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Multivariabele analyse

Multivariable Analyse oder multivariate Analyse ist eine Erweiterung der mathematische Analyse von a Variable zu mehr Variablen. Das Funktionen die Gegenstand der multivariaten Analyse sind, sind Funktionen von mehr als einer Variablen.

Typische Operationen

Grenzen und Kontinuität

Die Analyse von Grenzen und Kontinuität in mehreren Dimensionen führt zu vielen kontraintuitiven Ergebnissen, die bei Funktionen mit einer Variablen nicht auftreten. Zum Beispiel gibt es Skalarfunktionen von zwei Variablen, die Punkte in ihrer Domain haben diese, wenn sie zufällig vorbeikommen Linie angefahren werden, eine gewisse Grenze haben, die aber bei Annäherung entlang a Parabel, geben Sie einen anderen Grenzwert an.

Die Funktion

{displaystyle f(x,y)={frac {x^{2}y}{x^{4}y^{2}}}}

nähert sich beispielsweise Null entlang einer beliebigen Linie durch die Ursprung. Wenn der Ursprung jedoch entlang einer Parabel liegt ${Anzeigestil y=x^{2}}$ angenähert ist, hat sie eine Grenze von 1/2. Da die Wahl unterschiedlicher Pfade zum gleichen Punkt unterschiedliche Werte für den Grenzwert ergibt, existiert der Grenzwert nicht.

partielle Ableitung

sehen partielle Ableitung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen ist a Derivat in Bezug auf einen Variable, wobei alle anderen Variablen konstant bleiben.

Man kann partielle Ableitungen kombinieren, um komplexere Ausdrücke der Ableitung zu konstruieren. Das Nabla-Betreiber ${displaystyle abla}$ wird verwendet, um zu de Gradient, Abweichungen und Drehung in Form von partiellen Ableitungen. Um die Ableitung als Funktion zwischen zwei Räumen von beliebigem . zu erhalten Abmessungen um anzuzeigen, kann man die Jacobi-Matrix, ein Matrix von partiellen Ableitungen. Die Ableitung kann also sein als a lineare Transformation die von Punkt zu Punkt im Bereich der Funktion variiert.

Differentialgleichung mit partiellen Ableitungen wird partielle Differentialgleichungen erwähnt. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwieriger zu lösen als gewöhnliche Differentialgleichungen, die Ableitungen nach nur einer Variablen enthalten.

Mehrfachintegration

sehen Vielfaches Integral für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Mehrfachintegral erweitert die Idee des Integrals auf Funktionen mehrerer Variablen. Doppel- und Dreifachintegrale können verwendet werden, um zu finden Oberflächen in dem eben und Bände der Bereiche in der Platz berechnen. Das Satz von Fubini garantiert, dass ein Mehrfachintegral als iteriertes Integral ausgewertet werden kann.

Das Flächenintegral und der Linienintegral sind gewöhnt an Sorten, wie Oberflächen und Kurven zu integrieren.

Integralsätze in mehr Dimensionen

In dem Analyse mit einer Variablen setzt die Fundamentalsatz der Integralrechnung eine Verbindung zwischen der Ableitung und dem Integral. Diese Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integral wird in der Multivariablenanalyse durch eine Reihe von Integralsätzen gegeben:

diese vier Thesen kann auf einen allgemeineren Satz reduziert werden, die allgemeine Form des Satzes von Stokes, die für die Integration gilt Differentialformen über Sorten.

Anwendungen und Nutzen

Techniken aus der multivariablen Analyse werden verwendet, um verschiedene Objekte in dem Physik studieren. Dies sind Objekte, die mit Hilfe der Mathematik beschrieben werden können.

	Domain und Reichweite	Anwendbare Techniken
Kurven	${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R} ^{n}}$	Kurvenlängen, Linienintegrale und Krümmung.
Oberflächen	${displaystyle f:mathbb {R} ^{2} oder mathbb {R} ^{n}}$	Oberflächen von Oberflächen, Oberflächenintegrale, Fluss durch Flächen und Krümmung.
Skalare Felder	${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} }$	Maximum und Minimum, Lagrange-Multiplikatoren, Richtungsderivate.
Vektorfelder	${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{n}}$	Alle Operationen von der Vektoranalyse, einschließlich der Gradient, Abweichungen und Drehung.

Die multivariable Analyse kann angewendet werden auf deterministisch Systeme mit mehr Freiheitsgrade studieren. Funktionen mit unabhängige Variablen die jedem dieser Freiheitsgrade eins zu eins entsprechen, werden oft verwendet, um diese Systeme zu modellieren. Die multivariate Analyse bietet Werkzeuge zur Charakterisierung der Systemdynamik.

Multivariable Analyse wird in vielen Bereichen der Ingenieur-, Natur- und Sozialwissenschaften verwendet, um hochdimensionale Systeme mit deterministischem Verhalten zu modellieren und zu untersuchen. Stochastische Prozesse kann ein anderes Teilgebiet der Mathematik verwenden, wie z Stochastische Analyse, werden studiert. Betrachtet man die Beziehung zwischen mehreren abhängigen stochastische Variablen gesucht, können sie gleichzeitig analysiert werden. Dies ist das Feld der multivariate Statistik.

Webseiten

(und) D Auroux von dem MIT auf Youtube. MIT 18.02 Multivariabler Calculus, Herbst 2007. 35 Lektionen
(und) G Kain und J Herodes. Multivariable Infinitesimalrechnung. kostenloses Online-Lehrbuch

Zitat

Dieser Artikel oder eine frühere Version ist eine (Teil-)Übersetzung des Artikels Multivariable Infinitesimalrechnung auf der englischsprachigen Wikipedia, die unter der Creative Commons Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen Stürze. Siehe die Verlauf bearbeiten Dort.

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