WikiDer > Beta asosiy tarqatish

Beta-versiya

Ehtimollar zichligi funktsiyasi
Kümülatif taqsimlash funktsiyasi
Parametrlar	${ displaystyle alpha> 0}$ shakli (haqiqiy) ${ displaystyle beta> 0}$ shakli (haqiqiy)
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle x in [0, infty) !}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alfa -1} (1 + x) ^ {- alpha - beta}} {B ( alpha, beta)}} !}$
CDF	${ displaystyle I _ {{ frac {x} {1 + x}} ( alfa, beta)}}$ qayerda ${ displaystyle I_ {x} ( alfa, beta)}$ to'liq bo'lmagan beta-funktsiya
Anglatadi	${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}} { text {if}} beta> 1}$
Rejim	${ displaystyle { frac { alpha -1} { beta +1}} { text {if}} alpha geq 1 { text {, aks holda 0}}} !}$
Varians	${ displaystyle { frac { alpha ( alfa + beta -1)} {( beta -2) ( beta -1) ^ {2}}} { text {if}} beta> 2}$
Noqulaylik	${ displaystyle { frac {2 (2 alfa + beta -1)} { beta -3}} { sqrt { frac { beta -2} { alpha ( alfa + beta -1) }}} { text {if}} beta> 3}$
MGF	${ displaystyle { frac {e ^ {- t} Gamma ( alfa + beta)} { Gamma ( beta)}} G_ {1,2} ^ {, 2,0} ! left ( chapga. { begin {matrix} alpha + beta beta, 0 end {matrix}} ; right | , - t right)}$

Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, beta asosiy tarqatish (shuningdek, nomi bilan tanilgan teskari beta-tarqatish yoki ikkinchi turdagi beta-tarqatish^[1]) an mutlaqo doimiy ehtimollik taqsimoti uchun belgilangan ${ displaystyle x> 0}$ ikkita parametr bilan a va βega bo'lgan ehtimollik zichligi funktsiyasi:

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alfa -1} (1 + x) ^ {- alfa - beta}} {B ( alpha, beta)}}}$

qayerda B bo'ladi Beta funktsiyasi.

The kümülatif taqsimlash funktsiyasi bu

${ displaystyle F (x; alfa, beta) = I _ { frac {x} {1 + x}} chap ( alfa, beta right),}$

qayerda Men bo'ladi muntazamlashtirilgan to'liq bo'lmagan beta funktsiyasi.

Kutilayotgan qiymat, dispersiya va tarqatishning boshqa tafsilotlari yon qutida keltirilgan; uchun ${ displaystyle beta> 4}$, ortiqcha kurtoz bu

${ displaystyle gamma _ {2} = 6 { frac { alfa ( alfa + beta -1) (5 beta -11) + ( beta -1) ^ {2} ( beta -2) } { alfa ( alfa + beta -1) ( beta -3) ( beta -4)}}.}$

Bilan bog'liq beta-tarqatish bo'ladi oldingi taqsimotni konjugat qilish Bernulli taqsimotining ehtimollik sifatida ifoda etilgan parametridan, beta-asosiy taqsimot Bernulli taqsimotining parametrida ifodalangan konjugat oldingi taqsimotidir. koeffitsientlar. Tarqatish a Pearson turi VI tarqatish.^[1]

O'zgarish rejimi X sifatida tarqatilgan ${ displaystyle beta '( alfa, beta)}$ bu ${ displaystyle { hat {X}} = { frac { alpha -1} { beta +1}}}$.Bu degani ${ displaystyle { frac { alpha} { beta -1}}}$ agar ${ displaystyle beta> 1}$ (agar ${ displaystyle beta leq 1}$ o'rtacha cheksiz, boshqacha qilib aytganda uning aniq belgilangan o'rtacha qiymati yo'q) va uning o'zgarishi ${ displaystyle { frac { alfa ( alfa + beta -1)} {( beta -2) ( beta -1) ^ {2}}}}$ agar ${ displaystyle beta> 2}$.

Uchun ${ displaystyle - alfa$, k- lahza ${ displaystyle E [X ^ {k}]}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle E [X ^ {k}] = { frac {B ( alfa + k, beta -k)} {B ( alpha, beta)}}.}$

Uchun ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ bilan ${ displaystyle k < beta,}$ bu soddalashtiradi

${ displaystyle E [X ^ {k}] = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { alpha + i-1} { beta -i}}.}$

CD-ni quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle { frac {x ^ { alpha} cdot {} _ {2} F_ {1} ( alfa, alfa + beta, alfa + 1, -x)} {{alfa cdot B ( alfa, beta)}}}$

qayerda ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ Gaussning gipergeometrik funktsiyasi ₂F₁ .

Umumlashtirish

Forma hosil qilish uchun yana ikkita parametr qo'shilishi mumkin umumiy beta-tarqatish.

• ${ displaystyle p> 0}$ shakli (haqiqiy)
• ${ displaystyle q> 0}$ masshtab (haqiqiy)

ega bo'lish ehtimollik zichligi funktsiyasi:

${ displaystyle f (x; alfa, beta, p, q) = { frac {p chap ({ frac {x} {q}} right) ^ { alpha p-1} left ( 1+ chap ({ frac {x} {q}} o'ng) ^ {p} o'ng) ^ {- alfa - beta}} {qB ( alpha, beta)}}}$

bilan anglatadi

${ displaystyle { frac {q Gamma chap ( alfa + { tfrac {1} {p}} o'ng) Gamma ( beta - { tfrac {1} {p}})} {{Gamma ( alfa) Gamma ( beta)}} quad { text {if}} beta p> 1}$

va rejimi

${ displaystyle q chap ({ frac { alpha p-1} { beta p + 1}} o'ng) ^ { tfrac {1} {p}} quad { text {if}} alfa p geq 1}$

E'tibor bering, agar p = q = 1 bo'lsa, unda umumlashtirilgan beta asosiy taqsimoti standart beta-tarqatish

Murakkab gamma taqsimoti

The aralash gamma taqsimoti^[2] bu o'lchov parametri bo'lgan beta primerning umumlashtirilishi, q qo'shiladi, lekin qaerda p = 1. tomonidan tashkil etilganligi sababli shunday nomlangan birikma ikkitasi gamma taqsimoti:

${ displaystyle beta '(x; alfa, beta, 1, q) = int _ {0} ^ { infty} G (x; alfa, r) ​​G (r; beta, q) ; dr}$

qayerda G(x;a,b) shakli bo'lgan gamma taqsimoti a va teskari o'lchov b. Ushbu munosabatlar aralash gamma yoki beta-primer taqsimot bilan tasodifiy o'zgaruvchilar yaratish uchun ishlatilishi mumkin.

Murakkab gammaning rejimi, o'rtacha va dispersiyasini yuqoridagi infoboksdagi rejimni va o'rtacha qiymatni ko'paytirish orqali olish mumkin. q va dispersiya tomonidan q².

Xususiyatlari

• Agar ${ displaystyle X sim beta '( alfa, beta)}$ keyin ${ displaystyle { tfrac {1} {X}} sim beta '( beta, alpha)}$.
• Agar ${ displaystyle X sim beta '( alfa, beta, p, q)}$ keyin ${ displaystyle kX sim beta '( alfa, beta, p, kq)}$.
• ${ displaystyle beta '( alfa, beta, 1,1) = beta' ( alfa, beta)}$
• Agar ${ displaystyle X_ {1} sim beta '( alfa, beta)}$ va ${ displaystyle X_ {2} sim beta '( alfa, beta)}$ ikkita iid o'zgaruvchisi, keyin ${ displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2} sim beta '( gamma, delta)}$ bilan ${ displaystyle gamma = { frac {2 alfa ( alfa + beta ^ {2} -2 beta +2 alfa beta -4 alfa +1)} {( beta -1) ( alfa + beta -1)}}}$ va ${ displaystyle delta = { frac {2 alfa + beta ^ {2} - beta +2 alfa beta -4 alpha} { alfa + beta -1}}}$, chunki beta asosiy tarqatish cheksiz bo'linadi.
• Umuman olganda, ruxsat bering ${ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n} n}$ bir xil beta-taqsimotdan so'ng iid o'zgaruvchilari, ya'ni. ${ displaystyle forall i, 1 leq i leq n, X_ {i} sim beta '( alfa, beta)}$, keyin summa ${ displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {n} sim beta '( gamma, delta)}$ bilan ${ displaystyle gamma = { frac {n alfa ( alfa + beta ^ {2} -2 beta + n alfa beta -2n alfa +1)} {( beta -1) ( alfa + beta -1)}}}$ va ${ displaystyle delta = { frac {2 alfa + beta ^ {2} - beta + n alfa beta -2n alpha} { alfa + beta -1}}}$.

Tegishli taqsimotlar va xususiyatlar

• Agar ${ displaystyle X sim F (2 alfa, 2 beta)}$ bor F- tarqatish, keyin ${ displaystyle { tfrac { alpha} { beta}} X sim beta '( alfa, beta)}$yoki unga teng ravishda, ${ displaystyle X sim beta '( alfa, beta, 1, { tfrac { beta} { alfa}})}$.
• Agar ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} ( alfa, beta)}$ keyin ${ displaystyle { frac {X} {1-X}} sim beta '( alfa, beta)}$.
• Agar ${ displaystyle X sim Gamma ( alfa, 1)}$ va ${ displaystyle Y sim Gamma ( beta, 1)}$ mustaqil ${ displaystyle { frac {X} {Y}} sim beta '( alfa, beta)}$.
• Parametrlash 1: Agar ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alfa _ {k}, theta _ {k})}$ mustaqil ${ displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1, { tfrac { theta _ {1 }} { theta _ {2}}})}$.
• Parametrlash 2: Agar ${ displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alfa _ {k}, beta _ {k})}$ mustaqil ${ displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1, { tfrac { beta _ {2 }} { beta _ {1}}})}$.
• ${ displaystyle beta '(p, 1, a, b) = { textrm {Dagum}} (p, a, b)}$ The Dagum taqsimoti
• ${ displaystyle beta '(1, p, a, b) = { textrm {SinghMaddala}} (p, a, b)}$ The Singh-Maddala tarqatish.
• ${ displaystyle beta '(1,1, gamma, sigma) = { textrm {LL}} ( gamma, sigma)}$ The logistik taqsimot.
• Beta asosiy tarqatish - bu 6-turdagi maxsus holat Pearson taqsimoti.
• Agar X bor Pareto tarqatish minimal bilan ${ displaystyle x_ {m}}$ va shakli parametri ${ displaystyle alpha}$, keyin ${ displaystyle X-x_ {m} sim beta ^ { prime} (1, alfa)}$.
• Agar X bor Lomaks taqsimoti, Pareto Type II tarqatish sifatida ham tanilgan, shakli parametri bilan ${ displaystyle alpha}$ va o'lchov parametri ${ displaystyle lambda}$, keyin ${ displaystyle { frac {X} { lambda}} sim beta ^ { prime} (1, alfa)}$.
• Agar X standartga ega Pareto IV turdagi tarqatish shakl parametri bilan ${ displaystyle alpha}$ va tengsizlik parametri ${ displaystyle gamma}$, keyin ${ displaystyle X ^ { frac {1} { gamma}} sim beta ^ { prime} (1, alfa)}$yoki unga teng ravishda, ${ displaystyle X sim beta ^ { prime} (1, alfa, { tfrac {1} { gamma}}, 1)}$.
• The teskari Dirichlet taqsimoti beta-primer tarqatishning umumlashtirilishi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Jonson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Doimiy o'zgaruvchan taqsimotlar, 2-jild (2-nashr), Uili. ISBN 0-471-58494-0
• MathWorld maqolasi