WikiDer > Einheitliche Matrix

In dem Lineare Algebra ist ein unitäre Matrix ein Komplexquadratische Matrix${Displaystil U}$ auf was trifft das zu

${Anzeigestil U^{*}U=UU^{*}=I}$

Darin ist ${Displaystil U^{*}}$ das hermitesch hinzugefügte Matrix von ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil I}$ das Einheitenmatrix.

Beachten Sie, dass diese Bedingung bedeutet, dass eine Matrix ${Displaystil U}$ ist einheitlich dann und nur dann, wenn er ist invers hat gleich seiner konjugiert transponierten Matrix ${Displaystil U^{*}}$

${Displaystil U^{-1}=U^{*}}$

Eine unitäre Matrix, deren Elemente Real sein ist ein orthogonale Matrix. Wie eine orthogonale Matrix speichert auch die unitäre Matrix ${Displaystil U}$ es internes Produkt, schließlich für ${Displaystil U}$ der Ordnung ${displaystyle n}$ und ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ das interne Standardprodukt auf ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ ist:

${displaystyle langle Ux,Uyangle =langle x,U^{*}Uyangle =langle x,yangle}$

für alle komplexen Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle y}$. Darüber hinaus sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. ${Displaystil U}$ ist einheitlich
2. ${Displaystil U^{*}}$ ist einheitlich
3. Die Spalten von ${Displaystil U}$ konstituieren Orthonormalbasis von ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ in Bezug auf dieses interne Produkt
4. Die Reihen von ${Displaystil U}$ bilden eine Orthonormalbasis von ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ in Bezug auf dieses interne Produkt
5. ${Displaystil U}$ ist ein Isometrie in Bezug auf die Norm dieses internen Produkts.

Eigenwerte

Aus der Eigenschaft der Isometrie folgt, dass alle Eigenwerte einer unitären Matrix sind komplexe Zahlen mit Absolutwert gleich 1. Die Eigenwerte liegen also auf dem Einheitskreis in dem komplexe Ebene. Für das Selbstwertgefühl ${ Anzeigestil Lambda }$ mit entsprechendem Eigenvektor ${Anzeigestil x}$ es gilt nämlich:

${displaystyle |x|_{2}=|lambda x|_{2}=|lambda |cdot |x|_{2}}$,

So

${displaystyle |lambda |=1}$.

Die reellen Eigenwerte einer unitären Matrix können also nur die Zahlen 1 und -1 sein. Da die komplexen Eigenwerte in Paaren konjugierter Werte auftreten, hat eine unitäre Matrix ungerader Ordnung mindestens einen reellen Eigenwert von 1 oder –1.

Bestimmend

Wie die Eigenwerte hat das has bestimmend einer unitären Matrix der Absolutwert 1, denn:

${displaystyle |det(U)|^{2}=det(U)cdot {overline {det(U)}}=det(U)cdot det({overline {U}})=det(U)cdot det( (U^{*})^{ am })=}$

${displaystyle =det(U)cdot det(U^{*})=det(UU^{*})=det(I)=1}$.

Normalität und Diagonalisierung

Alle unitären Matrizen sind normal, welcher verursacht Spektralsatz gilt für die unitären Matrizen. Jede unitäre Matrix ${Displaystil U}$ hat eine Zerlegung der Form

${Anzeigestil U=VSigma V^{*}}$

in welchem ${Anzeigestil V}$ ist einheitlich, und ${Anzeigestil Sigma }$ ist diagonal und unitär.

Einheitsgruppe

Für jedes nein bildet die Sammlung aller unitären Matrizen der Ordnung nein, ausgestattet mit der Matrixmultiplikationsoperation, a Gruppe, das einheitliche Gruppe.

Verallgemeinerung

Als Erweiterung kann man auch unitäre Operatoren auf a . definieren Hilbert-Raum. Eine wichtige Eigenschaft von unitären Operatoren und Matrizen ist, dass sie als Operatoren auf einem Vektor de . wirken Norm dieses Vektors nicht ändern:

${Anzeigestil |Ux|=|x|}$.

Siehe auch

• Hermitesche Matrix
• Symplektische Matrix
• Einheitsgruppe
• Spezielle einheitliche Gruppe
• Einheitsoperator
• Matrixzerlegung