WikiDer > Markazsiz chi-kvadrat taqsimot

Markaziy bo'lmagan chi-kvadrat

Ehtimollar zichligi funktsiyasi
Kümülatif taqsimlash funktsiyasi
Parametrlar	${ displaystyle k> 0 ,}$ erkinlik darajasi ${ displaystyle lambda> 0 ,}$ markaziy bo'lmagan parametr
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle x in [0; + infty) ,}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$
CDF	${ displaystyle 1-Q _ { frac {k} {2}} chap ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} o'ng)}$ bilan Marcum Q funktsiyasi ${ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$
Anglatadi	${ displaystyle k + lambda ,}$
Varians	${ displaystyle 2 (k + 2 lambda) ,}$
Noqulaylik	${ displaystyle { frac {2 ^ {3/2} (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {3/2}}}}$
Ex. kurtoz	${ displaystyle { frac {12 (k + 4 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}}}$
MGF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}} { text {for} } 2t <1}$
CF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac {i lambda t} {1-2it}} right)} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$

Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, markazsiz chi-kvadrat taqsimot (yoki markazsiz chi-kvadrat taqsimot, markazsiz ${ displaystyle chi ^ {2}}$ tarqatish) a markazsiz umumlashtirish ning xi-kvadrat taqsimot. Bu ko'pincha paydo bo'ladi quvvatni tahlil qilish null taqsimot (ehtimol asimptotik) xi-kvadrat taqsimot bo'lgan statistik testlar; Bunday testlarning muhim misollari quyidagilardir ehtimollik nisbati testlari.

Fon

Ruxsat bering ${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {i}, ldots, X_ {k})}$ bo'lishi k mustaqil, odatda taqsimlanadi vositalari bilan tasodifiy o'zgaruvchilar ${ displaystyle mu _ {i}}$ va birlik farqlari. Keyin tasodifiy o'zgaruvchi

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {i} ^ {2}}$

markazsiz chi-kvadrat taqsimotiga ko'ra taqsimlanadi. Ikkita parametr mavjud: ${ displaystyle k}$ sonini belgilaydigan erkinlik darajasi (ya'ni soni ${ displaystyle X_ {i}}$) va ${ displaystyle lambda}$ bu tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymati bilan bog'liq ${ displaystyle X_ {i}}$ tomonidan:

${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} ^ {2}.}$

${ displaystyle lambda}$ ba'zan deb nomlanadi markazsizlik parametri. E'tibor bering, ba'zi bir ma'lumotnomalar aniqlanadi ${ displaystyle lambda}$ boshqa yo'llar bilan, masalan yuqoridagi yig'indining yarmi yoki uning kvadrat ildizi.

Ushbu taqsimot paydo bo'ladi ko'p o'zgaruvchan statistika ning lotin sifatida ko'p o'zgaruvchan normal taqsimot. Markaziy bo'lsa-da xi-kvadrat taqsimot bu kvadrat norma a tasodifiy vektor bilan ${ displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$ taqsimot (ya'ni, kelib chiqishdan to shu taqsimotdan tasodifiy olingan nuqtaga kvadratik masofa), markaziy bo'lmagan ${ displaystyle chi ^ {2}}$ bilan tasodifiy vektorning kvadratik normasi ${ displaystyle N ( mu, I_ {k})}$ tarqatish. Bu yerda ${ displaystyle 0_ {k}}$ uzunlikning nol vektori k, ${ displaystyle mu = ( mu _ {1}, ldots, mu _ {k})}$ va ${ displaystyle I_ {k}}$ bo'ladi identifikatsiya matritsasi hajmi k.

Ta'rif

The ehtimollik zichligi funktsiyasi (pdf) tomonidan berilgan

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {- lambda / 2} ( lambda / 2) ^ { i}} {i!}} f_ {Y_ {k + 2i}} (x),}$

qayerda ${ displaystyle Y_ {q}}$ chi-kvadrat shaklida taqsimlanadi ${ displaystyle q}$ erkinlik darajasi.

Ushbu vakolatxonadan markazsiz chi-kvadrat taqsimot Puasson og'irligi bilan ajralib turadi aralash markaziy chi-kvadrat taqsimotlari. Tasodifiy o'zgaruvchi deylik J bor Poissonning tarqalishi o'rtacha bilan ${ displaystyle lambda / 2}$, va shartli taqsimlash ning Z berilgan J = men bilan to'rtburchaklar k + 2men erkinlik darajasi. Keyin shartsiz tarqatish ning Z bilan markaziy bo'lmagan kvadratchalar mavjud k erkinlik darajasi va markaziy bo'lmagan parametr ${ displaystyle lambda}$.

Shu bilan bir qatorda, pdf-ni quyidagicha yozish mumkin

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda) }} o'ng) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$

qayerda ${ displaystyle I _ { nu} (y)}$ o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi tomonidan berilgan birinchi turdagi

${ displaystyle I _ { nu} (y) = (y / 2) ^ { nu} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(y ^ {2} / 4) ^ { j}} {j! Gamma ( nu + j + 1)}}.}$

Orasidagi munosabatdan foydalanib Bessel funktsiyalari va gipergeometrik funktsiyalar, pdf-ni quyidagicha yozish mumkin:^[1]

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = {{ rm {e}} ^ {- lambda / 2}} _ {0} F_ {1} (; k / 2; lambda x / 4) { frac {1} {2 ^ {k / 2} Gamma (k / 2)}} { rm {e}} ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}. }$

Siegel (1979) bu ishni muhokama qiladi k = 0 maxsus (nol darajadagi erkinlik), bu holda tarqatish nolga teng diskret komponentga ega.

Xususiyatlari

Lahzani yaratish funktsiyasi

The moment hosil qiluvchi funktsiya tomonidan berilgan

${ displaystyle M (t; k, lambda) = { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}}.}$

Lahzalar

Birinchi bir nechta xom lahzalar ular:

${ displaystyle mu '_ {1} = k + lambda}$

${ displaystyle mu '_ {2} = (k + lambda) ^ {2} +2 (k + 2 lambda)}$

${ displaystyle mu '_ {3} = (k + lambda) ^ {3} +6 (k + lambda) (k + 2 lambda) +8 (k + 3 lambda)}$

${ displaystyle mu '_ {4} = (k + lambda) ^ {4} +12 (k + lambda) ^ {2} (k + 2 lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k lambda) +36 lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 lambda)}$

Birinchi bir necha markaziy lahzalar ular:

${ displaystyle mu _ {2} = 2 (k + 2 lambda) ,}$

${ displaystyle mu _ {3} = 8 (k + 3 lambda) ,}$

${ displaystyle mu _ {4} = 12 (k + 2 lambda) ^ {2} +48 (k + 4 lambda) ,}$

The nth kumulyant bu

${ displaystyle K_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda). ,}$

Shuning uchun

${ displaystyle mu '_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} { frac { (n-1)! 2 ^ {j-1}} {(nj)!}} (k + j lambda) mu '_ {nj}.}$

Kümülatif taqsimlash funktsiyasi

Shunga qaramay, markaziy va markazdan tashqari chi-kvadrat taqsimotlari orasidagi bog'liqlik yordamida kümülatif taqsimlash funktsiyasi (CD) quyidagicha yozilishi mumkin

${ displaystyle P (x; k, lambda) = e ^ {- lambda / 2} ; sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {( lambda / 2) ^ {j }} {j!}} Q (x; k + 2j)}$

qayerda ${ displaystyle Q (x; k) ,}$ bilan markaziy chi-kvadrat taqsimotning kümülatif taqsimlash funktsiyasi k tomonidan berilgan erkinlik darajasi

${ displaystyle Q (x; k) = { frac { gamma (k / 2, x / 2)} { Gamma (k / 2)}} ,}$

va qaerda ${ displaystyle gamma (k, z) ,}$ bo'ladi pastki to'liq bo'lmagan gamma funktsiyasi.

The Marcum Q funktsiyasi ${ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$ CD-ni ifodalash uchun ham foydalanish mumkin.^[2]

${ displaystyle P (x; k, lambda) = 1-Q _ { frac {k} {2}} left ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} right)}$

Yaqinlashish (shu jumladan kvantillar uchun)

Abdel-Aty^[3] ("birinchi taxminiy" sifatida) markaziy bo'lmagan Wilson-Hilferty yaqinlashmasidan kelib chiqadi:

${ displaystyle chap ({ frac { chi '^ {2}} {k + lambda}} o'ng) ^ { frac {1} {3}}}$ taxminan odatda taqsimlanadi, ${ displaystyle sim { mathcal {N}} chap (1 - { frac {2} {9f}}, { frac {2} {9f}} o'ng),}$ ya'ni,

${ displaystyle P (x; k, lambda) approx Phi left {{ frac { left ({ frac {x} {k + lambda}} right) ^ {1/3} - chap (1 - { frac {2} {9f}} o'ng)} { sqrt { frac {2} {9f}}}} o'ng }, { text {where}} f: = { frac {(k + lambda) ^ {2}} {k + 2 lambda}} = k + { frac { lambda ^ {2}} {k + 2 lambda}},}$

bu juda aniq va markazsizlikka moslashgan. Shuningdek, ${ displaystyle f = f (k, lambda)}$ bo'ladi ${ displaystyle f = k}$ uchun ${ displaystyle lambda = 0}$, (markaziy) chi-kvadrat ish.

Sankaran^[4] qatorlarini muhokama qiladi yopiq shakl taxminlar uchun kümülatif taqsimlash funktsiyasi. Oldingi maqolada,^[5] u quyidagi taxminni keltirib chiqardi va aytdi:

${ displaystyle P (x; k, lambda) approx Phi left {{ frac {({ frac {x} {k + lambda}}) ^ {h} - (1 + hp (h-) 1-0.5 (2-h) mp))} {h { sqrt {2p}} (1 + 0.5mp)}} right }}$

qayerda

${ displaystyle Phi lbrace cdot rbrace ,}$ belgisini bildiradi kümülatif taqsimlash funktsiyasi ning standart normal taqsimot;

${ displaystyle h = 1 - { frac {2} {3}} { frac {(k + lambda) (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}} , ;}$

${ displaystyle p = { frac {k + 2 lambda} {(k + lambda) ^ {2}}};}$

${ displaystyle m = (h-1) (1-3h) ,.}$

Ushbu va boshqa taxminlar keyingi darslikda muhokama qilinadi.^[6]

Berilgan ehtimollik uchun ushbu formulalar osongina teskari o'girilib, mos keladigan yaqinlashishni ta'minlaydi ${ displaystyle x}$, taxminiy kvantillarni hisoblash uchun.

PDF-ning chiqarilishi

Ehtiyotlik zichligi funktsiyasini chiqarish quyidagi bosqichlarni bajarish orqali eng oson amalga oshiriladi:

1. Beri ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {k}}$ birlik dispersiyalariga ega, ularning qo'shilish taqsimoti sferik nosimmetrik bo'lib, joy o'zgarishiga qadar.
2. Sharsimon simmetriya shundan iboratki, ning taqsimlanishi ${ displaystyle X = X_ {1} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ vositaga faqat kvadrat uzunlik orqali bog'liq, ${ displaystyle lambda = mu _ {1} ^ {2} + cdots + mu _ {k} ^ {2}}$. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni qabul qilishimiz mumkin ${ displaystyle mu _ {1} = { sqrt { lambda}}}$ va ${ displaystyle mu _ {2} = cdots = mu _ {k} = 0}$.
3. Endi ning zichligini oling ${ displaystyle X = X_ {1} ^ {2}}$ (ya'ni k = 1 holat). Tasodifiy o'zgaruvchilarning oddiy o'zgarishi shuni ko'rsatadiki

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {X} (x, 1, lambda) & = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}} left ( phi ({ sqrt {) x}} - { sqrt { lambda}}) + phi ({ sqrt {x}} + { sqrt { lambda}}) right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi x}}} e ^ {- (x + lambda) / 2} cosh ({ sqrt { lambda x}}), end {aligned}}}$

qayerda ${ displaystyle phi ( cdot)}$ standart normal zichlik.

1. Kengaytiring xushchaqchaq Teylor seriyasidagi atama. Bu Poisson vaznli aralashmaning zichligini aks ettiradi k = 1. Yuqoridagi ketma-ketlikdagi chi-kvadrat tasodifiy o'zgaruvchilar ko'rsatkichlari 1 + 2 ga tengmen Ushbu holatda.
2. Va nihoyat, umumiy ish uchun. Biz umumiylikni yo'qotmasdan, deb taxmin qildik ${ displaystyle X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ standart normal va shunga o'xshashdir ${ displaystyle X_ {2} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ bor markaziy chi-kvadrat taqsimot (bilank - 1) mustaqillik darajalari ${ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$. Uchun zaharlangan aralashmaning vakolatxonasidan foydalanish ${ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$, va chi-kvadrat tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi ham chi-kvadrat bo'lishi natijani yakunlaydi. Seriyadagi ko'rsatkichlar (1 + 2)men) + (k − 1) = k + 2men kerak bo'lganda.

Tegishli tarqatishlar

• Agar ${ displaystyle V}$ bu kvadrat tarqatildi ${ displaystyle V sim chi _ {k} ^ {2}}$ keyin ${ displaystyle V}$ shuningdek, markaziy bo'lmagan kvadratchalar taqsimlanadi: ${ displaystyle V sim { chi '} _ {k} ^ {2} (0)}$
• Mustaqil markazsiz chi-kvadrat o'zgaruvchilarning chiziqli birikmasi ${ displaystyle xi = sum _ {i} lambda _ {i} Y_ {i} + c, quad Y_ {i} sim chi '^ {2} (m_ {i}, delta _ { i} ^ {2})}$, bo'ladi umumlashtirilgan xi-kvadrat taqsimlangan.
• Agar ${ displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda)}$ va ${ displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$ va ${ displaystyle V_ {1}}$ dan mustaqildir ${ displaystyle V_ {2}}$ keyin a markazsiz F- tarqatilgan o'zgaruvchan sifatida ishlab chiqilgan ${ displaystyle { frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} ( lambda)}$
• Agar ${ displaystyle J sim mathrm {Poisson} chap ({{ frac {1} {2}} lambda} o'ng)}$, keyin ${ displaystyle chi _ {k + 2J} ^ {2} sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)}$
• Agar ${ displaystyle V sim { chi '} _ {2} ^ {2} ( lambda)}$, keyin ${ displaystyle { sqrt {V}}}$ oladi Guruch taqsimoti parametr bilan ${ displaystyle { sqrt { lambda}}}$.
• Oddiy taxminiy:^[7] agar ${ displaystyle V sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)}$, keyin ${ displaystyle { frac {V- (k + lambda)} { sqrt {2 (k + 2 lambda)}}} to N (0,1)}$ tarqatishda ham ${ displaystyle k to infty}$ yoki ${ displaystyle lambda to infty}$.
• Agar ${ displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda _ {1})}$va ${ displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} ( lambda _ {2})}$, qayerda ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ mustaqil ${ displaystyle W = (V_ {1} + V_ {2}) sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda _ {1} + lambda _ {2})}$ qayerda ${ displaystyle k = k_ {1} + k_ {2}}$.
• Umuman olganda, cheklangan to'plam uchun ${ displaystyle V_ {i} sim { chi '} _ {k_ {i}} ^ {2} ( lambda _ {i}), i in left {1..N right }}$, bu markaziy bo'lmagan kvadratik taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi ${ displaystyle Y = sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}}$ taqsimotga ega ${ displaystyle Y sim { chi '} _ {k_ {y}} ^ {2} ( lambda _ {y})}$ qayerda ${ displaystyle k_ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, lambda _ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} }$. Buni moment hosil qiluvchi funktsiyalar yordamida quyidagicha ko'rish mumkin: ${ displaystyle M_ {Y} (t) = M _ { sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}} (t) = prod _ {i = 1} ^ {N} M_ {V_ { i}} (t)}$ ning mustaqilligi bilan ${ displaystyle V_ {i}}$ tasodifiy o'zgaruvchilar. Mahsulotga chi kvadratning markaziy bo'lmagan taqsimoti uchun MGFni ulash va yangi MGFni hisoblash kerak - bu mashq sifatida qoldirilgan. Shu bilan bir qatorda uni yuqoridagi fon qismidagi izohlash orqali farqlari 1 va ko'rsatilgan vositalar bilan mustaqil ravishda normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar kvadratlari yig'indisi sifatida ko'rish mumkin.
• The murakkab bo'lmagan chi-kvadrat taqsimot radioaloqa va radar tizimlarida dasturlarga ega.^{[iqtibos kerak]} Ruxsat bering ${ displaystyle (z_ {1}, ldots, z_ {k})}$ mustaqil skalar bo'ling murakkab tasodifiy o'zgaruvchilar markazsiz dumaloq simmetriya bilan, degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle mu _ {i}}$ va birlik farqlari: ${ displaystyle operatorname {E} left | z_ {i} - mu _ {i} right | ^ {2} = 1}$. Keyin haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {k} left | z_ {i} right | ^ {2}}$ murakkab bo'lmagan chi-kvadrat taqsimotiga ko'ra taqsimlanadi:

${ displaystyle f_ {S} (S) = chap ({ frac {S} { lambda}} o'ng) ^ {(k-1) / 2} e ^ {- (S + lambda)} I_ { k-1} (2 { sqrt {S lambda}})}$

qayerda ${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} left | mu _ {i} right | ^ {2}.}$

Transformatsiyalar

Sankaran (1963) shaklning o'zgarishini muhokama qiladi${ displaystyle z = [(X-b) / (k + lambda)] ^ {1/2}}$. U kengayishlarni tahlil qiladi kumulyantlar ning ${ displaystyle z}$ muddatgacha ${ displaystyle O ((k + lambda) ^ {- 4})}$ va quyidagi tanlovlar ekanligini ko'rsatadi ${ displaystyle b}$ oqilona natijalar berish:

• ${ displaystyle b = (k-1) / 2}$ ning ikkinchi kumulyantini hosil qiladi ${ displaystyle z}$ taxminan mustaqil ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 3}$ ning uchinchi kumulyantini hosil qiladi ${ displaystyle z}$ taxminan mustaqil ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 4}$ ning to'rtinchi kumulyantini hosil qiladi ${ displaystyle z}$ taxminan mustaqil ${ displaystyle lambda}$

Bundan tashqari, oddiyroq o'zgartirish ${ displaystyle z_ {1} = (X- (k-1) / 2) ^ {1/2}}$ sifatida ishlatilishi mumkin o'zgaruvchanlikni barqarorlashtiruvchi transformatsiya o'rtacha qiymat bilan tasodifiy o'zgaruvchini ishlab chiqaradi ${ displaystyle ( lambda + (k-1) / 2) ^ {1/2}}$ va dispersiya ${ displaystyle O ((k + lambda) ^ {- 2})}$.

Ushbu transformatsiyalardan foydalanishga salbiy sonlarning kvadrat ildizlarini olish zarurati to'sqinlik qilishi mumkin.

Turli xil va chi-kvadrat taqsimotlari

Ism	Statistik
xi-kvadrat taqsimot	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} chap ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} o'ng) ^ {2}}$
markazsiz chi-kvadrat taqsimot	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} chap ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} o'ng) ^ {2}}$
chi taqsimoti	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} chap ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} o'ng) ^ { 2}}}}$
markazdan tashqari chi taqsimoti	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} chap ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} o'ng) ^ {2}}}}$

Voqealar

Tolerantlik oralig'ida foydalaning

Ikki tomonlama normal regressiya bardoshlik oralig'i markazsiz chi-kvadrat taqsimot asosida olinishi mumkin.^[8] Bu statistik intervalni hisoblash imkonini beradi, uning ichida biron bir ishonch darajasi bilan namuna olingan aholining belgilangan qismi tushadi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Abramovits, M. va Stegun, I. A. (1972), Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Dover. 26.4.25-bo'lim.
• Jonson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995), Doimiy o'zgaruvchan taqsimotlar, 2-jild (2-nashr), Vili. ISBN 0-471-58494-0
• Muirxed, R. (2005) Ko'p o'zgaruvchan statistika nazariyasining aspektlari (2-nashr). Vili. ISBN 0-471-76985-1
• Siegel, A. F. (1979), "Nol darajadagi erkinlik va bir xillikni sinash bilan markazsiz xi-kvadrat taqsimot", Biometrika, 66, 381–386
• Matbuot, S.J. (1966), "Markaziy bo'lmagan kvadratik kvadratlarning o'zgaruvchan chiziqli birikmalari", Matematik statistika yilnomalari, 37 (2): 480–487, doi:10.1214 / aoms / 1177699531, JSTOR 2238621