle t}$:

${displaystyle P(N_{t}=k)=f(k;lambda t)={frac {(lambda t)^{k}}{k!}}e^{-lambda t}}$,

und die wartezeit ${Anzeigestil T}$ zum ersten Auftreten ist eine stetige Zufallsvariable mit a Exponentialverteilung. Diese Verteilung lässt sich daraus ableiten, dass

${Anzeigestil P(T>t)=P(N_{t}=0)=e^{-Lambda t}}$

Berücksichtigt man die Zeit, so hat man einen eindimensionalen Poisson-Prozess, bei dem man sowohl die diskreten poissonverteilten Zufallsgrößen, die die Anzahl der Ankünfte in jedem Zeitintervall zählen, als auch die kontinuierlichen erlang-verteilt Wartezeiten. Es gibt auch Poisson-Prozesse mit einem Grad größer als eins.

Prävention in der Praxis

Die Poisson-Verteilung tritt im Zusammenhang mit sogenannten Poisson-Prozessen auf. Sie gilt für verschiedene Phänomene, die diskreter Natur sind, d. h. sie treten 0, 1, 2, 3... mal in einem bestimmten Zeitintervall oder in einem bestimmten Bereich auf, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses im Zeit oder im Platz. Beispiele sind:

• die Anzahl der Atomkerne dass innerhalb einer bestimmten Zeit in einem Stück radioaktiven Materials abgesagt
• die Anzahl der Autos, die während einer bestimmten Zeit einen bestimmten Punkt einer Straße passieren, aber nicht, wenn es so voll ist, dass zwei oder mehr gleichzeitig passieren!
• die Anzahl der Tippfehler einer Sekretärin beim Tippen einer einzelnen Seite
• die Anzahl der Anrufe, die jemand an einem Tag bekommt
• wie oft im Jahr eine sprachliche Diskussion aufflammt
• wie oft in einer Minute a Webserver wird angefahren
• die Anzahl der Seiten hat sich bei Wikipedia in einer Stunde geändert changed
• die Anzahl der toten Tiere auf einem Kilometer Entfernung
• die Anzahl der Mutationen in einem Stück DNA von gegebener Länge nach einem bestimmten Strahlendosis
• die Anzahl der Nadelbäume auf einem Hektar Mischwald
• die Anzahl der Sterne in einem bestimmten Raum
• die Zahl in einer Quadratmeile von London Bomben abgeworfen während a Deutsche Luftangriff zu Beginn des Zweiter Weltkrieg

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung kann abgeleitet werden als Grenzfall von a Binomialverteilung mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${Anzeigestil Lambda /n}$, wenn ${displaystyle n}$ geht ins Unendliche. Das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl erfolgreicher Versuche aus ${displaystyle n}$, mit der Gelegenheit ${Displaystil Lambda /n}$ auf Erfolg bei jedem Versuch. spät ${displaystyle X_{n}}$sind binomialverteilt mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${Anzeigestil Lambda /n}$, dann ist

${displaystyle { start{aligned}P(X_{n}=k)&={n! über k!(nk)!}links({lambda über nacht)^{k}links(1-{lambda über nacht)^{nk}/&=links[{frac {n!}{n^ {k}links(n-kight)!}}ight]{frac {lambda ^{k}}{k!}}Unterband {left(1-{frac {lambda }{n}}ight)^{n}} _{ o exp left(-lambda ight)}underbrace {left(1-{frac {lambda }{n}}ight)^{-k}} _{ o 1} o {frac {lambda ^{k}}{ k!}}e^{-lambda }end{ausgerichtet}}}$

weil

${displaystyle {frac {n!}{n^{k}left(n-kight)!}}={frac {n(n-1)cdots { ig (}n-(k-1){ ig)}} {n^{k}}}=1cdot (1-{ frac {1}{n}})cdots (1-{ frac {k-1}{n}}) oder 1}$

Eigenschaften

• Das erwarteter Wert für eine poissonverteilte stochastische Variable X entspricht ${ Anzeigestil Lambda }$, und der Abweichung ebenfalls.

${displaystyle mathrm {E} X=sum _{k=0}^{infty}kcdot {frac {lambda ^{k}}{k!}}e^{-lambda }=sum _{k=1}^{ infty }{frac {lambda ^{k}}{(k-1)!}}e^{-lambda }=lambda summe _{m=0}^{infty }{frac {lambda ^{m}}{m !}}e^{-Lambda}=Lambda}$

${displaystyle mathrm {E} X(X-1)=sum _{k=0}^{infty}k(k-1)cdot {frac {lambda ^{k}}{k!}}e^{-lambda }=Summe _{k=2}^{infty }{frac {Lambda ^{k}}{(k-2)!}}e^{-Lambda}=Lambda ^{2}Summe _{m=0} ^{infty }{frac {lambda ^{m}}{m!}}e^{-lambda }=lambda ^{2}}$,

So

${displaystyle operatorname {var} (X)=mathrm {E} X^{2}-(mathrm {E} X)^{2}=mathrm {E} X(X-1) mathrm {E} X-lambda ^ {2}=Lambda }$

• Der wahrscheinlichste Wert, der Modus, einer poissonverteilten stochastischen Variable ist für nicht ganzzahlige Werte von ${ Anzeigestil Lambda }$ gleich der größten ganzen Zahl kleiner als ${ Anzeigestil Lambda }$. Für ganzzahlige Werte von ${ Anzeigestil Lambda }$ Es gibt zwei Modi, beide ${Anzeigestil Lambda -1}$ wenn ${ Anzeigestil Lambda }$. Vergleichen Sie die Möglichkeiten dazu ${Anzeigestil k-1}$ und ${displaystyle k}$; sein Quotient ist:

${displaystyle {frac {P(X=k-1)}{P(X=k)}}={frac {k}{lambda}}}$

So

${Anzeigestil k$

${Anzeigestil k>Lambda Pfeil nach rechts P(X=k-1)>P(X=k)}$

• für große ${ Anzeigestil Lambda }$, sagen ${Anzeigestil Lambda >1000}$, ist der Normalverteilung mit Erwartung ${ Anzeigestil Lambda }$ und Varianz ${ Anzeigestil Lambda }$ eine gute Näherung der Poisson-Verteilung. Für andere, nicht zu kleine Werte von ${ Anzeigestil Lambda }$ (sagen ${Anzeigestil Lambda >10}$), ist die Normalverteilung eine gute Näherung da a Durchgangskorrektur wird angewandt. Quoten für ein Poisson Divided X werden angenähert mit der Verteilung von Ja Das ${Displaystil N(Lambda, Lambda)}$-aufgeteilt ist:

${Anzeigestil P(Xleq k)ungefähr P(Yleq k 0{,}5)}$

• wenn ${Displaystil N}$ und ${Anzeigestil M}$ sind zwei voneinander unabhängige stochastische Variablen, die beide eine Poisson-Verteilung mit Parametern met . haben ${ Anzeigestil Lambda }$ und ${Anzeigestil mu}$, dann gilt das ${Displaystil N M}$ hat eine Poisson-Verteilung mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda Mu }$. Es gilt:

${Anzeigestil { egin{ausgerichtet}P(NM=k)&=Summe _{n=0}^{k}P(N=n)P(M=kn)/&=Summe _{n=0}^{ k}{frac {lambda ^{n}mu ^{kn}}{n!(kn)!}}e^{-(lambda mu)}/&={frac {1}{k!}}e^{ -(lambda mu )}sum _{n=0}^{k}{frac {k!}{n!(kn)!}}lambda ^{n}mu ^{kn}/&={frac {(lambda mu)^{k}}{k!}}e^{-(lambda mu)}end{ausgerichtet}}}$